Quantità di moto e centro di massa: 80 esercizi svolti – Semestre Filtro 2026

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Sommario

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Questa dispensa presenta 80 esercizi sui sistemi di punti materiali, con svolgimenti commentati adeguati al livello del semestre filtro. I quesiti riguardano il centro di massa, la quantità di moto totale, le forze interne ed esterne, l’impulso e la conservazione della quantità di moto. Sono esclusi gli urti e non vengono utilizzati integrali o derivate. Le soluzioni includono alcune illustrazioni utili a chiarire l’interpretazione fisica soggiacente al problema.

Autori e revisori

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Autori: Samuel Battolini, Valerio Brunetti.

Revisore: Luigi De Masi.

Notazioni

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$N$	numero dei punti materiali che costituiscono il sistema
$m_i$	massa del punto materiale $i$ -esimo; unità SI: $\mathrm{kg}$
$M$	massa totale del sistema; unità SI: $\mathrm{kg}$
$\vec r_i$	posizione del punto materiale $i$ -esimo; unità SI: $\mathrm{m}$
$x_i,y_i,z_i$	componenti cartesiane della posizione $\vec r_i$ ; unità SI: $\mathrm{m}$
$\vec r_{\mathrm{CM}}$	posizione del centro di massa; unità SI: $\mathrm{m}$
$x_{\mathrm{CM}},y_{\mathrm{CM}},z_{\mathrm{CM}}$	componenti cartesiane della posizione del centro di massa; unità SI: $\mathrm{m}$
$\vec v_i$	velocità del punto materiale $i$ -esimo; unità SI: $\mathrm{m/s}$
$v_{i,x},v_{i,y},v_{i,z}$	componenti cartesiane della velocità $\vec v_i$ ; unità SI: $\mathrm{m/s}$
$v_i=\|\vec v_i\|$	modulo della velocità del punto materiale $i$ -esimo; unità SI: $\mathrm{m/s}$
$\vec v_{\mathrm{CM}}$	velocità del centro di massa; unità SI: $\mathrm{m/s}$
$v_{\mathrm{CM},x},v_{\mathrm{CM},y},v_{\mathrm{CM},z}$	componenti cartesiane della velocità del centro di massa; unità SI: $\mathrm{m/s}$
$v_{\mathrm{CM}}=\|\vec v_{\mathrm{CM}}\|$	modulo della velocità del centro di massa; unità SI: $\mathrm{m/s}$
$\vec p_i=m_i\vec v_i$	quantità di moto del punto materiale $i$ -esimo; unità SI: $\mathrm{kg\cdot m/s}$
$p_i=\|\vec p_i\|$	modulo della quantità di moto del punto materiale $i$ -esimo; unità SI: $\mathrm{kg\cdot m/s}$
$p_{i,x},p_{i,y},p_{i,z}$	componenti cartesiane della quantità di moto $\vec p_i$ ; unità SI: $\mathrm{kg\cdot m/s}$
$\vec p_{\mathrm{tot}}$	quantità di moto totale del sistema; unità SI: $\mathrm{kg\cdot m/s}$
$p_{\mathrm{tot}}=\|\vec p_{\mathrm{tot}}\|$	modulo della quantità di moto totale; unità SI: $\mathrm{kg\cdot m/s}$
$p_{\mathrm{tot},x},p_{\mathrm{tot},y},p_{\mathrm{tot},z}$	componenti cartesiane della quantità di moto totale; unità SI: $\mathrm{kg\cdot m/s}$
$\vec F_{j\to i}$	forza esercitata dal punto materiale $j$ sul punto materiale $i$ ; unità SI: $\mathrm{N}$
$\vec F_{\mathrm{int},i}$	risultante delle forze interne sul punto materiale $i$ -esimo; unità SI: $\mathrm{N}$
$\vec F_{\mathrm{ext}}$	risultante delle forze esterne; unità SI: $\mathrm{N}$
$F_{\mathrm{ext}}=\|\vec F_{\mathrm{ext}}\|$	modulo della risultante delle forze esterne; unità SI: $\mathrm{N}$
$F_{\mathrm{ext},x},F_{\mathrm{ext},y},F_{\mathrm{ext},z}$	componenti cartesiane della risultante delle forze esterne; unità SI: $\mathrm{N}$
$\vec J$	impulso della risultante delle forze esterne; unità SI: $\mathrm{N\cdot s}$
$J=\|\vec J\|$	modulo dell’impulso della risultante delle forze esterne; unità SI: $\mathrm{N\cdot s}$
$J_x,J_y,J_z$	componenti cartesiane dell’impulso della risultante delle forze esterne; unità SI: $\mathrm{N\cdot s}$
$\Delta t$	intervallo di tempo; unità SI: $\mathrm{s}$

$\quad$

I simboli senza freccia $v_i$ , $v_{\mathrm{CM}}$ , $p_i$ , $p_{\mathrm{tot}}$ , $F_{\mathrm{ext}}$ e $J$ indicano moduli e sono quindi non negativi. Le componenti cartesiane possono invece essere positive, negative o nulle; il loro segno dipende dall’orientazione degli assi.

Per una grandezza scalare $A$ e una grandezza vettoriale $\vec A$ si adottano le convenzioni

$\Delta A=A_{\mathrm{f}}-A_0, \qquad \Delta\vec A=\vec A_{\mathrm{f}}-\vec A_0.$

I pedici $0$ e $\mathrm{f}$ indicano rispettivamente il valore iniziale e quello finale. Quando compare anche una componente cartesiana, si scrive prima la componente e poi lo stato, per esempio $p_{\mathrm{tot},x,0}$ , $p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}$ e $v_{\mathrm{CM},x,\mathrm{f}}$ . L’indice $i$ in simboli quali $m_i$ , $\vec r_i$ , $\vec v_i$ e $\vec p_i$ identifica invece il punto materiale $i$ -esimo.

Introduzione

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Un sistema di punti materiali è un insieme di corpi che, nel problema considerato, sono modellizzati come punti materiali e studiati congiuntamente. Il centro di massa fornisce una descrizione sintetica della componente traslazionale del moto del sistema, senza determinare il moto relativo dei singoli punti.

La dispensa è destinata agli studenti del semestre filtro che possiedono i prerequisiti di algebra vettoriale elementare. Gli esercizi sono ordinati per nuclei concettuali e difficoltà crescente; per ciascuno è proposta una soluzione commentata, senza ricorrere a derivate o integrali. Gli urti non sono trattati. I contenuti sono coerenti con il syllabus ministeriale di Fisica del semestre aperto 2026–2027 [4].

Richiami di teoria

Sistemi di punti materiali.

Definizione 1 (punto materiale). Un punto materiale è un modello ideale di un oggetto dotato di massa ma privo di dimensioni geometriche, ossia assimilabile, nel particolare problema considerato, a un punto.

$\quad$

Definizione 2 (sistema di punti materiali). Un sistema di punti materiali è un insieme finito di punti materiali, ciascuno caratterizzato dalla propria massa e posizione, studiato congiuntamente e sul quale si definiscono grandezze globali.

$\quad$

Si considera un sistema costituito da $N$ punti materiali, con $N$ intero positivo. Per ogni $i\in\{1,\ldots,N\}$ , la massa costante del punto $i$ -esimo è $m_i>0$ . La massa totale è

$M=m_1+m_2+\cdots+m_N=\sum_{i=1}^{N}m_i>0.$

Le posizioni $\vec r_i$ e le velocità $\vec v_i$ sono riferite al medesimo sistema di riferimento. Nelle sezioni dinamiche si assume che tale riferimento sia inerziale. Si assume inoltre fissa la composizione del sistema, cioè l’insieme dei punti materiali che ne fanno parte.

Il centro di massa.

Definizione 3 (centro di massa). Per un sistema di $N$

punti materiali di masse $m_i$

e posizioni $\vec r_i$

, il centro di massa è il punto di posizione

(1) $\begin{equation*} \vec r_{\mathrm{CM}} =\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vec r_i}{M} =\frac{m_1\vec r_1+m_2\vec r_2+\cdots+m_N\vec r_N}{m_1+m_2+\cdots+m_N}. \end{equation*}$

$\quad$

Se i punti materiali si trovano lungo l’asse $x$ , la relazione (1) si riduce a

(2) $\begin{equation*} x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_ix_i}{M} =\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_Nx_N}{m_1+m_2+\cdots+m_N}. \end{equation*}$

Se i punti appartengono al piano $xy$ , ciascun vettore posizione $\vec r_i$ ha due componenti; la relazione vettoriale equivale quindi a

(3) $\begin{equation*} \vec r_{\mathrm{CM}}=(x_{\mathrm{CM}},y_{\mathrm{CM}}), \qquad x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_ix_i}{M}, \qquad y_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_iy_i}{M}. \end{equation*}$

Nel caso tridimensionale, ciascun vettore posizione ha tre componenti e

$\vec r_{\mathrm{CM}}=(x_{\mathrm{CM}},y_{\mathrm{CM}},z_{\mathrm{CM}}), \qquad x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_ix_i}{M}, \qquad y_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_iy_i}{M}, \qquad z_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_iz_i}{M}.$

Osservazione 4. Il centro di massa non deve necessariamente coincidere con uno dei punti materiali del sistema. Per due masse positive esso appartiene al segmento che congiunge i due punti materiali; se le masse sono diverse è più vicino alla massa maggiore, mentre per masse uguali coincide con il punto medio del segmento. Le figure 1 e 2 illustrano schematicamente i due casi.

Figura 1: posizione schematica del centro di massa di due punti materiali con masse diverse; disegno non in scala.

Figura 2: posizione schematica del centro di massa di due punti materiali con masse uguali; disegno non in scala.

Definizione 5 (velocità del centro di massa). Si definisce velocità del centro di massa la velocità, rispetto al sistema di riferimento scelto, del punto geometrico la cui posizione è definita dalla formula (1).

Proposizione 6. Nel modello di masse costanti, la velocità istantanea del centro di massa coincide con la media pesata, rispetto alle masse, delle velocità istantanee dei punti materiali valutate allo stesso istante:

(4) $\begin{equation*} \vec v_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vec v_i}{M}. \end{equation*}$

$\quad$

Osservazione 7. La dimostrazione rigorosa della relazione istantanea richiede un passaggio al limite, che non viene utilizzato in questa dispensa. Su un intervallo finito $\Delta t$ , invece, la stessa identità si dimostra direttamente per le velocità medie. Indicando con una barra le velocità medie sul medesimo intervallo,

$\Delta\vec r_{\mathrm{CM}} =\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\Delta\vec r_i}{M}, \qquad \bar{\vec v}_{\mathrm{CM}}=\frac{\Delta\vec r_{\mathrm{CM}}}{\Delta t} =\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\bar{\vec v}_i}{M}.$

La relazione istantanea (4) è il corrispondente risultato cinematico.

La velocità del centro di massa descrive la componente traslazionale del moto del sistema; non determina il moto interno o relativo dei singoli punti.

Quantità di moto e moto del centro di massa.

Definizione 8 (quantità di moto). Un punto materiale di massa $m$

e velocità $\vec v$

ha quantità di moto

(5) $\begin{equation*} \vec p=m\vec v. \end{equation*}$

$\quad$

La quantità di moto è una grandezza vettoriale; nel SI si misura in $\mathrm{kg\cdot m/s}$ .

$\quad$

Definizione 9 (quantità di moto totale). La quantità di moto totale di un sistema di punti materiali è la somma vettoriale delle quantità di moto dei singoli punti:

(6) $\begin{equation*} \vec p_{\mathrm{tot}} =\sum_{i=1}^{N}\vec p_i =\sum_{i=1}^{N}m_i\vec v_i =m_1\vec v_1+m_2\vec v_2+\cdots+m_N\vec v_N. \end{equation*}$

Se il moto è unidimensionale, una sola coordinata è sufficiente a descriverlo. Scelto l’asse $x$ , le velocità dirette nel verso opposto a quello positivo hanno componente negativa. In tal caso,

(7) $\begin{equation*} p_{\mathrm{tot},x}=\sum_{i=1}^{N}m_i v_{i,x}. \end{equation*}$

$\quad$

Proposizione 10. La quantità di moto totale è legata alla velocità del centro di massa da

(8) $\begin{equation*} \vec p_{\mathrm{tot}}=M\vec v_{\mathrm{CM}}. \end{equation*}$

$\quad$

Dimostrazione. Dalla formula (4),

$M\vec v_{\mathrm{CM}} =\sum_{i=1}^{N}m_i\vec v_i =\vec p_{\mathrm{tot}}.$

In particolare, lungo l’asse $x$ , $p_{\mathrm{tot},x}=Mv_{\mathrm{CM},x}$ . La relazione (8) mostra che la quantità di moto totale determina la componente traslazionale descritta dal centro di massa; non determina invece la configurazione interna, il moto relativo o l’energia del sistema.

Forze interne, forze esterne e impulso.

Definizione 11 (forze interne e forze esterne). Le forze interne sono quelle che i punti materiali del sistema esercitano gli uni sugli altri; le forze esterne sono invece esercitate sul sistema da corpi che non ne fanno parte.

$\quad$

Per il punto materiale $i$ -esimo si indica con

$\vec F_{\mathrm{int},i}=\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^{N}\vec F_{j\to i}$

la risultante delle forze interne agenti su di esso; $\vec F_{j\to i}$ è la forza esercitata dal punto materiale $j$ sul punto materiale $i$ . Per ogni $i,j\in\{1,\ldots,N\}$ con $i\ne j$ , il terzo principio della dinamica dà $\vec F_{j\to i}=-\vec F_{i\to j}$ . Sommando su tutti i punti e raggruppando i termini a coppie,

(9) $\begin{equation*} \sum_{i=1}^{N}\vec F_{\mathrm{int},i} =\sum_{i<j}\left(\vec F_{j\to i}+\vec F_{i\to j}\right) =\vec{0}. \end{equation*}$

Le forze interne possono quindi modificare le quantità di moto dei singoli punti, ma la loro risultante complessiva è nulla. Sfruttando tale proprietà, si vedrà nel teorema 13 che la variazione della quantità di moto totale dipende dalla sola risultante delle forze esterne al sistema.

La figura 3 distingue schematicamente le forze interne da quelle esterne in un sistema formato da due punti materiali.

Figura 3: schema di un sistema costituito da due punti materiali. In rosso è rappresentata la coppia di forze interne $\vec F_{2\to1}$ e $\vec F_{1\to2}$ , che costituisce una coppia azione–reazione; in blu sono rappresentate le forze esterne $\vec F_{\mathrm{ext},1}$ e $\vec F_{\mathrm{ext},2}$ agenti, rispettivamente, sui due punti materiali.

$\quad$

Definizione 12 (impulso per risultante esterna costante). Se la risultante delle forze esterne $\vec F_{\mathrm{ext}}$

è costante durante un intervallo $\Delta t>0$

, il suo impulso è

(10) $\begin{equation*} \vec J=\vec F_{\mathrm{ext}}\Delta t. \end{equation*}$

Se $\vec F_{\mathrm{ext}}\ne\vec{0}$ , l’impulso ha la stessa direzione e lo stesso verso della risultante; se $\vec F_{\mathrm{ext}}=\vec{0}$ , anche $\vec J=\vec{0}$ . Nel SI si misura in $\mathrm{N\cdot s}$ , e

$1\,\mathrm{N\cdot s}=1\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Si può provare il seguente risultato.

$\quad$

Teorema 13 (dell’impulso). Se $\vec F_{\mathrm{ext}}$

è costante nell’intervallo di tempo considerato, allora

(11) $\begin{equation*} \vec J =\vec F_{\mathrm{ext}}\Delta t =\Delta\vec p_{\mathrm{tot}} =\vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}-\vec p_{\mathrm{tot},0}. \end{equation*}$

Per una componente costante $F_{\mathrm{ext},x}=F_0$ , il prodotto $F_0\Delta t$ può essere letto geometricamente come l’area del rettangolo nel diagramma forza–tempo. La figura 4 riassume questa interpretazione e, a fianco, la relazione vettoriale tra quantità di moto iniziale, impulso e quantità di moto finale.

Figura 4: impulso di una risultante esterna costante e relazione vettoriale tra quantità di moto iniziale, impulso e quantità di moto finale.

La conservazione della quantità di moto.

Se la risultante delle forze esterne al sistema è nulla, il teorema 13 implica che la sua quantità di moto totale rimane costante. Si deduce quindi il seguente principio di conservazione.

$\quad$

Corollario 14 (principio di conservazione della quantità di moto). Se la risultante delle forze esterne a un sistema di punti materiali è nulla durante un intervallo $[t_0,t_{\mathrm f}]$

, la quantità di moto totale rimane costante in tale intervallo:

$\vec p_{\mathrm{tot}}(t)=\mathrm{costante}\quad \text{per }t\in[t_0,t_{\mathrm f}], \qquad \vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}.$

$\quad$

Definizione 15 (sistema isolato). Un sistema si dice isolato quando le interazioni con l’esterno sono assenti o trascurabili.

$\quad$

La condizione dinamica $\vec F_{\mathrm{ext}}=\vec{0}$ è sufficiente per la conservazione della quantità di moto, ma non implica necessariamente l’assenza di interazioni esterne: forze esterne diverse possono avere risultante nulla. Se è nulla soltanto una componente di $\vec F_{\mathrm{ext}}$ , si conserva la corrispondente componente di $\vec p_{\mathrm{tot}}$ .

Se un sistema isolato ha inizialmente $\vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec{0}$ , dalla formula (8) segue che il suo centro di massa è inizialmente fermo e rimane fermo, anche se i singoli punti materiali possono muoversi per effetto delle forze interne.

Per approfondimenti generali sui sistemi di punti materiali e sugli esercizi di meccanica si vedano, ad esempio, [1, 2, 3].

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Il centro di massa di un sistema di punti materiali è, in generale, il punto che rappresenta:

$\quad$

la media pesata, rispetto alle masse, delle posizioni dei punti materiali;

la media aritmetica non pesata delle posizioni dei punti materiali;

la posizione del punto materiale di massa maggiore;

la media pesata, rispetto alle masse, delle velocità dei punti materiali;

il punto medio tra le due posizioni più distanti del sistema.

Svolgimento.

La risposta corretta è la A.

Dalla definizione del centro di massa, espressa dalla relazione (1), si ha

$\vec r_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{N}m_i\vec r_i}{M}.$

La posizione del centro di massa è quindi una media pesata delle posizioni dei punti materiali: a parità di posizione, una massa maggiore contribuisce con un peso maggiore alla somma.

La figura 5 visualizza il significato della media pesata per due masse diverse.

Figura 5: in presenza di due masse diverse, il centro di massa è spostato verso la massa maggiore.

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due punti materiali, di masse rispettivamente $3\,\mathrm{kg}$

e $1\,\mathrm{kg}$

, si trovano agli estremi di un segmento lungo $80\,\mathrm{cm}$

. Il punto materiale di massa $3\,\mathrm{kg}$

è a sinistra, quello di massa $1\,\mathrm{kg}$

è a destra. A quale distanza dal punto materiale di massa $3\,\mathrm{kg}$

si trova il centro di massa?

$\quad$

$10\,\mathrm{cm}$ ;

$20\,\mathrm{cm}$ ;

$40\,\mathrm{cm}$ ;

$60\,\mathrm{cm}$ ;

$80\,\mathrm{cm}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la B.

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra e si pone l’origine nella posizione della massa di $3\,\mathrm{kg}$ . Allora

$x_1=0\,\mathrm{cm}, \qquad x_2=80\,\mathrm{cm}.$

Dalla relazione (2),

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{(3\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{cm})+(1\,\mathrm{kg})(80\,\mathrm{cm})}{3\,\mathrm{kg}+1\,\mathrm{kg}}=20\,\mathrm{cm}.$

Il centro di massa si trova quindi a $20\,\mathrm{cm}$ dalla massa di $3\,\mathrm{kg}$ .

La configurazione è mostrata nella figura 6.

Figura 6: due masse agli estremi del segmento e posizione del centro di massa.

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

, due masse uguali si trovano in $x=-2\,\mathrm{m}$

e $x=6\,\mathrm{m}$

. Il centro di massa del sistema si trova in:

$\quad$

$x=-2\,\mathrm{m}$ ;

$x=0\,\mathrm{m}$ ;

$x=2\,\mathrm{m}$ ;

$x=4\,\mathrm{m}$ ;

$x=6\,\mathrm{m}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la C.

Quando le due masse sono uguali, il centro di massa coincide con il punto medio del segmento che le congiunge. Il punto medio tra $-2\,\mathrm{m}$ e $6\,\mathrm{m}$ è

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{-2\,\mathrm{m}+6\,\mathrm{m}}{2}=2\,\mathrm{m}.$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se $M$

è la massa totale di un sistema e $\vec p_{\mathrm{tot}}$

è la quantità di moto totale, la velocità del centro di massa è:

$\quad$

$\vec v_{\mathrm{CM}}=-\dfrac{\vec p_{\mathrm{tot}}}{M}$ ;

$\vec v_{\mathrm{CM}}=\dfrac{\vec p_{\mathrm{tot}}}{M}$ ;

$\vec v_{\mathrm{CM}}=2\dfrac{\vec p_{\mathrm{tot}}}{M}$ ;

$\vec v_{\mathrm{CM}}=\dfrac{\vec p_{\mathrm{tot}}}{2M}$ ;

$\vec v_{\mathrm{CM}}=\vec{0}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la B.

Dalla relazione (8),

$\vec p_{\mathrm{tot}}=M\vec v_{\mathrm{CM}}.$

Poiché $M>0$ , si ricava

$\vec v_{\mathrm{CM}}=\frac{\vec p_{\mathrm{tot}}}{M}.$

Esercizio 5 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Rispetto a un sistema cartesiano $Oxy$

, con l’asse $x$

orientato verso destra e l’asse $y$

orientato verso l’alto, durante un intervallo di tempo la risultante delle forze esterne su un sistema soddisfa $F_{\mathrm{ext},x}=0 \,\mathrm{N}$

, mentre $F_{\mathrm{ext},y}\ne0\,\mathrm{N}$

. Quale affermazione è certamente corretta?

$\quad$

La quantità di moto totale si conserva interamente.

La componente $p_{\mathrm{tot},y}$ si conserva.

La velocità di ogni punto materiale rimane costante.

La componente $p_{\mathrm{tot},x}$ si conserva.

Il centro di massa rimane necessariamente fermo.

Svolgimento.

La risposta corretta è la D.

Il teorema 13 può essere applicato separatamente alle componenti cartesiane. Poiché

$F_{\mathrm{ext},x}=0\,\mathrm{N},$

l’impulso lungo $x$ è nullo:

$J_{x}=0\,\mathrm{N\cdot s}.$

Pertanto,

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}-p_{\mathrm{tot},x,0}=J_{x}=0\,\mathrm{N\cdot s},$

e la componente $p_{\mathrm{tot},x}$ si conserva. La componente lungo $y$ , invece, può variare perché $F_{\mathrm{ext},y}\neq0 \,\mathrm{N}$ .

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due pattinatori, di masse rispettivamente $60\,\mathrm{kg}$

e $90\,\mathrm{kg}$

, sono inizialmente fermi su una pista orizzontale priva di attrito. Dopo essersi spinti reciprocamente, il primo pattinatore si muove con velocità di modulo $3{,}0\,\mathrm{m/s}$

. Qual è la velocità del secondo pattinatore?

$\quad$

$2{,}0\,\mathrm{m/s}$ , nello stesso verso del primo pattinatore;

$2{,}0\,\mathrm{m/s}$ , nel verso opposto al primo pattinatore;

$3{,}0\,\mathrm{m/s}$ , nel verso opposto al primo pattinatore;

$4{,}5\,\mathrm{m/s}$ , nel verso opposto al primo pattinatore;

Il secondo pattinatore rimane fermo, perché ha massa maggiore.

Svolgimento.

La risposta corretta è la B.

Il sistema formato dai due pattinatori è inizialmente fermo, quindi la sua quantità di moto totale iniziale è nulla. Durante la spinta i pattinatori esercitano l’uno sull’altro forze interne, uguali in modulo e opposte in verso. Poiché l’attrito con la pista è trascurabile, non agiscono forze esterne orizzontali e la quantità di moto totale del sistema si conserva (corollario 14).

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato nel verso di moto del primo pattinatore. Dalla relazione (7), la conservazione della quantità di moto lungo l’asse orizzontale si scrive

$p_{\mathrm{tot},x,0}=p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}=0\,\mathrm{kg\cdot m/s},$

ossia

$0=m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}.$

Sostituendo i dati $m_1=60\,\mathrm{kg}$ , $m_2=90\,\mathrm{kg}$ e $v_{1,x}=3{,}0\,\mathrm{m/s}$ ,

$0\,\mathrm{kg\cdot m/s}=(60\,\mathrm{kg})(3{,}0\,\mathrm{m/s})+(90\,\mathrm{kg})v_{2,x},$

da cui

$v_{2,x}=-2{,}0\,\mathrm{m/s}.$

Il segno negativo indica che il secondo pattinatore si muove nel verso opposto rispetto al primo. La sua velocità ha quindi modulo $2{,}0\,\mathrm{m/s}$ ed è diretta nel verso opposto a quella del primo pattinatore.

Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

$\quad$

Il centro di massa deve sempre coincidere con una particella del sistema.

Il centro di massa è definito solo per due particelle.

Il centro di massa può trovarsi in un punto in cui non è presente alcuna particella.

Il centro di massa dipende solo dalle velocità e non dalle masse.

Il centro di massa coincide sempre con il centro geometrico.

Svolgimento.

La risposta corretta è la C.

Dalla relazione (1) il centro di massa non deve coincidere con uno dei punti materiali. Per due masse positive e in posizioni distinte, in particolare, il centro di massa è interno al segmento che congiunge i due punti: non coincide quindi con nessuno dei due estremi. Può dunque trovarsi in una posizione in cui non è presente alcuna massa.

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se la risultante delle forze esterne è costante durante un intervallo $\Delta t$

, il suo impulso è definito come:

$\quad$

il rapporto tra la forza risultante e l’intervallo di tempo durante il quale essa agisce;

il prodotto tra massa e accelerazione;

la variazione della velocità del corpo;

il prodotto tra massa e tempo;

il prodotto tra la risultante delle forze esterne e l’intervallo di tempo durante il quale essa agisce.

Svolgimento.

La risposta corretta è la E.

Se la risultante delle forze esterne $\vec F_{\mathrm{ext}}$ è costante durante un intervallo di tempo $\Delta t$ , il suo impulso è definito dalla relazione (10)

$\vec J = \vec F_{\mathrm{ext}}\,\Delta t.$

Esercizio 9 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema di massa totale $5\,\mathrm{kg}$

, inizialmente fermo, riceve un impulso orizzontale di modulo $20\,\mathrm{N\cdot s}$

. Qual è il modulo della velocità del centro di massa immediatamente dopo l’impulso?

$\quad$

$4\,\mathrm{m/s}$ ;

$2\,\mathrm{m/s}$ ;

$5\,\mathrm{m/s}$ ;

$20\,\mathrm{m/s}$ ;

$100\,\mathrm{m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la A.

Il sistema è inizialmente fermo, quindi la sua quantità di moto iniziale è nulla:

$\vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec{0}.$

Per il teorema 13,

$\vec J = \Delta\vec p_{\mathrm{tot}} = \vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}-\vec p_{\mathrm{tot},0}.$

Poiché $\vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec{0}$ , il modulo della quantità di moto finale vale

$p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}=J=20\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

La quantità di moto totale è legata alla velocità del centro di massa dalla relazione (8)

$p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}=Mv_{\mathrm{CM}}.$

Pertanto,

$v_{\mathrm{CM}} = \frac{p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}}{M} = \frac{20\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{5\,\mathrm{kg}} = 4\,\mathrm{m/s}.$

Il centro di massa si muove nel verso dell’impulso ricevuto.

Esercizio 10 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due punti materiali di uguale massa hanno, in un sistema di riferimento $Ox$

, componenti delle velocità $v_{1,x}=+5\,\mathrm{m/s}$

e $v_{2,x}=-5\,\mathrm{m/s}$

. La velocità del centro di massa ha componente $x$

pari a:

$\quad$

$-5\,\mathrm{m/s}$ ;

$0\,\mathrm{m/s}$ ;

$+5\,\mathrm{m/s}$ ;

$10\,\mathrm{m/s}$ ;

$25\,\mathrm{m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la B.

Si indica con $m$ la massa comune. Dalle relazioni (7) e (8),

$v_{\mathrm{CM},x} =\frac{(+5\,\mathrm{m/s})+(-5\,\mathrm{m/s})}{2} =0\,\mathrm{m/s}.$

Poiché le due masse sono uguali, i contributi alla quantità di moto totale si compensano esattamente.

La simmetria delle due velocità è evidente nella figura 7.

Figura 7: masse uguali con velocità opposte e di uguale modulo: il centro di massa è istantaneamente fermo.

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema ha quantità di moto iniziale pari a $8\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

verso destra. Quale impulso deve essere applicato affinché la quantità di moto finale sia nulla?

$\quad$

$8\,\mathrm{N\cdot s}$ verso destra;

$4\,\mathrm{N\cdot s}$ verso sinistra;

$8\,\mathrm{N\cdot s}$ verso sinistra;

$16\,\mathrm{N\cdot s}$ verso sinistra;

impulso nullo.

Svolgimento.

La risposta corretta è la C.

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. Dal teorema 13,

$J_{x} =p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}-p_{\mathrm{tot},x,0} =0\,\mathrm{kg\cdot m/s}-8\,\mathrm{kg\cdot m/s} =-8\,\mathrm{N\cdot s}.$

L’impulso deve quindi avere modulo $8\,\mathrm{N\cdot s}$ ed essere diretto verso sinistra.

Esercizio 12 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

con l’asse $x$

orientato verso destra, un sistema isolato si muove inizialmente lungo tale asse con velocità del centro di massa pari a $3\,\mathrm{m/s}$

. Supponendo che al tempo $t=0\,\mathrm{s}$

il centro di massa si trovi in $x=0\,\mathrm{m}$

, la sua posizione al tempo $t=2\,\mathrm{s}$

è:

$\quad$

$x=0\,\mathrm{m}$ ;

$x=2\,\mathrm{m}$ ;

$x=3\,\mathrm{m}$ ;

$x=6\,\mathrm{m}$ ;

$x=9\,\mathrm{m}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la D.

Poiché il sistema è isolato, la risultante delle forze esterne è nulla. Di conseguenza, la componente orizzontale della quantità di moto del sistema si conserva (corollario 14):

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}=p_{\mathrm{tot},x,0}.$

La quantità di moto totale è legata alla velocità del centro di massa dalla relazione (8)

$\vec p_{\mathrm{tot}}=M\vec v_{\mathrm{CM}}.$

Poiché la massa totale del sistema rimane costante, dalla conservazione di $\vec p_{\mathrm{tot}}$ segue che anche la componente orizzontale di $\vec v_{\mathrm{CM}}$ rimane costante.

Pertanto,

$v_{\mathrm{CM},x}= v_{\mathrm{CM},x,0} = v_{\mathrm{CM},x,\mathrm{f}} = 3\,\mathrm{m/s}.$

Il centro di massa compie quindi un moto rettilineo uniforme; la sua posizione dopo $\Delta t=2\,\mathrm{s}$ è:

$x_{\mathrm{CM}}=v_{\mathrm{CM},x}\Delta t=(3\,\mathrm{m/s})(2\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}.$

Esercizio 13 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema inizialmente fermo riceve un impulso esterno di modulo $12\,\mathrm{N\cdot s}$

. Quale affermazione è corretta?

$\quad$

La quantità di moto finale rimane nulla.

Il centro di massa rimane fermo.

La quantità di moto finale del sistema ha modulo $12\,\mathrm{kg\cdot m/s^2}$ .

La quantità di moto finale del sistema ha verso opposto a quello dell’impulso ricevuto.

La quantità di moto finale del sistema ha modulo $12\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la E.

Il sistema è inizialmente fermo, quindi la sua quantità di moto totale iniziale è nulla:

$\vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec{0}.$

Poiché $\vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec{0}$ , per il teorema 13,

$\vec J = \vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}.$

Di conseguenza, il modulo della quantità di moto finale è

$p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}=12\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

La quantità di moto finale ha inoltre la stessa direzione e lo stesso verso dell’impulso ricevuto.

Esercizio 14 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due bambini e il carrello su cui si trovano sono inizialmente fermi. Il carrello è libero di muoversi senza attrito, e i bambini si spingono tra loro nella direzione orizzontale. Per il sistema formato dai due bambini e dal carrello, quale affermazione è corretta?

$\quad$

La coordinata orizzontale del centro di massa può spostarsi solo per effetto delle spinte interne.

La componente orizzontale della quantità di moto totale aumenta sempre.

La coordinata orizzontale del centro di massa resta ferma.

La componente orizzontale della quantità di moto totale diminuisce sempre.

La coordinata orizzontale del centro di massa si sposta verso la posizione del bambino più pesante.

Svolgimento.

La risposta corretta è la C.

Si considera come sistema l’insieme formato dai due bambini e dal carrello. Le spinte che questi corpi esercitano gli uni sugli altri sono forze interne. Dal momento che il carrello può muoversi senza attrito, la risultante delle forze esterne orizzontali è nulla e la componente orizzontale della quantità di moto totale si conserva, per il corollario 14.

Poiché essa è inizialmente nulla, tale componente della quantità di moto totale rimane nulla. Quindi, grazie alla formula (8), la componente orizzontale della velocità finale del centro di massa è nulla, cioè la sua coordinata orizzontale resta costante.

Esercizio 15 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Una massa di $4\,\mathrm{kg}$

è ferma e una massa di $1\,\mathrm{kg}$

si muove verso destra con velocità di $10\,\mathrm{m/s}$

. Il modulo della velocità del centro di massa del sistema è:

$\quad$

$1\,\mathrm{m/s}$ ;

$4\,\mathrm{m/s}$ ;

$5\,\mathrm{m/s}$ ;

$10\,\mathrm{m/s}$ ;

$2\,\mathrm{m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la E.

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. Dalla relazione (4),

$v_{\mathrm{CM},x}=\frac{m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}}{m_1+m_2}.$

Sostituendo i dati,

$v_{\mathrm{CM},x}=\frac{(4\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m/s})+(1\,\mathrm{kg})(10\,\mathrm{m/s})}{4\,\mathrm{kg}+1\,\mathrm{kg}}=2\,\mathrm{m/s}.$

Il risultato è positivo, quindi il centro di massa si muove verso destra.

Esercizio 16 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due masse positive e diverse si trovano agli estremi di un segmento. Il centro di massa si trova:

$\quad$

sempre nel punto medio, qualunque siano le masse;

sul segmento, più vicino alla massa maggiore;

sempre fuori dal segmento;

sempre sulla massa minore;

in un punto non definibile.

Svolgimento.

La risposta corretta è la B.

Per due punti materiali posti lungo l’asse $x$ , la coordinata del centro di massa si ottiene dalla relazione (2)

$x_{\mathrm{CM}} = \frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}.$

Poiché le masse $m_1$ e $m_2$ sono entrambe positive, la posizione del centro di massa è una media pesata delle posizioni delle due masse. Di conseguenza, il centro di massa si trova sempre tra i due punti, ossia sul segmento che li congiunge.

Se una delle due masse è maggiore dell’altra, essa contribuisce maggiormente alla media pesata. Per questo motivo il centro di massa risulta spostato verso la massa maggiore.

La posizione del centro di massa è illustrata in figura 8.

Figura 8: per due masse positive il centro di massa appartiene al segmento ed è più vicino alla massa maggiore.

Esercizio 17 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema di due corpi scivola su un piano ruvido. Se l’attrito esterno non è trascurabile, la componente orizzontale della quantità di moto totale:

$\quad$

si conserva sempre;

è sempre nulla;

non si conserva necessariamente;

coincide con l’energia cinetica;

dipende solo dalla massa.

Svolgimento.

La risposta corretta è la C.

La quantità di moto totale di un sistema si conserva soltanto se la risultante delle forze esterne nella direzione considerata è nulla (corollario 14).

In questo caso il sistema è costituito dai due corpi. L’attrito esercitato dal piano è una forza esterna al sistema e possiede una componente orizzontale. Di conseguenza, la risultante delle forze esterne orizzontali non è necessariamente nulla e la quantità di moto orizzontale del sistema può variare nel tempo.

La figura 9 schematizza la distinzione: le forze reciproche tra i due corpi sono interne e si cancellano nella somma sul sistema, mentre una forza orizzontale esercitata dall’esterno contribuisce a $\vec F_{\mathrm{ext}}$ . Nel problema tale contributo esterno è fornito dall’attrito del piano.

Figura 9: schema delle forze agenti sul sistema costituito dai due corpi $m_1$ e $m_2$ . Le forze $\vec F_{2\to1}$ e $\vec F_{1\to2}$ sono forze interne al sistema e, per il terzo principio della dinamica, soddisfano $\vec F_{1\to2}+\vec F_{2\to1}=\vec{0}$ . La forza $\vec F_{\mathrm{ext}}$ rappresenta invece una forza esterna agente sul sistema.

Esercizio 18 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Rispetto a un sistema cartesiano $Oxyz$

, tre masse uguali si trovano nei punti $(0;0;1)\,\mathrm{m}$

, $(6;0;2)\,\mathrm{m}$

e $(0;6;0)\,\mathrm{m}$

. Il centro di massa è:

$\quad$

$(0;0;1)\,\mathrm{m}$ ;

$(3;3;1)\,\mathrm{m}$ ;

$(6;6;1)\,\mathrm{m}$ ;

$(4;2;1)\,\mathrm{m}$ ;

$(2;2;1)\,\mathrm{m}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la E.

Poiché le tre masse sono uguali, le coordinate del centro di massa si ottengono calcolando la media aritmetica delle coordinate dei tre punti (relazione (1):

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \qquad y_{\mathrm{CM}}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \qquad z_{\mathrm{CM}}=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}.$

Per la coordinata $x$ si ha

$x_{\mathrm{CM}} = \frac{0\,\mathrm{m}+6\,\mathrm{m}+0\,\mathrm{m}}{3} = 2\,\mathrm{m}.$

Per la coordinata $y$ si ha

$y_{\mathrm{CM}} = \frac{0\,\mathrm{m}+0\,\mathrm{m}+6\,\mathrm{m}}{3} = 2\,\mathrm{m}.$

Infine, per la coordinata $z$ si ha

$z_{\mathrm{CM}} = \frac{1\,\mathrm{m}+2\,\mathrm{m}+0\,\mathrm{m}}{3} = 1\,\mathrm{m}.$

Le coordinate del centro di massa sono dunque

$(x_{\mathrm{CM}};y_{\mathrm{CM}};z_{\mathrm{CM}})=(2;2;1)\,\mathrm{m}.$

Esercizio 19 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

con l’asse $x$

orientato verso destra, un sistema ha inizialmente centro di massa in $x_{\mathrm{CM},0}$

. Se si aggiunge una massa $m>0$

nella posizione $x>x_{\mathrm{CM},0}$

, il nuovo centro di massa:

$\quad$

si sposta verso destra;

si sposta necessariamente verso sinistra;

rimane sempre nello stesso punto;

diventa nullo;

non dipende più dalle masse precedenti.

Svolgimento.

La risposta corretta è la A.

Si indicano con $M$ la massa totale iniziale e con $x_{\mathrm{CM},0}$ la coordinata iniziale del centro di massa. Dalla formula (2), per il sistema iniziale,

$Mx_{\mathrm{CM},0}=\sum_{i=1}^{N}m_ix_i.$

Dopo aver aggiunto una massa $m>0$ nella posizione $x$ , la massa totale è $M+m$ e

$(M+m)x_{\mathrm{CM},\mathrm f}=Mx_{\mathrm{CM},0}+mx.$

Pertanto

$\begin{aligned} x_{\mathrm{CM},\mathrm f}-x_{\mathrm{CM},0} &=\frac{Mx_{\mathrm{CM},0}+mx}{M+m}-x_{\mathrm{CM},0}\\ &=\frac{m(x-x_{\mathrm{CM},0})}{M+m}. \end{aligned}$

Poiché $m/(M+m)>0$ e, per ipotesi, $x-x_{\mathrm{CM},0}>0$ , la variazione è positiva. Il centro di massa si sposta quindi verso destra, cioè verso la massa aggiunta.

Esercizio 20 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. La quantità di moto totale di un sistema si conserva quando è nulla la risultante delle forze:

$\quad$

interne;

elastiche;

gravitazionali;

esterne;

centripete.

Svolgimento.

La risposta corretta è la D.

Il corollario 14 richiede che sia nulla la risultante delle forze esterne:

$\vec F_{\mathrm{ext}}=\vec{0} \qquad\Longrightarrow\qquad \vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}.$

Esercizio 21 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Per un insieme di $N$

punti materiali di posizioni $\vec r_i$

, si definisce centro geometrico il punto di posizione

$\displaystyle \vec r_{\mathrm{geom}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec r_i.$

Il centro di massa e il centro geometrico coincidono sempre?

$\quad$

Sì, per qualunque distribuzione di masse.

Sì, ma solo se il sistema si muove.

No, perché il centro di massa non esiste per punti materiali.

Sì, se la quantità di moto totale è nulla.

No, ma possono coincidere in particolari distribuzioni delle masse.

Svolgimento.

La risposta corretta è la E.

Il centro geometrico qui considerato è il centro geometrico delle posizioni. Indicandone la posizione con $\vec r_{\mathrm{geom}}$ ,

$\vec r_{\mathrm{geom}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\vec r_i.$

Se tutte le masse sono uguali, $m_i=m$ , dalla relazione (1) segue

$\vec r_{\mathrm{CM}} =\frac{m\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\vec r_i}{Nm} =\vec r_{\mathrm{geom}}.$

Per masse non uguali, in generale i due punti non coincidono.

Un esempio è mostrato in figura 10: quando le masse non sono uniformi, il centro di massa è spostato verso la regione che contiene la massa maggiore e non coincide, in generale, con il centro geometrico.

Figura 10: confronto tra centro geometrico e centro di massa per una distribuzione non uniforme delle masse.

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Rispetto a un sistema cartesiano $Oxy$

, due punti materiali hanno masse $2\,\mathrm{kg}$

e $3\,\mathrm{kg}$

. Il primo si trova in $(0;4)\,\mathrm{m}$

, il secondo in $(5;0)\,\mathrm{m}$

. Le coordinate del centro di massa sono:

$\quad$

$(2;2)\,\mathrm{m}$ ;

$(2{,}5;2)\,\mathrm{m}$ ;

$(4;3)\,\mathrm{m}$ ;

$(5;4)\,\mathrm{m}$ ;

$(3;1{,}6)\,\mathrm{m}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la E.

Nel piano $xy$ , le coordinate del centro di massa si calcolano mediante le relazioni (3):

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}, \qquad y_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1y_1+m_2y_2}{m_1+m_2}.$

Per la coordinata $x$ , sostituendo i dati ( $m_1=2\,\mathrm{kg}$ , $x_1=0\,\mathrm{m}$ , $m_2=3\,\mathrm{kg}$ e $x_2=5\,\mathrm{m}$ ) si ha

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{(2\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(3\,\mathrm{kg})(5\,\mathrm{m})}{2\,\mathrm{kg}+3\,\mathrm{kg}}=3\,\mathrm{m}.$

Per la coordinata $y$ , sostituendo i dati ( $m_1=2\,\mathrm{kg}$ , $y_1=4\,\mathrm{m}$ , $m_2=3\,\mathrm{kg}$ e $y_2=0\,\mathrm{m}$ ) si ha

$y_{\mathrm{CM}}=\frac{(2\,\mathrm{kg})(4\,\mathrm{m})+(3\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})}{2\,\mathrm{kg}+3\,\mathrm{kg}}=1{,}6\,\mathrm{m}.$

Quindi

$(x_{\mathrm{CM}};y_{\mathrm{CM}})=(3;1{,}6)\,\mathrm{m}.$

La costruzione grafica corrispondente è riportata in figura 11.

Figura 11: determinazione grafica del centro di massa nel piano $xy$ .

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due corpi si muovono lungo lo stesso asse orizzontale $x$

. Il primo, di massa $5\,\mathrm{kg}$

, si muove verso destra con velocità di $2\,\mathrm{m/s}$

; il secondo, di massa $3\,\mathrm{kg}$

, si muove verso sinistra con velocità di $4\,\mathrm{m/s}$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

con l’asse $x$

orientato verso destra, la componente $p_{\mathrm{tot},x}$

della quantità di moto totale è:

$\quad$

$+22\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$+2\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$-2\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$0\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$-22\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la C.

Si ha $m_1=5\,\mathrm{kg}$ , $m_2=3\,\mathrm{kg}$ , $v_{1,x}=+2\,\mathrm{m/s}$ e $v_{2,x}=-4\,\mathrm{m/s}$ . Dalla relazione (7),

$p_{\mathrm{tot},x} =m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}=(5\,\mathrm{kg})(2\,\mathrm{m/s})+(3\,\mathrm{kg})(-4\,\mathrm{m/s}) =-2\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Il segno negativo indica che la quantità di moto totale è diretta verso sinistra.

La figura 12 mette in evidenza le componenti orizzontali, con segni opposti.

Figura 12: le due quantità di moto hanno componenti orizzontali di segno opposto.

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due pattinatori sono inizialmente fermi su una pista orizzontale priva di attrito. Il primo ha massa $60\,\mathrm{kg}$

, il secondo $40\,\mathrm{kg}$

. Dopo essersi spinti a vicenda, il pattinatore di massa $40\,\mathrm{kg}$

si muove verso destra con velocità di $3\,\mathrm{m/s}$

. La velocità del pattinatore di massa $60\,\mathrm{kg}$

è:

$\quad$

$3\,\mathrm{m/s}$ verso sinistra;

$4{,}5\,\mathrm{m/s}$ verso sinistra;

$2\,\mathrm{m/s}$ verso destra;

$0\,\mathrm{m/s}$ ;

$2\,\mathrm{m/s}$ verso sinistra.

Svolgimento.

La risposta corretta è la E.

Il sistema è inizialmente fermo e, poiché la pista è priva di attrito, la risultante delle forze esterne orizzontali è nulla. Di conseguenza, per il corollario 14 e per la relazione (7), la componente orizzontale della quantità di moto totale si conserva.

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. Poiché il sistema è inizialmente fermo,

$p_{\mathrm{tot},x,0}=0\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Dopo la spinta,

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}=m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}.$

Dalla conservazione della quantità di moto,

$m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}=0\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Sostituendo i dati,

$(60\,\mathrm{kg})v_{1,x}+(40\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m/s})=0\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Quindi,

$v_{1,x}=-2\,\mathrm{m/s}.$

Il segno negativo indica che il pattinatore di massa $60\,\mathrm{kg}$ si muove verso sinistra.

La figura 13 mostra i moti opposti dopo la spinta a vicenda.

Figura 13: dopo la spinta interna, i pattinatori si allontanano in versi opposti con velocità rispettivamente pari a $\vec v_1$ e $\vec v_2$ .

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Il sistema formato da un astronauta di massa $80\,\mathrm{kg}$

e da un attrezzo di massa $4\,\mathrm{kg}$

è inizialmente fermo nello spazio. L’astronauta lancia l’attrezzo verso destra con velocità $10\,\mathrm{m/s}$

rispetto a un osservatore inerziale. Trascurando le forze esterne, la velocità dell’astronauta dopo il lancio è:

$\quad$

$0{,}5\,\mathrm{m/s}$ verso sinistra;

$0{,}5\,\mathrm{m/s}$ verso destra;

$2\,\mathrm{m/s}$ verso sinistra;

$10\,\mathrm{m/s}$ verso sinistra;

nulla.

Svolgimento.

La risposta corretta è la A.

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato nel verso di lancio dell’attrezzo. Si indicano con $m_{\mathrm a}=80\,\mathrm{kg}$ la massa dell’astronauta e con $m_{\mathrm t}=4\,\mathrm{kg}$ quella dell’attrezzo. Il sistema è inizialmente fermo e le forze esterne sono trascurabili; per il corollario 14, la componente lungo l’asse $x$ della quantità di moto totale resta nulla. Dalla relazione (7),

$p_{\mathrm{tot},x}=m_{\mathrm a}v_{\mathrm a,x}+m_{\mathrm t}v_{\mathrm t,x}=0\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Con $v_{\mathrm t,x}=+10\,\mathrm{m/s}$ ,

$(80\,\mathrm{kg})v_{\mathrm a,x}+(4\,\mathrm{kg})(10\,\mathrm{m/s})=0\,\mathrm{kg\cdot m/s}, \qquad v_{\mathrm a,x}=-0{,}5\,\mathrm{m/s}.$

L’astronauta si muove quindi con velocità di $0{,}5\,\mathrm{m/s}$ nel verso opposto al lancio.

La figura 14 evidenzia i versi opposti dei moti dopo il lancio.

Figura 14: astronauta e attrezzo si muovono in versi opposti dopo il lancio.

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Tre punti materiali di masse $1\,\mathrm{kg}$

, $2\,\mathrm{kg}$

e $3\,\mathrm{kg}$

si muovono lungo un asse orientato, indicato con $x$

. Le rispettive componenti delle velocità sono $v_{1,x}=+2\,\mathrm{m/s}$

, $v_{2,x}=-1\,\mathrm{m/s}$

e $v_{3,x}=-\tfrac{1}{3}\,\mathrm{m/s}$

. La componente $v_{\mathrm{CM},x}$

della velocità del centro di massa è circa:

$\quad$

$0\,\mathrm{m/s}$ ;

$0{,}5\,\mathrm{m/s}$ ;

$1\,\mathrm{m/s}$ ;

$-0{,}17\,\mathrm{m/s}$ ;

$6\,\mathrm{m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la D.

La velocità del centro di massa si ricava dalla relazione (8)

$\vec p_{\mathrm{tot}}=M\vec v_{\mathrm{CM}},$

dove $\vec p_{\mathrm{tot}}$ è la quantità di moto totale del sistema e $M$ la sua massa totale.

Poiché il moto avviene lungo una sola retta, è sufficiente considerare la componente della quantità di moto lungo tale direzione (7):

$p_{\mathrm{tot},x}=m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}+m_3v_{3,x}.$

Sostituendo i dati si ottiene

$p_{\mathrm{tot},x} = (1\,\mathrm{kg})(2\,\mathrm{m/s}) + (2\,\mathrm{kg})(-1\,\mathrm{m/s}) + (3\,\mathrm{kg})(-\frac{1}{3}\,\mathrm{m/s}) = -1\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

La massa totale del sistema vale

$M=1\,\mathrm{kg}+2\,\mathrm{kg}+3\,\mathrm{kg}=6\,\mathrm{kg}.$

Pertanto,

$v_{\mathrm{CM},x} = \frac{p_{\mathrm{tot},x}}{M} = \frac{-1\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{6\,\mathrm{kg}} \approx -0{,}17\,\mathrm{m/s}.$

Il segno negativo indica che il centro di massa si muove nel verso negativo dell’asse scelto.

La figura 15 rappresenta schematicamente il sistema fisico e i versi delle tre velocità.

Figura 15: tre punti materiali con velocità aventi componenti di segno diverso lungo l’asse $x$ .

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Rispetto a un sistema cartesiano $Oxy$

, con l’asse $x$

orientato verso destra e l’asse $y$

orientato verso l’alto, un sistema di punti materiali ha quantità di moto totale di modulo $p_{\mathrm{tot}}=13\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

. Sapendo che $p_{\mathrm{tot},x}=5\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

, il modulo della componente $p_{\mathrm{tot},y}$

, cioè $|p_{\mathrm{tot},y}|$

, vale:

$\quad$

$6\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$8\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$10\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$12\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$18\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la D.

Le componenti cartesiane della quantità di moto totale soddisfano

$p_{\mathrm{tot}}^2=p_{\mathrm{tot},x}^2+p_{\mathrm{tot},y}^2.$

Pertanto

$|p_{\mathrm{tot},y}| =\sqrt{(13\,\mathrm{kg\cdot m/s})^2-(5\,\mathrm{kg\cdot m/s})^2} =12\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Si noti che, coerentemente con la richiesta della traccia, dai dati non è possibile determinare il segno di $p_{\mathrm{tot},y}$ : la componente può valere $+12\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ oppure $-12\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ , mentre il suo modulo è univocamente determinato.

I due orientamenti compatibili con i dati sono mostrati in figura 16.

Figura 16: due possibili orientamenti della quantità di moto totale per i due segni compatibili di $p_{\mathrm{tot},y}$ .

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Rispetto a un sistema cartesiano $Oxy$

, tre punti materiali, di masse rispettivamente $1\,\mathrm{kg}$

, $2\,\mathrm{kg}$

e $1\,\mathrm{kg}$

, si trovano nei punti $(0;0)\,\mathrm{m}$

, $(3;0)\,\mathrm{m}$

e $(0;4)\,\mathrm{m}$

. Il centro di massa è:

$\quad$

$(1{,}5;1)\,\mathrm{m}$ ;

$(1;1)\,\mathrm{m}$ ;

$(2;2)\,\mathrm{m}$ ;

$(3;4)\,\mathrm{m}$ ;

$(0;0)\,\mathrm{m}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la A.

Dalla relazione piana (3),

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{M},\qquad y_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3}{M}.$

La massa totale è $M=m_1+m_2+m_3=1\,\mathrm{kg}+2\,\mathrm{kg}+1\,\mathrm{kg}=4\,\mathrm{kg}$ . Sostituendo i dati,

$\begin{aligned} x_{\mathrm{CM}} &=\frac{(1\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(2\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m})+(1\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})}{4\,\mathrm{kg}} =1{,}5\,\mathrm{m},\\ y_{\mathrm{CM}} &=\frac{(1\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(2\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(1\,\mathrm{kg})(4\,\mathrm{m})}{4\,\mathrm{kg}} =1\,\mathrm{m}. \end{aligned}$

Il centro di massa ha quindi coordinate

$(x_{\mathrm{CM}};y_{\mathrm{CM}})=(1{,}5;1)\,\mathrm{m}.$

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

con l’asse $x$

orizzontale orientato verso destra, due dischi collegati da una molla di massa trascurabile scivolano su un piano orizzontale privo di attrito. In un certo istante, il primo disco, di massa $2\,\mathrm{kg}$

, ha $v_{1,x}=+4\,\mathrm{m/s}$

, mentre il secondo, di massa $3\,\mathrm{kg}$

, ha $v_{2,x}=-1\,\mathrm{m/s}$

. Qual è la componente $p_{\mathrm{tot},x}$

della quantità di moto totale del sistema?

$\quad$

$+11\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$-5\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$+7\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$+5\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$0\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la D.

Poiché la molla ha massa trascurabile, dalla relazione (7)

$p_{\mathrm{tot},x}=m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}.$

Sostituendo i dati,

$p_{\mathrm{tot},x}=(2\,\mathrm{kg})(4\,\mathrm{m/s})+(3\,\mathrm{kg})(-1\,\mathrm{m/s})=+5\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Le forze elastiche interne possono modificare le velocità dei singoli dischi, ma non modificano la quantità di moto totale del sistema.

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Una particella di massa $2\,\mathrm{kg}$

si muove con velocità di modulo $1\,\mathrm{m/s}$

. Una particella di massa $3\,\mathrm{kg}$

si muove nella stessa direzione e nello stesso verso con una velocità il cui modulo incognito è $v$

. Se $v_{\mathrm{CM}}=4\,\mathrm{m/s}$

, allora $v$

vale:

$\quad$

$4\,\mathrm{m/s}$ ;

$6\,\mathrm{m/s}$ ;

$5\,\mathrm{m/s}$ ;

$8\,\mathrm{m/s}$ ;

$10\,\mathrm{m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la B.

Poiché le due particelle si muovono nella stessa direzione e nello stesso verso, per i moduli la formula (4) diventa

$v_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1v_1+m_2v}{m_1+m_2}.$

Sostituendo i dati,

$(2\,\mathrm{kg}+3\,\mathrm{kg})(4\,\mathrm{m/s}) =(2\,\mathrm{kg})(1\,\mathrm{m/s})+(3\,\mathrm{kg})v.$

Risolvendo l’equazione si ottiene

$(3\,\mathrm{kg})v =20\,\mathrm{kg\cdot m/s}-2\,\mathrm{kg\cdot m/s} =18\,\mathrm{kg\cdot m/s},$

da cui $v=6\,\mathrm{m/s}$ .

Esercizio 31 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Si considerano due sistemi aventi la medesima quantità di moto totale $\vec p_{\mathrm{tot}}\neq \vec{0}$

. Il primo sistema ha massa totale $M$

, mentre il secondo ha massa totale $2M$

. Rispetto al primo sistema, la velocità del centro di massa del secondo:

$\quad$

raddoppia;

resta sempre uguale;

si dimezza;

diventa nulla;

diventa infinita.

Svolgimento.

La risposta corretta è la C.

Si indicano con $\vec v_{\mathrm{CM},1}$ e $\vec v_{\mathrm{CM},2}$ le velocità dei centri di massa dei due sistemi. Dalla (8), poiché la quantità di moto totale è la stessa,

$\vec p_{\mathrm{tot}} =M\vec v_{\mathrm{CM},1} =2M\vec v_{\mathrm{CM},2}.$

Semplificando $M$ ,

$\vec v_{\mathrm{CM},2}=\frac12\vec v_{\mathrm{CM},1}.$

Esercizio 32 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Dato un sistema di riferimento $Ox$

, tre masse di $2\,\mathrm{kg}$

, $3\,\mathrm{kg}$

e $m$

si trovano rispettivamente in $x=-1\,\mathrm{m}$

, $x=2\,\mathrm{m}$

e $x=5\,\mathrm{m}$

. Sapendo che il centro di massa si trova in $x_{\mathrm{CM}}=3\,\mathrm{m}$

, il valore di $m$

è:

$\quad$

$5{,}5\,\mathrm{kg}$ ;

$2\,\mathrm{kg}$ ;

$3{,}5\,\mathrm{kg}$ ;

$4\,\mathrm{kg}$ ;

$7\,\mathrm{kg}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la A.

Dalla formula (2),

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}.$

Sostituendo i dati e indicando con $m_3=m$ la terza massa,

$3\,\mathrm{m} =\frac{(2\,\mathrm{kg})(-1\,\mathrm{m})+(3\,\mathrm{kg})(2\,\mathrm{m})+m_3(5\,\mathrm{m})} {2\,\mathrm{kg}+3\,\mathrm{kg}+m_3}.$

Moltiplicando per il denominatore,

$(3\,\mathrm{m})(5\,\mathrm{kg}+m_3) =4\,\mathrm{kg\cdot m}+m_3(5\,\mathrm{m}).$

Da ciò

$15\,\mathrm{kg\cdot m}+m_3(3\,\mathrm{m}) =4\,\mathrm{kg\cdot m}+m_3(5\,\mathrm{m}),$

e quindi $11\,\mathrm{kg\cdot m}=m_3(2\,\mathrm{m})$ . Pertanto

$m_3=5{,}5\,\mathrm{kg}.$

Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Tre corpi si muovono lungo una stessa retta. Il primo ha massa $4\,\mathrm{kg}$

e si muove verso destra con velocità di $3\,\mathrm{m/s}$

; il secondo ha massa $2\,\mathrm{kg}$

e si muove verso sinistra con velocità di $5\,\mathrm{m/s}$

; il terzo ha massa $4\,\mathrm{kg}$

e si muove verso destra con velocità di $1\,\mathrm{m/s}$

. La velocità del centro di massa del sistema è:

$\quad$

$0{,}6\,\mathrm{m/s}$ verso sinistra;

$0{,}6\,\mathrm{m/s}$ verso destra;

nulla;

$1\,\mathrm{m/s}$ verso destra;

$2{,}6\,\mathrm{m/s}$ verso destra.

Svolgimento.

La risposta corretta è la B.

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. Dalla formula (4),

$v_{\mathrm{CM},x}=\frac{m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}+m_3v_{3,x}}{m_1+m_2+m_3}.$

Sostituendo i dati,

$v_{\mathrm{CM},x} =\frac{(4\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m/s})+(2\,\mathrm{kg})(-5\,\mathrm{m/s})+(4\,\mathrm{kg})(1\,\mathrm{m/s})} {4\,\mathrm{kg}+2\,\mathrm{kg}+4\,\mathrm{kg}} =0{,}6\,\mathrm{m/s}.$

Il segno positivo indica che il centro di massa si muove verso destra.

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Tre pattinatori di masse $50\,\mathrm{kg}$

, $70\,\mathrm{kg}$

e $80\,\mathrm{kg}$

si muovono inizialmente insieme verso destra con velocità $2\,\mathrm{m/s}$

su una pista orizzontale priva di attrito. Dopo una loro interazione, il primo pattinatore si ferma e il secondo si muove verso destra con velocità $3\,\mathrm{m/s}$

. La velocità del terzo pattinatore è circa:

$\quad$

$0{,}5\,\mathrm{m/s}$ verso sinistra;

$1{,}5\,\mathrm{m/s}$ verso destra;

$2{,}38\,\mathrm{m/s}$ verso destra;

$2{,}0\,\mathrm{m/s}$ verso destra;

$3{,}5\,\mathrm{m/s}$ verso destra.

Svolgimento.

La risposta corretta è la C.

Poiché la pista è priva di attrito, la quantità di moto totale dei tre pattinatori si conserva. Indicando con $v_0=2\,\mathrm{m/s}$ la velocità iniziale comune e con $v_{3,\mathrm f}$ la velocità finale del terzo,

$(m_1+m_2+m_3)v_0=m_1v_{1,\mathrm f}+m_2v_{2,\mathrm f}+m_3v_{3,\mathrm f}.$

Poiché $v_{1,\mathrm f}=0\,\mathrm{m/s}$ e $v_{2,\mathrm f}=3\,\mathrm{m/s}$ ,

$\begin{aligned} v_{3,\mathrm f} &=\frac{(m_1+m_2+m_3)v_0-m_2v_{2,\mathrm f}}{m_3}\\ &=\frac{(50\,\mathrm{kg}+70\,\mathrm{kg}+80\,\mathrm{kg})(2\,\mathrm{m/s})-(70\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m/s})}{80\,\mathrm{kg}}\\ &=2{,}375\,\mathrm{m/s}\approx2{,}38\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}$

Il risultato è positivo, quindi il terzo pattinatore continua a muoversi verso destra.

Esercizio 35 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Tre punti materiali di uguale massa si trovano nei vertici di un triangolo. Il centro di massa coincide con:

$\quad$

uno qualunque dei tre vertici;

il punto medio del lato più lungo;

il circocentro del triangolo;

il centroide geometrico del triangolo;

un punto esterno al triangolo in ogni caso.

Svolgimento.

La risposta corretta è la D.

Si indicano con $A$ , $B$ e $C$ i tre vertici e con $m$ la massa comune. Dalla definizione 1,

$\vec r_{\mathrm{CM}}=\frac{\vec r_A+\vec r_B+\vec r_C}{3}.$

Se $M_{BC}$ è il punto medio del lato $BC$ , allora

$\vec r_{M_{BC}}=\frac{\vec r_B+\vec r_C}{2}.$

Di conseguenza,

$\vec r_{\mathrm{CM}} =\frac13\vec r_A+\frac23\vec r_{M_{BC}} =\vec r_A+\frac23\left(\vec r_{M_{BC}}-\vec r_A\right).$

Il centro di massa appartiene dunque alla mediana uscente da $A$ e la divide nel rapporto $2:1$ a partire dal vertice. Lo stesso ragionamento vale per le altre due mediane: il punto comune è il centroide geometrico del triangolo.

La costruzione geometrica è riportata in figura 17: le tre mediane si incontrano nel punto $\mathrm{CM}$ .

Figura 17: centro di massa di tre masse uguali poste ai vertici di un triangolo.

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. In un sistema di punti materiali, le forze interne tra i punti materiali, considerate a coppie, non modificano la quantità di moto totale perché:

$\quad$

si compensano a coppie per il terzo principio della dinamica;

sono sempre nulle;

hanno sempre lo stesso verso;

agiscono solo se il sistema è fermo;

le coppie di forze interne si annullano soltanto nel caso in cui le masse del sistema siano uguali.

Svolgimento.

La risposta corretta è la A.

Per il terzo principio della dinamica, per ogni coppia di punti materiali $i,j$ e in ogni istante vale

$\vec F_{j\to i}=-\vec F_{i\to j}\qquad \mathrm{per\, ogni\,}(i,j)\in\{1,\cdots,N\}^2\,\mathrm{con\,}i\neq j.$

Su uno stesso intervallo di tempo, l’impulso che il punto $j$ comunica a $i$ è quindi opposto all’impulso che $i$ comunica a $j$ . Sommando i contributi di tutte le coppie, l’impulso totale dovuto alle forze interne è nullo. Poiché, per ciascun punto, l’impulso è pari alla variazione della sua quantità di moto, anche la somma delle variazioni dovute alle forze interne è nulla. Le forze interne possono dunque modificare le quantità di moto dei singoli punti, ma non la quantità di moto totale del sistema.

Esercizio 37 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un corpo, inizialmente fermo su un piano orizzontale privo di attrito, si separa in tre frammenti a seguito dell’azione di forze interne a esso. Il primo frammento, di massa $2\,\mathrm{kg}$

, si muove verso est con velocità $3\,\mathrm{m/s}$

; il secondo, di massa $3\,\mathrm{kg}$

, si muove verso nord con velocità $2\,\mathrm{m/s}$

. Se il terzo frammento ha massa $1\,\mathrm{kg}$

, qual è la sua velocità?

$\quad$

$6\sqrt{2}\,\mathrm{m/s}$ verso sud-ovest;

$6\,\mathrm{m/s}$ verso sud-ovest;

$6\sqrt{2}\,\mathrm{m/s}$ verso nord-est;

$6\,\mathrm{m/s}$ verso ovest;

$6\,\mathrm{m/s}$ verso sud.

Svolgimento.

La risposta corretta è la A.

Il sistema è inizialmente fermo e, durante la separazione, le forze esterne sono trascurabili. Dal corollario 14,

$\vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}=\vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec{0}.$

Equivalentemente, i tre vettori quantità di moto finali devono chiudere il poligono vettoriale mostrato in figura 18, cioè $\vec p_1+\vec p_2+\vec p_3=\vec{0}$ .

Figura 18: poligono chiuso delle quantità di moto per un sistema con quantità di moto totale nulla.

Si scelgono l’asse $x$ verso est e l’asse $y$ verso nord. Per il terzo frammento, di massa $1\,\mathrm{kg}$ , le due componenti si ricavano separatamente (6):

$\begin{aligned} 0\,\mathrm{kg\cdot m/s}&=(2\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m/s})+(1\,\mathrm{kg})v_{3,x} \iff v_{3,x}=-6\,\mathrm{m/s},\\ 0\,\mathrm{kg\cdot m/s}&=(3\,\mathrm{kg})(2\,\mathrm{m/s})+(1\,\mathrm{kg})v_{3,y} \iff v_{3,y}=-6\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}$

Pertanto,

$v_3=\sqrt{v_{3,x}^2+v_{3,y}^2} =6\sqrt2\,\mathrm{m/s}.$

Le due componenti negative indicano una direzione verso sud-ovest.

Esercizio 38 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Per un sistema di punti materiali in un sistema di riferimento $Ox$

, la componente della risultante delle forze esterne vale $F_{\mathrm{ext},x}=+4\,\mathrm{N}$

per $2\,\mathrm{s}$

e successivamente $F_{\mathrm{ext},x}=-2\,\mathrm{N}$

per $4\,\mathrm{s}$

. Se $p_{\mathrm{tot},x,0}=5\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

, la componente finale della quantità di moto totale è:

$\quad$

$-3\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$5\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$0\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$13\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ ;

$21\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la B.

I due impulsi successivi sono, dalla formula (10):

$J_{x,1}=(+4\,\mathrm{N})(2\,\mathrm{s})=+8\,\mathrm{N\cdot s}, \qquad J_{x,2}=(-2\,\mathrm{N})(4\,\mathrm{s})=-8\,\mathrm{N\cdot s}.$

Il diagramma di figura 19 mostra i due intervalli: i rettangoli hanno aree con lo stesso valore assoluto e segno opposto, perciò i due impulsi si compensano.

Figura 19: grafico di $F_{\mathrm{ext},x}$ nei due intervalli successivi e corrispondenti impulsi di segno opposto.

L’impulso totale è

$J_x=J_{x,1}+J_{x,2}=0\,\mathrm{N\cdot s}.$

Dalla relazione (11),

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm f}=p_{\mathrm{tot},x,0}+J_x=5\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Rispetto a un sistema cartesiano $Oxy$

, un sistema di massa totale $5\,\mathrm{kg}$

ha $p_{\mathrm{tot},x,0}=6\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

e $p_{\mathrm{tot},y,0}=8\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

. Sul sistema agisce un impulso con $J_x=-1\,\mathrm{N\cdot s}$

e $J_y=7\,\mathrm{N\cdot s}$

. Le componenti della velocità finale del centro di massa sono:

$\quad$

$v_{\mathrm{CM},x,\mathrm{f}}=-1\,\mathrm{m/s}$ e $v_{\mathrm{CM},y,\mathrm{f}}=3\,\mathrm{m/s}$ ;

$v_{\mathrm{CM},x,\mathrm{f}}=1\,\mathrm{m/s}$ e $v_{\mathrm{CM},y,\mathrm{f}}=1\,\mathrm{m/s}$ ;

$v_{\mathrm{CM},x,\mathrm{f}}=5\,\mathrm{m/s}$ e $v_{\mathrm{CM},y,\mathrm{f}}=15\,\mathrm{m/s}$ ;

$v_{\mathrm{CM},x,\mathrm{f}}=1\,\mathrm{m/s}$ e $v_{\mathrm{CM},y,\mathrm{f}}=3\,\mathrm{m/s}$ ;

$v_{\mathrm{CM},x,\mathrm{f}}=3\,\mathrm{m/s}$ e $v_{\mathrm{CM},y,\mathrm{f}}=1\,\mathrm{m/s}$ .

Svolgimento.

La risposta corretta è la D.

Si applica il teorema 13 alle due componenti cartesiane della quantità di moto. Lungo l’asse $x$ si ha

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm f}=p_{\mathrm{tot},x,0}+J_x =6\,\mathrm{kg\cdot m/s}-1\,\mathrm{N\cdot s} =5\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Analogamente, lungo l’asse $y$ ,

$p_{\mathrm{tot},y,\mathrm f}=p_{\mathrm{tot},y,0}+J_y =8\,\mathrm{kg\cdot m/s}+7\,\mathrm{N\cdot s} =15\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Dalla relazione (8), applicata alle due componenti,

$\begin{aligned} v_{\mathrm{CM},x,\mathrm f} &=\frac{p_{\mathrm{tot},x,\mathrm f}}{M} =\frac{5\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{5\,\mathrm{kg}} =1\,\mathrm{m/s},\\ v_{\mathrm{CM},y,\mathrm f} &=\frac{p_{\mathrm{tot},y,\mathrm f}}{M} =\frac{15\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{5\,\mathrm{kg}} =3\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}$

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

, tre punti materiali di masse $2\,\mathrm{kg}$

, $3\,\mathrm{kg}$

e $5\,\mathrm{kg}$

si trovano rispettivamente in $x=0\,\mathrm{m}$

, $x=4\,\mathrm{m}$

e $x=8\,\mathrm{m}$

. La massa di $3\,\mathrm{kg}$

viene spostata da $x=4\,\mathrm{m}$

a $x=10\,\mathrm{m}$

, mentre le altre restano ferme. Di quanto si sposta il centro di massa?

$\quad$

$0{,}6\,\mathrm{m}$ verso destra;

$1{,}8\,\mathrm{m}$ verso sinistra;

$3\,\mathrm{m}$ verso destra;

$6\,\mathrm{m}$ verso destra;

$1{,}8\,\mathrm{m}$ verso destra.

Svolgimento.

La risposta corretta è la E.

La massa totale è $M=10\,\mathrm{kg}$ . Sottraendo la coordinata iniziale del centro di massa da quella finale, dalla relazione (2) si ottiene

$\Delta x_{\mathrm{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^3m_ix_{i,\mathrm{f}}}{M}-\frac{\sum_{i=1}^3m_ix_{i,0}}{M}=\frac{\sum_{i=1}^{3}m_i(x_{i,\mathrm{f}}-x_{i,0})}{M}=\frac{\sum_{i=1}^{3}m_i\Delta x_i}{M}.$

Si sposta soltanto la massa $m_2=3\,\mathrm{kg}$ , di $\Delta x_2=10\,\mathrm{m}-4\,\mathrm{m}=6\,\mathrm{m}$ ; quindi

$\Delta x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_2}{M}\Delta x_2=\frac{3\,\mathrm{kg}}{10\,\mathrm{kg}}(6\,\mathrm{m})=1{,}8\,\mathrm{m}.$

La figura 20 confronta in scala le due configurazioni lungo l’asse $x$ : soltanto la massa da $3\,\mathrm{kg}$ cambia posizione, mentre il centro di massa passa da $x_{\mathrm{CM},0}$ a $x_{\mathrm{CM},\mathrm f}$ .

Figura 20: configurazioni iniziale e finale lungo l’asse $x$ e corrispondente spostamento del centro di massa.

Esercizio 41 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. In un sistema di riferimento orientato $Ox$

, due punti materiali si trovano sull’asse $x$

. Il primo ha massa $2\,\mathrm{kg}$

e si trova in $x=0\,\mathrm{m}$

; il secondo ha massa $6\,\mathrm{kg}$

e si trova in $x=4\,\mathrm{m}$

. La coordinata del centro di massa è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{3\,\mathrm{m}}$

Si usa la relazione unidimensionale (2):

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}.$

Sostituendo i dati,

$x_{\mathrm{CM}} = \frac{(2\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(6\,\mathrm{kg})(4\,\mathrm{m})} {2\,\mathrm{kg}+6\,\mathrm{kg}} = 3\,\mathrm{m}.$

La figura 21 mostra schematicamente la posizione delle due masse e del centro di massa lungo l’asse $x$ . Poiché $m_2>m_1$ , il centro di massa risulta più vicino alla massa $m_2$ .

Figura 21: rappresentazione schematica delle due masse $m_1=2\,\mathrm{kg}$ e $m_2=6\,\mathrm{kg}$ , poste rispettivamente nelle posizioni $x_1=0\,\mathrm{m}$ e $x_2=4\,\mathrm{m}$ . Il centro di massa si trova in $x_{\mathrm{CM}}=3\,\mathrm{m}$ e, poiché $m_2>m_1$ , risulta più vicino alla massa maggiore.

Esercizio 42 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Rispetto a un sistema cartesiano $Oxy$

, una massa di $2\,\mathrm{kg}$

si trova nel punto $(0;0)\,\mathrm{m}$

, mentre una massa di $1\,\mathrm{kg}$

si trova nel punto $(6;0)\,\mathrm{m}$

. Le coordinate del centro di massa sono …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{(2;0)\,\mathrm{m}}$

Poiché entrambe le masse si trovano sull’asse $x$ , il problema è unidimensionale. Dalla relazione (2),

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{(2\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(1\,\mathrm{kg})(6\,\mathrm{m})}{2\,\mathrm{kg}+1\,\mathrm{kg}}=2\,\mathrm{m}.$

Poiché entrambe le ordinate sono nulle, $y_{\mathrm{CM}}=0\,\mathrm{m}$ . Il centro di massa è quindi nel punto

$(x_{\mathrm{CM}};y_{\mathrm{CM}})=(2;0)\,\mathrm{m}.$

La disposizione delle due masse e la posizione del centro di massa sono mostrate in figura 22.

Figura 22: centro di massa di due punti materiali posti sull’asse $x$ .

Esercizio 43 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. La quantità di moto totale di un sistema di punti materiali è data da …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{\vec p_{\mathrm{tot}}=\sum_{i=1}^{N}m_i\vec v_i}}$

Dalla definizione (5), per il punto materiale $i$ -esimo

$\vec p_i=m_i\vec v_i.$

La quantità di moto totale è la somma vettoriale dei contributi, come stabilito dalla relazione (6):

$\vec p_{\mathrm{tot}}=\sum_{i=1}^{N}m_i\vec v_i =m_1\vec v_1+m_2\vec v_2+\cdots+m_N\vec v_N.$

Esercizio 44 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un corpo di massa $4\,\mathrm{kg}$

si muove verso destra con velocità di $3\,\mathrm{m/s}$

. Un secondo corpo di massa $2\,\mathrm{kg}$

si muove verso destra con velocità di $1\,\mathrm{m/s}$

. La quantità di moto totale del sistema vale …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{14\,\mathrm{kg\cdot m/s}\,\, \text{verso destra}$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. Entrambe le velocità hanno componente positiva, quindi dalla (7)

$p_{\mathrm{tot},x} =m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x} =(4\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m/s})+(2\,\mathrm{kg})(1\,\mathrm{m/s}) =14\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Il segno positivo indica che la quantità di moto totale è diretta verso destra.

La situazione è rappresentata schematicamente in figura 23.

Figura 23: due corpi in moto lungo lo stesso asse e nello stesso verso.

Esercizio 45 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema ha massa totale $10\,\mathrm{kg}$

e quantità di moto totale $25\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

verso destra. La velocità del centro di massa vale …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{2{,}5\,\mathrm{m/s}\,\, \text{verso destra}}$

Considerando le sole componenti orizzontali, dalla relazione (8) si ha

$v_{\mathrm{CM},x}=\frac{p_{\mathrm{tot},x}}{M} =\frac{25\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{10\,\mathrm{kg}} =2{,}5\,\mathrm{m/s}.$

La velocità del centro di massa è quindi diretta verso destra.

Esercizio 46 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema isolato ha inizialmente quantità di moto totale nulla, quindi il suo centro di massa è fermo nel sistema di riferimento scelto. In seguito i punti materiali del sistema si muovono per effetto di sole forze interne. Il centro di massa …………..

Svolgimento.

La risposta è resta fermo.

Se il sistema è isolato, la quantità di moto totale si conserva (corollario 14). Poiché essa è inizialmente nulla, resta nulla anche dopo:

$\vec p_{\mathrm{tot}}=\vec{0}.$

Poiché vale la relazione (8):

$\vec p_{\mathrm{tot}}=M\vec v_{\mathrm{CM}},$

con $M>0$ , segue

$\vec v_{\mathrm{CM}}=\vec{0}.$

Quindi il centro di massa resta fermo.

Esercizio 47 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due masse collegate da una molla di massa trascurabile si trovano su un piano orizzontale privo di attrito. Il sistema è inizialmente fermo e la molla è allungata. Quando la molla viene lasciata libera, le due masse iniziano a muoversi. Il centro di massa del sistema, lungo la direzione orizzontale …………..

Svolgimento.

La risposta è resta fermo.

Sul sistema costituito dalle due masse e dalla molla non agiscono forze esterne orizzontali. Grazie al corollario 14 la quantità di moto orizzontale totale si conserva: essendo questa inizialmente nulla, rimane nulla. Dalla formula (8) segue quindi che la componente orizzontale della velocità del centro di massa resta nulla e il centro di massa rimane fermo nella direzione orizzontale.

Le frecce rosse nella figura 24 rappresentano le forze che la molla esercita sulle due masse: sono interne al sistema scelto e hanno versi opposti.

Figura 24: due masse collegate da una molla: le forze elastiche mostrate sono esercitate dalla molla sulle masse.

Esercizio 48 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema formato da due corpi uniti da una molla di massa trascurabile si trova su un piano orizzontale privo di attrito. Lungo la direzione orizzontale agiscono soltanto le forze elastiche interne. Durante il moto, la componente $p_{\mathrm{tot},x}$

della quantità di moto totale rimane …………..

Svolgimento.

La risposta è costante.

Lungo la direzione orizzontale agiscono soltanto le forze elastiche esercitate dalla molla, che sono interne al sistema. La risultante delle forze esterne lungo tale direzione è quindi nulla. Di conseguenza, per il corollario 14, la componente orizzontale della quantità di moto totale si conserva:

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}=p_{\mathrm{tot},x,0}.$

La figura 25 rende esplicito il sistema scelto: le forze elastiche sono interne e non modificano la componente orizzontale della quantità di moto totale.

Figura 25: sistema formato dai due corpi e dalla molla su un piano privo di attrito.

Esercizio 49 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Il teorema dell’impulso si esprime, per la quantità di moto totale del sistema, come …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{\vec J=\Delta\vec p_{\mathrm{tot}}}$

Per un sistema di punti materiali, il teorema 13 stabilisce che l’impulso della risultante delle forze esterne è uguale alla variazione della quantità di moto totale del sistema:

$\vec J = \Delta\vec p_{\mathrm{tot}} = \vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}-\vec p_{\mathrm{tot},0}.$

Esercizio 50 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema inizialmente fermo riceve un impulso esterno diretto verso destra. Il centro di massa inizia a muoversi verso …………..

Svolgimento.

La risposta è destra.

Poiché il sistema è inizialmente fermo, la sua quantità di moto totale iniziale è nulla:

$\vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec{0}.$

Per il teorema 13,

$\vec J = \vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}-\vec p_{\mathrm{tot},0}.$

Poiché $\vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec{0}$ , si ottiene

$\vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}=\vec J.$

La quantità di moto finale è quindi diretta verso destra, come l’impulso ricevuto. Poiché dalla relazione (8) si ha

$\vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}=M\vec v_{\mathrm{CM}},$

e la massa totale $M$ è positiva, anche la velocità del centro di massa è diretta verso destra.

Esercizio 51 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. La risultante delle forze esterne agenti su un sistema è costante e ha modulo $15\,\mathrm{N}$

. Se essa agisce per $0{,}4\,\mathrm{s}$

, il modulo dell’impulso della forza risultante è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{6\,\mathrm{N\cdot s}}$

Per una risultante esterna costante, il modulo dell’impulso esterno è dato dal prodotto tra il modulo della risultante e l’intervallo di tempo considerato, secondo la formula (10):

$J=F_{\mathrm{ext}}\Delta t.$

Sostituendo i dati,

$J = (15\,\mathrm{N})(0{,}4\,\mathrm{s}) = 6\,\mathrm{N\cdot s}.$

L’impulso ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza applicata.

Esercizio 52 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Una persona cammina su un carrello posto su un piano orizzontale privo di attrito. Considerando il sistema formato dalla persona e dal carrello, la risultante delle forze esterne orizzontali è …………..

Svolgimento.

La risposta è nulla.

Si considera il sistema persona–carrello. Le forze reciproche tra persona e carrello sono interne; poiché il piano è privo di attrito, lungo l’asse orizzontale

$F_{\mathrm{ext},x}=0 \,\mathrm{N}.$

Esercizio 53 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se la risultante delle forze esterne agenti su un sistema non ha componente orizzontale, la componente orizzontale della quantità di moto totale …………..

Svolgimento.

La risposta è si conserva.

Poiché la componente orizzontale della risultante delle forze esterne è nulla,

$F_{\mathrm{ext},x}=0\,\mathrm{N} \qquad\Longrightarrow\qquad J_{x}=0\,\mathrm{N \cdot s}.$

Dal teorema 13,

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}-p_{\mathrm{tot},x,0}=J_{x}=0 \,\mathrm{kg\cdot m/s},$

perciò la componente orizzontale della quantità di moto totale si conserva.

Esercizio 54 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due carrelli si muovono su una guida orizzontale priva di attrito. Il primo, di massa $3\,\mathrm{kg}$

, si muove verso destra con velocità $4\,\mathrm{m/s}$

; il secondo, di massa $2\,\mathrm{kg}$

, si muove verso sinistra con velocità $6\,\mathrm{m/s}$

. La velocità del centro di massa del sistema formato dai due carrelli è …………. $\mathrm{m/s}$

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{0\,\mathrm{m/s}}$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. Le velocità dei due carrelli sono quindi

$v_{1,x}=4\,\mathrm{m/s}, \qquad v_{2,x}=-6\,\mathrm{m/s}.$

Dalla relazione (7), la quantità di moto totale del sistema lungo l’asse orizzontale è

$p_{\mathrm{tot},x}=m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}.$

Sostituendo i dati ( $m_1=3\,\mathrm{kg}$ , $m_2=2\,\mathrm{kg}$ ),

$p_{\mathrm{tot},x}=(3\,\mathrm{kg})(4\,\mathrm{m/s})+(2\,\mathrm{kg})(-6\,\mathrm{m/s})=0\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

La quantità di moto totale è legata alla velocità del centro di massa dalla relazione (8)

$p_{\mathrm{tot},x}=(m_1+m_2)v_{\mathrm{CM},x}.$

Pertanto,

$v_{\mathrm{CM},x} =\frac{p_{\mathrm{tot},x}}{m_1+m_2} =\frac{0\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{3\,\mathrm{kg}+2\,\mathrm{kg}} =0\,\mathrm{m/s}.$

Il centro di massa del sistema è quindi fermo, nonostante entrambi i carrelli siano in movimento e abbiano masse e velocità diverse.

Esercizio 55 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. In un sistema di punti materiali, le forze interne soddisfano il terzo principio della dinamica e, nella somma sul sistema, si cancellano …………..

Svolgimento.

La risposta è a coppie.

Per il terzo principio della dinamica,

$\vec F_{j\to i}=-\vec F_{i\to j}.$

Raggruppando le forze interne a coppie, come nella (9),

$\sum_{i=1}^{N}\vec F_{\mathrm{int},i} =\sum_{i<j}\left(\vec F_{j\to i}+\vec F_{i\to j}\right)=\vec{0}.$

La cancellazione riguarda la somma delle forze interne sul sistema, non le singole forze, che possono essere non nulle.

Esercizio 56 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema ha massa totale $8\,\mathrm{kg}$

e il modulo della velocità del suo centro di massa è $1{,}5\,\mathrm{m/s}$

. Il modulo della quantità di moto totale vale …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{12\,\mathrm{kg\cdot m/s}}$

La quantità di moto totale di un sistema è legata alla velocità del centro di massa dalla relazione (8). Si considerano i moduli delle grandezze:

$p_{\mathrm{tot}}=Mv_{\mathrm{CM}}=(8\,\mathrm{kg})(1{,}5\,\mathrm{m/s}) = 12\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Esercizio 57 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Quattro masse uguali sono poste ai vertici di un rettangolo. Il centro di massa del sistema coincide con …………..

Svolgimento.

La risposta è il centro geometrico del rettangolo.

Si consideri un sistema di riferimento $Oxy$ sul piano in cui giace il rettangolo, in modo che $O$ coincida con il centro del rettangolo, mentre gli assi siano paralleli ai lati. Si indicano con $a>0$ e $b>0$ le semilunghezze dei lati lungo $x$ e $y$ . I vertici hanno coordinate

$(a;b),\quad(a;-b),\quad(-a;b),\quad(-a;-b).$

Se ciascuna massa vale $m$ , dalla relazione (3)

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{m[(a)+(a)+(-a)+(-a)]}{4m}=0 \,\mathrm{m}, \qquad y_{\mathrm{CM}}=\frac{m[(b)+(-b)+(b)+(-b)]}{4m}=0\,\mathrm{m}.$

Il centro di massa coincide quindi con l’origine scelta, ossia con il centro geometrico del rettangolo.

La geometria del problema è riportata nella figura 26.

Figura 26: quattro masse uguali ai vertici di un rettangolo: per simmetria il centro di massa coincide con il centro geometrico.

Esercizio 58 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se tutte le masse di un sistema vengono moltiplicate per lo stesso fattore positivo $c$

, mentre le posizioni restano le stesse, il centro di massa …………..

Svolgimento.

La risposta è resta nella stessa posizione.

Fissato un asse $x$ , si indica con $x_{\mathrm{CM},1}$ la coordinata del centro di massa prima della modifica. Dalla relazione (2),

$x_{\mathrm{CM},1}=\frac{m_1x_1+\cdots+m_Nx_N}{m_1+\cdots+m_N}.$

Dopo aver moltiplicato ogni massa per lo stesso fattore $c>0$ ,

$x_{\mathrm{CM},2}=\frac{cm_1x_1+\cdots+cm_Nx_N}{cm_1+\cdots+cm_N}=x_{\mathrm{CM},1}.$

Il fattore $c$ si semplifica. Lo stesso vale per le altre coordinate, quindi il centro di massa resta nella stessa posizione.

Esercizio 59 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

e considerato un sistema di $N$

punti materiali giacenti sull’asse $x$

, aventi masse $m_1,\dots,m_N$

e rispettive posizioni $x_1,\dots,x_N$

, la coordinata del centro di massa è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{x_{\mathrm{CM}}=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_Nx_N}{m_1+m_2+\cdots+m_N}}$

Dalla relazione unidimensionale (2),

$x_{\mathrm{CM}} =\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots+m_Nx_N}{m_1+m_2+\cdots+m_N}.$

Esercizio 60 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Su un sistema di punti materiali agisce per $3\,\mathrm{s}$

una forza esterna risultante costante di $4\,\mathrm{N}$

diretta verso sinistra. Al termine dell’intervallo di tempo, la quantità di moto totale del sistema è $6\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

verso destra. La quantità di moto totale iniziale del sistema era …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{18\,\mathrm{kg\cdot m/s}\,\, \text{verso destra}}$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. La risultante esterna vale $F_{\mathrm{ext},x}=-4\,\mathrm{N}$ , quindi dalla relazione (10)

$J_{x}=F_{\mathrm{ext},x}\Delta t=(-4\,\mathrm{N})(3\,\mathrm{s})=-12\,\mathrm{N\cdot s}.$

Dal teorema 13,

$J_{x} =p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}-p_{\mathrm{tot},x,0},$

perciò

$p_{\mathrm{tot},x,0} =6\,\mathrm{kg\cdot m/s}-(-12\,\mathrm{N\cdot s})=18\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Il segno positivo indica che la quantità di moto iniziale era diretta verso destra.

Esercizio 61 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due particelle hanno quantità di moto con la stessa direzione, uguali in modulo e opposte in verso. La quantità di moto totale del sistema è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{\vec{0}}$

Le due quantità di moto hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e versi opposti; quindi

$\vec p_2=-\vec p_1.$

Dalla relazione (6), la quantità di moto totale è pertanto

$\vec p_{\mathrm{tot}}=\vec p_1+\vec p_2=\vec{0}.$

Esercizio 62 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

, una massa $m_1=2\,\mathrm{kg}$

si trova in $x_1=0\,\mathrm{m}$

, mentre una seconda massa $m_2$

si trova in $x_2=3\,\mathrm{m}$

. Sapendo che il centro di massa del sistema si trova in $x_{\mathrm{CM}}=1\,\mathrm{m}$

, il valore di $m_2$

è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{1\,\mathrm{kg}}$

Dalla relazione (2):

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}.$

Sostituendo i dati, $m_1=2\,\mathrm{kg}$ , $x_1=0\,\mathrm{m}$ , $x_2=3\,\mathrm{m}$ e $x_{\mathrm{CM}}=1\,\mathrm{m}$ :

$1\,\mathrm{m}=\frac{(2\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+m_2(3\,\mathrm{m})}{2\,\mathrm{kg}+m_2}.$

Moltiplicando entrambi i membri per $2\,\mathrm{kg}+m_2$ , si ottiene

$2\,\mathrm{kg}+m_2=3m_2.$

Quindi,

$2\,\mathrm{kg}=2m_2, \qquad m_2=1\,\mathrm{kg}.$

Esercizio 63 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Una persona di massa $50\,\mathrm{kg}$

si trova su un carrello di massa $150\,\mathrm{kg}$

, posto su un piano orizzontale privo di attrito. La persona cammina verso destra di $1{,}6\,\mathrm{m}$

rispetto al carrello. Se inizialmente il sistema è fermo, lo spostamento del carrello rispetto al suolo è circa …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{0{,}4\,\mathrm{m}\,\, \text{nel verso opposto}}$

Si considera il sistema persona–carrello e si sceglie un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato nel verso del moto della persona. Sul sistema non agiscono forze esterne orizzontali; poiché la quantità di moto totale iniziale è nulla, il corollario 14 implica che essa rimane nulla. Dalla relazione (8) segue quindi che la coordinata orizzontale del centro di massa rimane costante.

Indicando con $\Delta x_{\mathrm p}$ e $\Delta x_{\mathrm c}$ gli spostamenti della persona e del carrello rispetto al suolo, dalla formula (2) tra stato iniziale e finale si ottiene

$m_{\mathrm p}\Delta x_{\mathrm p}+m_{\mathrm c}\Delta x_{\mathrm c}=0 \,\mathrm{kg \cdot m}.$

Lo spostamento della persona rispetto al carrello vale $1{,}6\,\mathrm m$ , quindi

$\Delta x_{\mathrm p}-\Delta x_{\mathrm c}=1{,}6\,\mathrm m, \qquad \Delta x_{\mathrm p}=\Delta x_{\mathrm c}+1{,}6\,\mathrm m.$

Sostituendo i dati con le rispettive unità,

$(50\,\mathrm{kg})\bigl(\Delta x_{\mathrm c}+1{,}6\,\mathrm m\bigr) +(150\,\mathrm{kg})\Delta x_{\mathrm c}=0\,\mathrm{kg\cdot m}.$

Da ciò

$\Delta x_{\mathrm c}=-0{,}4\,\mathrm m.$

Il carrello si sposta dunque di $0{,}4\,\mathrm m$ nel verso opposto a quello della persona.

La figura 27 mostra due configurazioni compatibili con questi spostamenti: il centro del carrello si sposta di $0{,}4\,\mathrm m$ , la persona di $1{,}2\,\mathrm m$ rispetto al suolo e il centro di massa del sistema resta nella stessa posizione.

Figura 27: configurazioni iniziale e finale del sistema persona–carrello. Il carrello si sposta verso sinistra di $\lvert\Delta x_{\mathrm c}\rvert=0{,}4\,\mathrm m$ , mentre la persona si sposta rispetto al suolo verso destra di $\Delta x_{\mathrm p}=1{,}2\,\mathrm m$ . In assenza di forze esterne orizzontali, la posizione $x_{\mathrm{CM}}$ del centro di massa del sistema rimane invariata, come indicato dalla linea tratteggiata verticale.

Esercizio 64 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Considerando un sistema di riferimento $Oxy$

in un piano, una particella di massa $3\,\mathrm{kg}$

si muove lungo l’asse $x$

con componente della velocità $v_{1,x}=4\,\mathrm{m/s}$

, mentre una seconda particella di massa $4\,\mathrm{kg}$

si muove lungo l’asse $y$

con componente della velocità $v_{2,y}=3\,\mathrm{m/s}$

. Il modulo della quantità di moto totale è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{12\sqrt{2}\,\mathrm{kg\cdot m/s}}$

Le componenti della quantità di moto totale si ottengono dalla definizione (6)

$p_{\mathrm{tot},x}=(3\,\mathrm{kg})(4\,\mathrm{m/s})=12\,\mathrm{kg\cdot m/s}, \qquad p_{\mathrm{tot},y}=(4\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m/s})=12\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Il modulo vale quindi

$p_{\mathrm{tot}} =\sqrt{p_{\mathrm{tot},x}^2+p_{\mathrm{tot},y}^2} =12\sqrt2\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Figura 28: somma vettoriale di due quantità di moto perpendicolari.

Esercizio 65 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due corpi di masse $2\,\mathrm{kg}$

e $6\,\mathrm{kg}$

, inizialmente fermi su un piano orizzontale privo di attrito, vengono separati da una molla compressa di massa trascurabile posta tra loro. Se il corpo di massa $2\,\mathrm{kg}$

acquista una velocità di $3\,\mathrm{m/s}$

verso destra, il corpo di massa $6\,\mathrm{kg}$

acquista velocità …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{1\,\mathrm{m/s}\,\, \text{verso sinistra}$

Si considera il sistema formato dai due corpi e dalla molla, di massa trascurabile. Il sistema è inizialmente fermo su un piano privo di attrito: le forze elastiche sono interne e la risultante delle forze esterne orizzontali è nulla. Dal corollario 14,

$p_{\mathrm{tot},x,0}=p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}=0\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. Quindi, dalla relazione (7) si ottiene

$(2\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m/s})+(6\,\mathrm{kg})v_{2,x}=0\,\mathrm{kg\cdot m/s},$

da cui

$v_{2,x}=-1\,\mathrm{m/s}.$

Il segno negativo indica che il corpo di massa $6\,\mathrm{kg}$ si muove verso sinistra.

La figura 29 mostra il sistema dopo il rilascio della molla.

Figura 29: separazione dei due corpi per effetto della molla su un piano privo di attrito.

Esercizio 66 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema di massa totale $10\,\mathrm{kg}$

, inizialmente fermo, è soggetto a forze esterne. La risultante di tali forze è costante, ha modulo $25\,\mathrm{N}$

, è diretta verso destra e agisce per $2\,\mathrm{s}$

. La velocità del centro di massa del sistema al termine dell’azione delle forze esterne vale …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{5\,\mathrm{m/s} \text{verso destra}}$

La forza esterna costante esercita sul sistema un impulso definito dalla relazione (10)

$\vec J = \vec F_{\mathrm{ext}}\Delta t.$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. La componente dell’impulso lungo tale asse è

$J_{x} = F_{\mathrm{ext},x}\Delta t = (25\,\mathrm{N})(2\,\mathrm{s}) = 50\,\mathrm{N\cdot s}.$

Per il teorema 13,

$J_{x} = \Delta p_{\mathrm{tot},x} = p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}-p_{\mathrm{tot},x,0}.$

Il sistema è inizialmente fermo, quindi

$p_{\mathrm{tot},x,0}=0\,\mathrm{kg\cdot m/s},$

e pertanto

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}=50\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Utilizzando la relazione (8)

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}} = M v_{\mathrm{CM},x,\mathrm{f}},$

si ottiene

$v_{\mathrm{CM},x,\mathrm{f}} = \frac{p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}}}{M} = \frac{50\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{10\,\mathrm{kg}} = 5\,\mathrm{m/s}.$

Poiché la forza esterna è diretta verso destra, anche l’impulso, la variazione della quantità di moto e la velocità finale del centro di massa sono diretti verso destra.

Esercizio 67 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema ha inizialmente una quantità di moto di $6\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

verso sinistra. Su di esso agisce un impulso di modulo $18\,\mathrm{N\cdot s}$

diretto verso destra. La quantità di moto finale del sistema vale …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{12\,\mathrm{kg\cdot m/s}\,\, \text{verso destra}$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. La quantità di moto iniziale e l’impulso valgono

$p_{\mathrm{tot},x,0}=-6\,\mathrm{kg\cdot m/s}, \qquad J_{x}=+18\,\mathrm{N\cdot s}.$

Dal teorema 13,

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm{f}} =p_{\mathrm{tot},x,0}+J_{x} =-6\,\mathrm{kg\cdot m/s}+18\,\mathrm{N\cdot s} =12\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Il risultato è positivo, quindi la quantità di moto finale è diretta verso destra.

Esercizio 68 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Una particella di massa $2\,\mathrm{kg}$

si muove verso destra con velocità di $3\,\mathrm{m/s}$

. Una seconda particella di massa $5\,\mathrm{kg}$

deve muoversi in modo che la quantità di moto totale sia nulla. La sua velocità è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{1{,}2\,\mathrm{m/s}\,\, \text{verso sinistra}}$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. La condizione richiesta è che la quantità di moto totale sia nulla. Dalla relazione (7)

$p_{\mathrm{tot},x} = m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x} = 0\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Sostituendo i dati ( $m_1=2\,\mathrm{kg}$ , $v_{1,x}=3\,\mathrm{m/s}$ , $m_2=5\,\mathrm{kg}$ ),

$(2\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m/s})+(5\,\mathrm{kg})v_{2,x}=0\,\mathrm{kg\cdot m/s},$

da cui

$v_{2,x}=-1{,}2\,\mathrm{m/s}.$

Il segno negativo indica che la seconda particella deve muoversi verso sinistra.

Esercizio 69 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Una persona di massa $60\,\mathrm{kg}$

cammina verso destra di $2\,\mathrm{m}$

rispetto a una barca di massa $180\,\mathrm{kg}$

, in acqua calma e con forze orizzontali esterne trascurabili. Persona e barca sono inizialmente ferme rispetto alla riva. Lo spostamento della barca rispetto alla riva è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{0{,}5\,\mathrm{m}\,\, \text{nel verso opposto}}$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato nel verso di moto della persona. Si indicano con $m_{\mathrm p}=60\,\mathrm{kg}$ e $m_{\mathrm b}=180\,\mathrm{kg}$ le masse della persona e della barca, e con $\Delta x_{\mathrm p}$ e $\Delta x_{\mathrm b}$ i loro spostamenti rispetto alla riva. Poiché la coordinata orizzontale del centro di massa resta costante (corollario 14 e relazione (8)), sottraendo la relazione (2) tra stato finale e iniziale e moltiplicando per la massa totale si ottiene

$m_{\mathrm p}\Delta x_{\mathrm p}+m_{\mathrm b}\Delta x_{\mathrm b}=0\,\mathrm{kg\cdot m}.$

Lo spostamento relativo di $2\,\mathrm{m}$ dà

$\Delta x_{\mathrm p}-\Delta x_{\mathrm b}=2\,\mathrm{m} \iff \Delta x_{\mathrm p}=\Delta x_{\mathrm b}+2\,\mathrm{m}.$

Sostituendo,

$(60\,\mathrm{kg})(\Delta x_{\mathrm b}+2\,\mathrm{m})+(180\,\mathrm{kg})\Delta x_{\mathrm b}=0\,\mathrm{kg\cdot m},$

da cui $\Delta x_{\mathrm b}=-0{,}5\,\mathrm{m}$ . La barca si sposta di $0{,}5\,\mathrm{m}$ nel verso opposto al moto della persona.

La figura 30 confronta le configurazioni iniziale e finale e rappresenta gli spostamenti $\Delta x_{\mathrm p}$ e $\Delta x_{\mathrm b}$ rispetto alla riva, coerentemente con il verso positivo scelto.

Figura 30: spostamenti della persona e della barca rispetto alla riva, con centro di massa del sistema fermo.

Esercizio 70 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Due corpi di massa rispettivamente $5\,\mathrm{kg}$

e $10\,\mathrm{kg}$

si muovono insieme verso destra con velocità di $3\,\mathrm{m/s}$

su un piano orizzontale privo di attrito. Tra i due corpi si trova una molla compressa di massa trascurabile. Quando la molla viene liberata, i corpi si separano. Il corpo di massa $5\,\mathrm{kg}$

si muove quindi verso destra con velocità di $7\,\mathrm{m/s}$

. La velocità del corpo di massa $10\,\mathrm{kg}$

è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{1\,\mathrm{m/s}\,\, \text{verso destra}}$

Dato che il piano è privo di attrito, sul sistema formato dai due corpi, con $m_1=5\,\mathrm{kg}$ e $m_2=10\,\mathrm{kg}$ , non agiscono forze esterne orizzontali. Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. La velocità iniziale dei due corpi vale $v_0=3\,\mathrm{m/s}$ , mentre la velocità finale del primo corpo vale $v_{1,\mathrm f}=7\,\mathrm{m/s}$ .

In virtù del corollario 14, la quantità di moto totale si conserva:

$m_1v_0+m_2v_0=m_1v_{1,\mathrm f}+m_2v_{2,\mathrm f}.$

Isolando $v_{2,\mathrm f}$ ,

$v_{2,\mathrm f}=\frac{(m_1+m_2)v_0-m_1v_{1,\mathrm f}}{m_2}.$

Sostituendo i dati con le rispettive unità,

$\begin{aligned} v_{2,\mathrm f} &=\frac{(5\,\mathrm{kg}+10\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m/s}) -(5\,\mathrm{kg})(7\,\mathrm{m/s})}{10\,\mathrm{kg}}\\ &=1\,\mathrm{m/s}. \end{aligned}$

Il segno positivo indica che il secondo corpo si muove verso destra.

Esercizio 71 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

, una massa di $2\,\mathrm{kg}$

si trova in $x=0\,\mathrm{m}$

, mentre una massa di $3\,\mathrm{kg}$

si trova nella posizione incognita $x$

. Se il centro di massa si trova in $x_{\mathrm{CM}}=6\,\mathrm{m}$

, la massa di $3\,\mathrm{kg}$

si trova in …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{10\,\mathrm{m}}$

Dalla relazione unidimensionale (2),

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}.$

Sostituendo i dati,

$6\,\mathrm{m}=\frac{(2\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(3\,\mathrm{kg})x}{2\,\mathrm{kg}+3\,\mathrm{kg}}.$

Quindi,

$30\,\mathrm{kg\cdot m}=(3\,\mathrm{kg})x, \qquad x=10\,\mathrm{m}.$

Esercizio 72 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Rispetto a un sistema cartesiano $Oxy$

, un sistema ha quantità di moto totale $\vec p_{\mathrm{tot}}=(6;8)\,\mathrm{kg\cdot m/s}$

e massa totale $5\,\mathrm{kg}$

. Il modulo della velocità del centro di massa è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{2\,\mathrm{m/s}$

Il modulo della quantità di moto totale è

$p_{\mathrm{tot}}=\sqrt{p_{\mathrm{tot},x}^2+p_{\mathrm{tot},y}^2}.$

Sostituendo i dati,

$p_{\mathrm{tot}}=\sqrt{(6\,\mathrm{kg\cdot m/s})^2+(8\,\mathrm{kg\cdot m/s})^2}=10\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Dalla relazione (8),

$v_{\mathrm{CM}}=\frac{p_{\mathrm{tot}}}{M} =\frac{10\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{5\,\mathrm{kg}} =2\,\mathrm{m/s}.$

Esercizio 73 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un proiettile esplode in due frammenti mentre è in volo. Si considera il sistema formato dal materiale del proiettile e si trascura la resistenza dell’aria, mentre la forza peso agisce lungo l’asse $y$

. Durante l’intero intervallo di tempo in cui il proiettile è in volo, si conserva la componente …………. della quantità di moto totale del sistema.

Svolgimento.

La risposta è orizzontale.

Nel sistema cartesiano indicato dal testo, trascurando la resistenza dell’aria, la risultante esterna sul sistema del materiale del proiettile è il peso complessivo, diretto lungo l’asse $y$ . Di conseguenza,

$F_{\mathrm{ext},x}=0\,\mathrm{N}.$

Dal teorema 13 segue che $p_{\mathrm{tot},x}$ si conserva, mentre la componente verticale può variare per effetto della gravità.

La situazione è riassunta in figura 31: la risultante esterna è verticale, quindi non modifica la componente orizzontale della quantità di moto totale dei frammenti.

Figura 31: esplosione in volo di un corpo in due frammenti: la risultante esterna è verticale e la componente orizzontale della quantità di moto totale si conserva.

Esercizio 74 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Rispetto a un sistema cartesiano $Oxy$

, tre masse di $2\,\mathrm{kg}$

, $1\,\mathrm{kg}$

e $3\,\mathrm{kg}$

si trovano rispettivamente in $(0;0)\,\mathrm{m}$

, $(6;0)\,\mathrm{m}$

e $(0;4)\,\mathrm{m}$

. Le coordinate del centro di massa sono …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{(1;2)\,\mathrm{m}$

La massa totale è $M=m_1+m_2+m_3=2\,\mathrm{kg}+1\,\mathrm{kg}+3\,\mathrm{kg}=6\,\mathrm{kg}$ . Dalla formula (3),

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{M},\qquad y_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3}{M}.$

Sostituendo i dati,

$\begin{aligned} x_{\mathrm{CM}} &=\frac{(2\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(1\,\mathrm{kg})(6\,\mathrm{m})+(3\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})}{6\,\mathrm{kg}} =1\,\mathrm{m},\\ y_{\mathrm{CM}} &=\frac{(2\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(1\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(3\,\mathrm{kg})(4\,\mathrm{m})}{6\,\mathrm{kg}} =2\,\mathrm{m}. \end{aligned}$

Pertanto $(x_{\mathrm{CM}};y_{\mathrm{CM}})=(1;2)\,\mathrm m$ .

Esercizio 75 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Un sistema di massa totale $8\,\mathrm{kg}$

ha inizialmente una velocità del centro di massa pari a $1{,}5\,\mathrm{m/s}$

verso sinistra. Successivamente riceve un impulso esterno di modulo $20\,\mathrm{N\cdot s}$

, diretto verso destra. La velocità finale del centro di massa è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{1\,\mathrm{m/s}\,\, \text{verso destra}}$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. Dalla relazione (8),

$p_{\mathrm{tot},x,0}=Mv_{\mathrm{CM},x,0}=(8\,\mathrm{kg})(-1{,}5\,\mathrm{m/s})=-12\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Dalla relazione (11),

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm f}=p_{\mathrm{tot},x,0}+J_x=-12\,\mathrm{kg\cdot m/s}+20\,\mathrm{N\cdot s}=8\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Ancora dalla (8),

$v_{\mathrm{CM},x,\mathrm f}=\frac{p_{\mathrm{tot},x,\mathrm f}}{M} =\frac{8\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{8\,\mathrm{kg}}=1\,\mathrm{m/s}.$

Il segno positivo indica che il centro di massa si muove verso destra.

Esercizio 76 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

, tre punti materiali di masse $1\,\mathrm{kg}$

, $2\,\mathrm{kg}$

e $3\,\mathrm{kg}$

si trovano rispettivamente nelle posizioni $x=0\,\mathrm{m}$

, $x=3\,\mathrm{m}$

e $x=6\,\mathrm{m}$

. Il centro di massa si trova in …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{x=4\,\mathrm{m}$

Per i tre punti materiali disposti lungo l’asse $x$ si usa la relazione (2):

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}.$

Sostituendo i dati ( $m_1=1\,\mathrm{kg}$ , $x_1=0\,\mathrm{m}$ , $m_2=2\,\mathrm{kg}$ , $x_2=3\,\mathrm{m}$ , $m_3=3\,\mathrm{kg}$ e $x_3=6\,\mathrm{m}$ ) si ottiene

$x_{\mathrm{CM}}=\frac{(1\,\mathrm{kg})(0\,\mathrm{m})+(2\,\mathrm{kg})(3\,\mathrm{m})+(3\,\mathrm{kg})(6\,\mathrm{m})}{1\,\mathrm{kg}+2\,\mathrm{kg}+3\,\mathrm{kg}}=4\,\mathrm{m}.$

Il centro di massa si trova quindi in $x=4\,\mathrm{m}$ . La configurazione corrispondente è rappresentata in figura 32.

Figura 32: centro di massa di tre punti materiali disposti lungo l’asse $x$ .

Esercizio 77 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Se la risultante delle forze esterne agenti su un sistema di punti materiali è nulla durante l’intervallo considerato, la velocità del centro di massa rimane …………..

Svolgimento.

La risposta è costante.

Se la risultante delle forze esterne è nulla, dal corollario 14 segue

$\vec p_{\mathrm{tot},0}=\vec p_{\mathrm{tot},\mathrm{f}}.$

Dalla relazione (8),

$\vec p_{\mathrm{tot}}=M\vec v_{\mathrm{CM}},$

e ricordando che la massa totale è costante, si conclude che anche $\vec v_{\mathrm{CM}}$ rimane costante. Il centro di massa può dunque essere fermo oppure muoversi di moto rettilineo uniforme.

Esercizio 78 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

con l’asse $x$

orientato verso destra, un sistema di massa totale $12\,\mathrm{kg}$

ha inizialmente $v_{\mathrm{CM},x,0}=+1{,}5\,\mathrm{m/s}$

. Sul sistema agisce un impulso esterno con componente $J_x=-30\,\mathrm{N\cdot s}$

. La componente finale della velocità del centro di massa è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{-1{,}0\,\mathrm{m/s}$

Dalla formula (8), la componente iniziale della quantità di moto totale è

$p_{\mathrm{tot},x,0}=Mv_{\mathrm{CM},x,0} =(12\,\mathrm{kg})(1{,}5\,\mathrm{m/s})=18\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Applicando il teorema 13,

$p_{\mathrm{tot},x,\mathrm f}=p_{\mathrm{tot},x,0}+J_x =18\,\mathrm{kg\cdot m/s}-30\,\mathrm{N\cdot s} =-12\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Pertanto,

$v_{\mathrm{CM},x,\mathrm f} =\frac{p_{\mathrm{tot},x,\mathrm f}}{M} =\frac{-12\,\mathrm{kg\cdot m/s}}{12\,\mathrm{kg}} =-1{,}0\,\mathrm{m/s}.$

Esercizio 79 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

. Fissato un sistema di riferimento $Ox$

con l’asse $x$

orientato verso destra, tre particelle si muovono lungo tale asse. La prima ha massa $2\,\mathrm{kg}$

e $v_{1,x}=+4\,\mathrm{m/s}$

; la seconda ha massa $3\,\mathrm{kg}$

e $v_{2,x}=-2\,\mathrm{m/s}$

; la terza ha massa $5\,\mathrm{kg}$

e componente $v_{3,x}$

incognita. Sapendo che $v_{\mathrm{CM},x}=+1\,\mathrm{m/s}$

, la componente $v_{3,x}$

è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{1{,}6\,\mathrm{m/s}\,\, \text{verso destra}}$

Dalla formula (4), applicata alla componente $x$ ,

$v_{\mathrm{CM},x}=\frac{m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}+m_3v_{3,x}}{m_1+m_2+m_3}.$

Sostituendo i dati con le rispettive unità,

$1\,\mathrm{m/s} =\frac{(2\,\mathrm{kg})(4\,\mathrm{m/s})+(3\,\mathrm{kg})(-2\,\mathrm{m/s})+(5\,\mathrm{kg})v_{3,x}} {2\,\mathrm{kg}+3\,\mathrm{kg}+5\,\mathrm{kg}}.$

Da ciò

$10\,\mathrm{kg\cdot m/s} =8\,\mathrm{kg\cdot m/s}-6\,\mathrm{kg\cdot m/s}+(5\,\mathrm{kg})v_{3,x},$

da cui

$v_{3,x}=1{,}6\,\mathrm{m/s}.$

Il segno positivo indica che la terza particella si muove verso destra.

Esercizio 80 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$

. Due corpi di masse $3\,\mathrm{kg}$

e $7\,\mathrm{kg}$

sono inizialmente fermi su un piano orizzontale privo di attrito e tra di essi vi è una molla di massa trascurabile, tenuta compressa da un fermo. Il sistema riceve un impulso esterno di modulo $18\,\mathrm{N\cdot s}$

, diretto verso destra. Terminato l’impulso non agiscono forze orizzontali esterne. A questo punto, il fermo che tiene compressa la molla viene rimosso e i due corpi vengono separati dalla spinta della molla. Se, alla fine di tale processo, il corpo di massa $3\,\mathrm{kg}$

si muove verso sinistra con velocità di modulo $1\,\mathrm{m/s}$

, la velocità del corpo di massa $7\,\mathrm{kg}$

è …………..

Svolgimento.

La risposta è $\color{red}{3\,\mathrm{m/s}\,\, \text{verso destra}}$

Si considera un sistema di riferimento $Ox$ con l’asse $x$ orientato verso destra. Inizialmente $p_{\mathrm{tot},x,0}=0\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ . Dopo l’impulso esterno, a partire dalla relazione (11)

$p_{\mathrm{tot},x}=p_{\mathrm{tot},x,0}+J_x=18\,\mathrm{kg\cdot m/s}.$

Terminato l’impulso, la componente orizzontale della quantità di moto totale si conserva durante la separazione (corollario 14).

Le due fasi sono distinte in figura 33: dapprima l’impulso esterno modifica la quantità di moto totale del sistema; successivamente, terminata l’azione esterna, la separazione dovuta alla molla avviene a $p_{\mathrm{tot},x}$ costante.

Figura 33: impulso esterno sul sistema e successiva separazione dei due corpi in assenza di ulteriori forze esterne orizzontali.

Nell’istante considerato $v_{1,x}=-1\,\mathrm{m/s}$ ; dalla relazione (7),

$p_{\mathrm{tot},x}=m_1v_{1,x}+m_2v_{2,x}.$

Sostituendo i dati,

$(3\,\mathrm{kg})(-1\,\mathrm{m/s})+(7\,\mathrm{kg})v_{2,x}=18\,\mathrm{kg\cdot m/s},$

da cui

$v_{2,x}=3\,\mathrm{m/s}.$

Il corpo di massa $7\,\mathrm{kg}$ si muove dunque verso destra.

Riferimenti bibliografici

[1] S. Focardi, I. G. Massa, A. Uguzzoni e M. Villa, Fisica generale. Meccanica e termodinamica, 2ª edizione, Casa Editrice Ambrosiana, Milano (2014), ISBN 978-88-08-18215-9.

[2] P. Mazzoldi, M. Nigro e C. Voci, Fisica, vol. I: Meccanica e termodinamica, 3ª edizione, EdiSES, Napoli (2023), ISBN 978-88-3623-067-9.

[3] M. Villa e A. Uguzzoni, Esercizi di fisica 1. Meccanica. Come risolvere i problemi, Casa Editrice Ambrosiana, Milano (2016), ISBN 978-88-08-18043-8.

[4] Ministero dell’Università e della Ricerca, Semestre aperto a.a. 2026–2027 – Syllabus Fisica, pubblicato il 19 giugno 2026, pagina ufficiale del MUR.

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