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Punti isolati e di accumulazione: 30 esercizi svolti

Insiemi numerici N, Z, Q, R

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Come si distingue un punto isolato da un punto di accumulazione? La raccolta propone 30 esercizi svolti di Analisi matematica sulla retta reale, con richiami su intorni, chiusura, frontiera, estremo inferiore e superiore.

Sommario

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La raccolta riguarda gli insiemi della retta reale. Si parte da intervalli e insiemi finiti, si passa agli insiemi di valori di successioni e si conclude con dimostrazioni e controesempi. Gli esercizi collegano isolamento e accumulazione a chiusura, frontiera, estremo inferiore e superiore.

 

 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

 

 

Notazioni

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\mathbb NInsieme \{1,2,3,\ldots\} dei naturali positivi.
\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb RInsiemi degli interi, dei razionali e dei reali.
U_r(x)Intervallo aperto (x-r,x+r), per x\in\mathbb R e r\in(0,+\infty).
A',I(A)Insiemi dei punti di accumulazione e dei punti isolati di A.
\overline A,A^\circ,\partial AChiusura, interno e frontiera di A nella retta reale.

 

 

Introduzione

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Gli esercizi da 1 a 10 servono a leggere la posizione dei punti sulla retta. Da 11 a 20 si deve riconoscere il comportamento delle code di successioni o di famiglie di intervalli. Gli ultimi dieci chiedono di motivare proprietà generali o costruire esempi adatti. Lo svolgimento si apre nella tendina sotto ogni enunciato.

 

 

Richiami di teoria

Intorni, punti isolati e punti di accumulazione

Si consideri un insieme A\subseteq\mathbb R. L’intorno di centro x\in\mathbb R e raggio r\in(0,+\infty) è U_r(x)=(x-r,x+r).

 

Definizione di punto di accumulazione Per stabilire se x è di accumulazione si osserva che cosa rimane nell’intorno dopo aver tolto il centro. Si ha

\[ x\in A' \quad\Longleftrightarrow\quad \text{per ogni }r\in(0,+\infty),\ \bigl(U_r(x)\setminus\{x\}\bigr)\cap A\ne\varnothing . \]

 

Un punto di accumulazione può appartenere ad A oppure esserne esterno.

 

Definizione di punto isolato Un punto isolato appartiene ad A e possiede un intorno che lo separa dagli altri elementi. In formule,

\[ x\in I(A) \quad\Longleftrightarrow\quad x\in A\text{ ed esiste }r\in(0,+\infty)\text{ tale che } U_r(x)\cap A=\{x\}. \]

 

Per provare che x è di accumulazione si deve considerare un raggio positivo arbitrario. Per escluderlo basta esibire un solo intorno privo di punti di A diversi da x. In particolare, I(A)=A\setminus A'.

Il criterio con le successioni

 

Criterio con le successioni Si ha x\in A' se e solo se esiste una successione di punti di A\setminus\{x\} che converge a x.

 

In una direzione, per ciascun n\in\mathbb N si può scegliere un punto a_n con 0<|a_n-x|<1/n. Nell’altra, la convergenza assicura che qualsiasi intorno di x contenga un termine distinto dal centro. Una successione costante uguale a x non soddisfa la condizione a_n\ne x.

Ogni intorno di un punto di accumulazione contiene in realtà infiniti punti dell’insieme. Se ne contenesse soltanto un numero finito, si potrebbe restringere il raggio per escludere tutti quelli a distanza positiva dal centro. Questo argomento aiuta a studiare gli insiemi di valori di una successione. Per escludere un candidato spesso basta separarlo dalla coda e poi scegliere un raggio più piccolo delle distanze positive dai pochi punti rimasti.

Chiusura, interno e frontiera

 

Definizione di chiusura Un punto della chiusura \overline A ha almeno un elemento di A in ogni suo intorno.

 

Per i punti già in A è sufficiente il centro. Per quelli esterni la condizione coincide con l’accumulazione. Si ottiene

\[ \overline A=A\cup A'. \]

 

Definizioni di interno e frontiera Un punto è interno se un suo intorno è interamente contenuto in A. È di frontiera se ogni suo intorno incontra sia A sia \mathbb R\setminus A.

 

Perciò \partial A=\overline A\setminus A^\circ. Un punto isolato è di frontiera. L’insieme A è aperto se A=A^\circ ed è chiuso se A=\overline A.

Per esempio, per A=(-2,0]\cup\{2\}, il punto -2 appartiene ad A' e resta fuori da A. Il punto 0 appartiene sia ad A sia ad A'. Il punto 2 è isolato. Le tre righe rappresentano, nello stesso ordine, l’insieme, i suoi punti di accumulazione e la sua frontiera.

   

Tre rette che rappresentano l’insieme A, il derivato e la frontiera

 

Figura 1: L’insieme, i punti di accumulazione e la frontiera sulla retta reale.

   

Estremo inferiore e superiore

 

Definizione di estremo inferiore Un numero m\in\mathbb R è un minorante di A se m\le a per ogni a\in A. Per un insieme non vuoto e limitato inferiormente, \inf A è il più grande dei minoranti.

 

Se m è un minorante, per provare che m=\inf A basta verificare che per ogni \varepsilon\in(0,+\infty) esiste a\in A con

\[ m\le a<m+\varepsilon. \]

Infatti, ogni numero maggiore di m è maggiore di almeno un elemento di A e quindi non è un minorante. Se m\in A si ha anche m=\min A. Se m\notin A, gli elementi a destra di m si avvicinano a esso arbitrariamente e dunque m\in A'. Per il supremum si ragiona con i maggioranti. Se M è un maggiorante, si cerca per ogni \varepsilon\in(0,+\infty) un a\in A con M-\varepsilon<a\le M. Il massimo esiste quando \sup A\in A. Per l’insieme in figura si ha \inf A=-2 senza minimo, mentre \sup A=\max A=2.

Operazioni tra insiemi e insiemi infiniti

 

Proprietà degli insiemi derivati Se A,B\subseteq\mathbb R, valgono

\[ (A\cup B)'=A'\cup B', \qquad (A\cap B)'\subseteq A'\cap B'. \]

 

L’uguaglianza per l’unione si vede anche dal lato dei punti esclusi. Se un punto è fuori da entrambi i derivati, si può prendere il minore dei due raggi che escludono gli altri punti di ciascun insieme. L’intersezione può eliminare tutti i punti che si avvicinano a un certo x. Per esempio, (-1,0) e (0,1) hanno 0 come punto di accumulazione comune, mentre la loro intersezione è vuota.

 

Teorema di Bolzano–Weierstrass Ogni sottoinsieme infinito e limitato di \mathbb R possiede almeno un punto di accumulazione reale.

 

La limitatezza è essenziale per la conclusione generale. Negli esercizi si cercano punti in \mathbb R. Quando si passa esplicitamente alla retta reale estesa, +\infty è di accumulazione per un insieme illimitato superiormente e -\infty per un insieme illimitato inferiormente.

 

 

Testi degli esercizi

Intervalli, insiemi finiti e primi esempi

 

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia A=\{-2,0,3\}. Determinare i punti isolati, i punti di accumulazione e la chiusura di A nella retta reale.

Svolgimento

Per ogni a\in A, l’intorno (a-1,a+1) contiene di A soltanto a, poiché la distanza tra due elementi distinti di A è almeno 2. Tutti gli elementi di A sono quindi isolati.

Se x\in\mathbb{R}\setminus A, la più piccola tra le tre distanze |x+2|, |x| e |x-3| è positiva. Un intorno di x di raggio pari alla metà di questa distanza è disgiunto da A. Nessun punto esterno appartiene alla chiusura. Ne segue che

\[ \boxcolorato{analisi}{A'=\varnothing,\qquad \overline A=A.} \]


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