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Retta tangente: esercizi

Retta tangente nel calcolo differenziale

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul calcolo della retta tangente al grafico di una funzione. Questo articolo contiene 10 esercizi su questo importante tema dell’Analisi Matematica. I problemi sono completamente risolti, fornendo così al lettore l’occasione di confrontare le soluzioni da lui trovate con quelle da noi proposte, per un apprendimento più efficace. La raccolta risulta pertanto utile sia a studenti delle scuole superiori, sia a studenti dei corsi di Analisi Matematica 1. Auguriamo a tutti una piacevole lettura!

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Sommario

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Il presente documento propone la risoluzione di dieci esercizi riguardanti la retta tangente a una funzione. Sono inclusi cinque esercizi di tipo standard, seguiti da cinque esercizi relativi a curve parametriche, caratterizzati da un livello di difficoltà lievemente superiore.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Silvia Lombardi, Valerio Brunetti

Revisori: Matteo Talluri.


 
 

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo brevemente quanto necessario allo svolgimento degli esercizi, ulteriori richiami sono forniti a piè di pagina nel documento.

Definizione della retta tangente a una funzione in un punto.

Sia D \subseteq \mathbb{R} un insieme, e sia f: D \to \mathbb{R} una funzione derivabile in un punto x_0 \in D. La retta tangente al grafico di f nel punto (x_0, f(x_0)) è definita dall’equazione:

\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0), \]

dove f'(x_0) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente, ossia la derivata di f nel punto x_0.

Questa equazione descrive la retta che tocca il grafico di f nel punto (x_0, f(x_0)) ed è ad essa tangente.


 
 

Esercizi

 
 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri la funzione f(x) = -\dfrac{1}{3x}, definita nel dominio D = \mathbb{R} \setminus \{0\}, e derivabile nel punto x_0 = 1. Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tale punto.

Svolgimento.

Prima di tutto ricaviamo l’ordinata corrispondente all’ascissa x_0

\[y_0 = - \dfrac{1}{3x_0} = -\dfrac{1}{3}\]

e ora calcoliamo la derivata della funzione

\[f^\prime(x) = \dfrac{1}{3x^2}\]

e quindi

\[f^\prime(x_0) = \dfrac{1}{3x_0^2} = \dfrac{1}{3}.\]

Allora la retta tangente è

\[\boxcolorato{analisi}{y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{2}{3}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri la funzione f(x) = x^2 - 2x, definita su D = \mathbb{R}, e derivabile nel punto x_0 = -2. Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tale punto.

Svolgimento.

Prima di tutto ricaviamo l’ordinata corrispondente all’ascissa x_0

\[y_0 = (x_0)^2-2(x_0) = (-2)^2-2(-2) = 4+4 = 8\]

e ora calcoliamo la derivata della funzione

\[f^\prime(x) = 2x-2\]

e quindi

\[f^\prime(x_0) = 2x_0 - 2 = 2(-2)-2 = -6.\]

Allora la retta tangente è

\[\boxcolorato{analisi}{y = -6x -4 .}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri la funzione f (x)= 2\sqrt{x}, definita nel dominio D = [0, +\infty), e derivabile nel punto x_0 = 4. Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in tale punto.

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