Dominio di una funzione: esercizi svolti per il liceo

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Sommario

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Questo file raccoglie una serie progressiva di esercizi sul calcolo del dominio naturale delle principali famiglie di espressioni reali di variabile reale trattate nella scuola superiore: espressioni polinomiali, razionali fratte, contenenti radicali, esponenziali, logaritmiche, goniometriche e goniometriche inverse, nonché alcune loro composizioni.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Daniele Volpe, Silvia Lombardi.

Revisori: Jacopo De Pieri, Sergio Fiorucci.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali inclusivo dello zero;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$D_f$	Dominio naturale dell’espressione $f$ in esame;
$D_f^{(\mathrm C)}$	Dominio dell’espressione $f$ in esame secondo una convenzione scelta;
n.d.	Espressione non definita nel punto considerato;
$\ln$	Logaritmo naturale in base $e$ .

Introduzione

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Questa dispensa raccoglie esercizi svolti sul calcolo del dominio naturale delle principali famiglie di funzioni reali di variabile reale trattate nella scuola superiore.

L’obiettivo è imparare a riconoscere, a partire dall’espressione assegnata, quali valori reali della variabile indipendente siano ammessi e quali debbano invece essere esclusi. Gli esercizi conducono progressivamente dai casi elementari alle espressioni nelle quali intervengono più condizioni di esistenza.

Richiami di teoria

Funzioni, dominio, codominio e immagine.

Prima di affrontare il calcolo del dominio naturale, richiamiamo brevemente che cosa si intende per funzione.

Definizione 1.1. Siano $X$ e $Y$ due insiemi. Una funzione

$f\colon X\to Y$

è una legge che associa a ogni elemento $x\in X$ uno e un solo elemento di $Y$ , che si indica con $f(x)$ .

L’espressione “uno e un solo” è essenziale. Elementi diversi di $X$ possono essere associati allo stesso elemento di $Y$ , mentre uno stesso elemento di $X$ non può essere associato a due elementi diversi di $Y$ .

Graficamente:

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Figura 1: rappresentazione grafica di una funzione e di una relazione che non è una funzione.

Nel diagramma di sinistra da ogni elemento di $X$ parte esattamente una freccia. Due elementi distinti di $X$ possono avere la stessa immagine.

Nel diagramma di destra, invece, da uno stesso elemento di $X$ partono due frecce dirette verso elementi diversi di $Y$ . La relazione rappresentata non è quindi una funzione.

Un’altra cosa che non può accadere è che vi siano degli elementi del dominio $X$ che non abbiano immagine; graficamente non possono esserci elementi di $X$ dai quali non parta alcuna freccia.

Definizione 1.2. Siano $X$ e $Y$ due insiemi e sia

$f\colon X\to Y$

una funzione.

L’insieme $X$ , cioè l’insieme di partenza, è detto dominio della funzione. L’insieme $Y$ , cioè l’insieme di arrivo, è detto codominio.

Per ogni $x\in X$ , il valore $f(x)\in Y$ si chiama immagine di $x$ mediante la funzione $f$ .

Non è necessario che tutti gli elementi del codominio siano raggiunti dalla funzione. L’insieme dei valori effettivamente assunti prende il nome di immagine della funzione.

Definizione 1.3. Siano $X$ e $Y$ due insiemi e sia $f\colon X\to Y$ una funzione. Si definisce immagine di $f$ l’insieme

$\operatorname{Im}(f) = f(X) = \left\{ y\in Y: \text{ esiste }x\in X\text{ tale che }y=f(x) \right\}.$

Graficamente, l’immagine è la parte del codominio effettivamente raggiunta dalle frecce:

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Figura 2: rappresentazione grafica dell’immagine di una funzione.

L’immagine è quindi sempre contenuta nel codominio:

$\operatorname{Im}(f)\subseteq Y.$

Può accadere che l’immagine sia strettamente più piccola del codominio, perché alcuni elementi di $Y$ possono non essere raggiunti dalla funzione.

Quando viene assegnata soltanto un’espressione

$f(x),$

non è ancora specificato per quali numeri reali essa abbia significato. Occorre allora determinare il più grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ sul quale l’espressione $f(x)$ è definita e assume valori reali. Tale insieme prende il nome di dominio naturale.

Dominio naturale.

Nella scrittura

$f\colon X\to Y$

il dominio della funzione è già assegnato ed è l’insieme $X$ .

Negli esercizi sul dominio naturale, invece, viene generalmente fornita soltanto un’espressione nella variabile reale $x$ , per esempio

$f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-2}.$

Il problema consiste nello stabilire per quali valori reali di $x$ tutte le operazioni presenti nell’espressione possano essere eseguite e producano un risultato reale.

Definizione 1.4. Data un’espressione $f(x)$ nella variabile reale $x$ , si chiama dominio naturale, o campo di esistenza, l’insieme

$D_f= \left\{ x\in\mathbb{R}: f(x)\text{ ha significato e assume un valore reale} \right\}.$

L’espressione $f(x)$ , insieme al suo dominio naturale, definisce una funzione

$f\colon D_f\to\mathbb{R}, \qquad x\longmapsto f(x).$

Il dominio naturale è dunque il più grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ sul quale l’espressione assegnata ha significato nel campo dei numeri reali.

È possibile assegnare all’espressione anche un dominio in generale diverso $X\subseteq D_f$ . In questo caso $X$ è il dominio della siffatta funzione, ma può essere più piccolo del dominio naturale dell’espressione.

Per esempio, l’espressione

$f(x)=x^2$

ha dominio naturale $\mathbb{R}$ , ma può essere utilizzata anche per definire una funzione con dominio assegnato

$X=[0,+\infty).$

Osservazione 1.5. Il dominio naturale può essere:

tutto $\mathbb{R}$ , se l’espressione è definita per ogni numero reale;
un sottoinsieme proprio e non vuoto di $\mathbb{R}$ , se alcuni valori devono essere esclusi;
l’insieme vuoto $\varnothing$ , se nessun numero reale soddisfa tutte le condizioni di esistenza.

Nota sulle soluzioni periodiche.

Siano $a,b,T\in\mathbb{R}$ con $a<b$ e $T>0$ . Nelle disequazioni goniometriche l’insieme delle soluzioni può essere formato da intervalli che si ripetono periodicamente.

Ad esempio, la scrittura

$D_f= \left\{ x\in\mathbb{R}: \text{esiste almeno un }k\in\mathbb{Z}\text{ tale che } a+kT\leq x\leq b+kT \right\}$

significa che $x$ deve appartenere ad almeno uno degli intervalli

$[a+kT,b+kT]$

ottenuti facendo variare $k$ nell’insieme degli interi.

Diverso è il caso di una famiglia di valori da escludere. La scrittura

$D_f= \mathbb{R}\setminus \left\{ a+kT:k\in\mathbb{Z} \right\}$

significa che il dominio si ottiene a partire da $\mathbb{R}$ eliminando tutti i valori della forma $a+kT$ , al variare di $k\in\mathbb{Z}$ .

Come si determina il dominio naturale.

Per determinare il dominio naturale si analizzano le operazioni che compongono l’espressione. Alcune operazioni, come la divisione, l’estrazione di radice, il logaritmo e determinate funzioni goniometriche, impongono condizioni sui valori che può assumere la variabile.

Quando un’operazione contiene al suo interno un’altra espressione, bisogna prima verificare che l’espressione interna sia definita e solo dopo imporre l’eventuale condizione richiesta dall’operazione esterna.

Per esempio, nell’espressione

$\sqrt{A(x)}$

non basta scrivere $A(x)\geq 0$ : bisogna anche assicurarsi che $A(x)$ sia definita.

Il procedimento generale può essere organizzato nei seguenti passaggi:

si riconoscono le operazioni presenti nell’espressione;
si associa a ciascuna operazione la sua condizione di esistenza;
si risolvono separatamente le condizioni ottenute;
si determinano i rispettivi insiemi soluzione;
si intersecano gli insiemi soluzione delle condizioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente;
si esprime il dominio finale in forma insiemistica e, quando possibile, mediante intervalli.

Osservazione 1.6. Sia $m\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ , siano

$C_1(x),\ C_2(x),\ldots,C_m(x)$

le condizioni di esistenza e siano

$S_j= \left\{ x\in\mathbb{R}:C_j(x)\text{ è verificata} \right\}, \qquad j\in\{1,\ldots,m\},$

i rispettivi insiemi soluzione.

Poiché tutte le condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente, il dominio naturale è

$D_f=S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_m.$

Esempio 1.7. Si consideri l’espressione

$f(x)=\frac{\ln(x-1)}{\sqrt{5-x}}.$

Il logaritmo richiede che il proprio argomento sia strettamente positivo:

$x-1>0,$

da cui

$x>1.$

La radice quadrata compare al denominatore. Il radicando deve quindi essere strettamente positivo:

$5-x>0,$

da cui

$x<5.$

I due insiemi soluzione sono

$S_1=(1,+\infty), \qquad S_2=(-\infty,5).$

Il dominio naturale si ottiene intersecandoli:

$D_f=S_1\cap S_2=(1,5).$

In presenza di più condizioni non si scelgono quindi le soluzioni di una condizione oppure quelle di un’altra: si conservano soltanto i valori che le soddisfano tutte.

Vademecum per le principali famiglie di funzioni.

Per determinare il dominio naturale è necessario riconoscere le operazioni presenti nell’espressione. Nei paragrafi seguenti sono raccolti i casi più frequenti.

Le lettere $A(x)$ e $B(x)$ indicheranno formule nella variabile reale $x$ , non necessariamente polinomiali. Prima di imporre condizioni sui valori assunti da $A(x)$ e $B(x)$ , occorre sempre verificare che tali formule siano definite.

Funzioni polinomiali

Una funzione polinomiale ha la forma

$f(x)=P(x),$

dove $P(x)$ è un polinomio.

Somme, prodotti e potenze intere non negative sono definiti per ogni numero reale. Pertanto

$D_f=\mathbb{R}.$

Per esempio,

$f(x)=x^3+2x-1$

è definita per ogni $x\in\mathbb{R}$ .

Funzioni razionali fratte

Una funzione razionale fratta è descritta da un’espressione

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},$

dove $P(x)$ e $Q(x)$ sono polinomi e $Q(x)$ non è il polinomio nullo.

L’espressione è definita nei punti in cui il denominatore è diverso da zero. Occorre quindi imporre

$Q(x)\neq 0.$

Pertanto

$D_f=\{x\in\mathbb{R}:Q(x)\neq 0\}.$

Per esempio, per

$f(x)=\frac{x-1}{x^2-5x+6}$

si impone

$x^2-5x+6\neq 0.$

Poiché

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$

si ha

$(x-2)(x-3)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 2\ \text{e}\ x\neq 3.$

Pertanto

$D_f=\mathbb{R}\setminus\{2,3\}.$

Più in generale, se $A(x)$ e $B(x)$ non sono necessariamente polinomi, l’espressione

$\frac{A(x)}{B(x)}$

è definita nei punti in cui $A(x)$ e $B(x)$ sono entrambe definite e $B(x)\neq 0$ .

Radici di indice pari

Si consideri un’espressione della forma

$f(x)=\sqrt[n]{A(x)}, \qquad n\in\mathbb{N},\quad n\geq 2,\quad n\ \text{pari}.$

L’espressione $A(x)$ deve essere definita e il radicando deve essere non negativo:

$A(x)\geq 0.$

Pertanto

$D_f= \{x\in\mathbb{R}:A(x)\text{ è definita e }A(x)\geq 0\}.$

Per esempio,

$f(x)=\sqrt{x^2-9}$

richiede

$x^2-9\geq 0.$

Poiché

$x^2-9=(x-3)(x+3),$

la disequazione è verificata per

$x\leq -3 \qquad\text{oppure}\qquad x\geq 3.$

Pertanto

$D_f=(-\infty,-3]\cup[3,+\infty).$

Se una radice di indice pari compare al denominatore come fattore, il valore zero non è ammesso. Il radicando deve quindi essere strettamente positivo:

$\frac{1}{\sqrt[n]{A(x)}} \quad\text{richiede}\quad A(x)>0,$

oltre alla condizione che $A(x)$ sia definita.

La disuguaglianza stretta garantisce sia l’esistenza della radice sia il mancato annullamento del denominatore.

Radici di indice dispari

Si consideri un’espressione della forma

$f(x)=\sqrt[n]{A(x)}, \qquad n\in\mathbb{N},\quad n\geq 3,\quad n\ \text{dispari}.$

Una radice di indice dispari è definita per ogni radicando reale. Non si impongono quindi condizioni di segno, ma si deve comunque verificare che $A(x)$ sia definita.

Pertanto

$D_f= \{x\in\mathbb{R}:A(x)\text{ è definita}\}.$

Per esempio,

$f(x)= \sqrt[3]{\frac{2x^2-7x}{5x+9}}$

è definita quando è definita la frazione contenuta nel radicando. Occorre quindi imporre

$5x+9\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq-\frac95.$

Pertanto

$D_f=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac95\right\}.$

Se una radice di indice dispari compare al denominatore come fattore, essa non può annullarsi. Poiché

$\sqrt[n]{A(x)}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A(x)=0,$

si deve imporre

$A(x)\neq 0,$

oltre alle condizioni necessarie affinché $A(x)$ sia definita.

Valore assoluto

L’espressione

$f(x)=|A(x)|$

è definita esattamente nei punti in cui è definita $A(x)$ . Il valore assoluto non introduce condizioni aggiuntive sul segno dell’argomento.

Per esempio,

$f(x)=|x^2-3x|$

ha dominio

$D_f=\mathbb{R}.$

Il valore assoluto può però comparire all’interno di altre operazioni. Per esempio,

$f(x)=\sqrt{4-|x|}$

richiede

$4-|x|\geq 0,$

cioè

$|x|\leq 4.$

Pertanto

$D_f=[-4,4].$

Funzioni esponenziali

Una funzione esponenziale non costante ha la forma

$f(x)=a^x, \qquad a\in(0,+\infty)\setminus\{1\}.$

Essa è definita per ogni esponente reale, quindi

$D_f=\mathbb{R}.$

Se nell’esponente compare un’espressione $A(x)$ ,

$f(x)=a^{A(x)},$

il dominio coincide con l’insieme dei valori per i quali $A(x)$ è definita.

Per esempio,

$f(x)=3^{\frac{x}{x-1}}$

richiede soltanto

$x-1\neq 0.$

Pertanto

$D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}.$

Nell’espressione

$f(x)= \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{x-2}},$

invece, l’esponente è definito quando

$x-2\geq 0.$

Quindi

$D_f=[2,+\infty).$

Una potenza a base variabile non deve essere confusa con una funzione esponenziale a base costante. Per potenze a base ed esponente variabili in questa dispensa si adotta la convenzione per cui l’espressione

$A(x)^{B(x)}$

viene definita, nel campo reale, mediante

$A(x)^{B(x)}:=e^{B(x)\ln(A(x))}.$

Si deve pertanto imporre

$A(x)>0,$

insieme alle condizioni di esistenza delle espressioni $A(x)$ e $B(x)$ . Si osserva, per completezza, che tale convenzione potrebbe escludere dei valori per i quali la potenza di partenza è definita, ad esempio i valori in cui $A(x)$ è nullo e $B(x)$ è strettamente positivo. Tale convenzione non individua dunque il dominio naturale dell’espressione ma un dominio convenzionale, che negli esercizi indicheremo con $D_f^{(\mathrm C)}$ .

Funzioni logaritmiche

Sia

$a\in(0,+\infty)\setminus\{1\}.$

La funzione

$f(x)=\log_a(A(x))$

è definita soltanto per argomenti strettamente positivi. Si deve quindi imporre

$A(x)>0.$

Pertanto

$D_f= \left\{ x\in\mathbb{R}: A(x)\text{ è definita e }A(x)>0 \right\}.$

Per esempio,

$f(x)=\ln(x+3)$

richiede

$x+3>0,$

da cui

$D_f=(-3,+\infty).$

Se l’argomento del logaritmo è una frazione, non è necessario che numeratore e denominatore siano entrambi positivi: è necessario che il loro rapporto sia positivo.

Per esempio,

$f(x)=\ln\left(\frac{3-x}{x^2-1}\right)$

richiede lo studio della disequazione

$\frac{3-x}{x^2-1}>0.$

Funzioni goniometriche

Le funzioni seno e coseno sono definite per ogni argomento reale. Pertanto

$\sin(A(x)) \qquad\text{e}\qquad \cos(A(x))$

sono definite esattamente nei punti in cui è definita $A(x)$ .

Per esempio,

$\sin(5x-7) \qquad\text{e}\qquad \cos(3x+1)$

hanno entrambe dominio $\mathbb{R}$ , poiché i loro argomenti sono polinomi.

La funzione tangente non è definita nei punti in cui il coseno dell’argomento si annulla. Per

$f(x)=\tan(A(x))$

si deve quindi imporre

$A(x)\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \qquad \text{per ogni }k\in\mathbb{Z},$

oltre alle condizioni necessarie affinché $A(x)$ sia definita.

Per esempio,

$f(x)=\tan(x-3)$

richiede

$x-3\neq\frac{\pi}{2}+k\pi \qquad \text{per ogni }k\in\mathbb{Z}.$

Quindi

$D_f= \left\{x\in \mathbb{R}\colon x\neq 3+\frac{\pi}{2}+k\pi,\text{ per ogni } k\in\mathbb{Z} \right\}.$

Analogamente, per la cotangente si deve imporre

$A(x)\neq k\pi \qquad \text{per ogni }k\in\mathbb{Z}.$

Funzioni goniometriche inverse

La funzione arcoseno è definita per argomenti compresi tra $-1$ e $1$ . Pertanto

$f(x)=\arcsin(A(x))$

richiede che $A(x)$ sia definita e che

$-1\leq A(x)\leq 1.$

La stessa condizione vale per

$f(x)=\arccos(A(x)).$

Per esempio,

$f(x)=\arcsin(7x^2-6)$

richiede

$-1\leq 7x^2-6\leq 1.$

Aggiungendo $6$ e dividendo per $7$ , si ottiene

$\frac{5}{7}\leq x^2\leq 1.$

Pertanto

$D_f= \left[-1,-\sqrt{\frac{5}{7}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{5}{7}},1\right].$

La funzione arcotangente, invece, è definita per ogni argomento reale. Quindi

$f(x)=\arctan(A(x))$

ha lo stesso dominio dell’espressione $A(x)$ .

Per esempio,

$f(x)=\arctan\left(\frac{1}{1-x^2}\right)$

richiede soltanto

$1-x^2\neq 0.$

Pertanto

$D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.$

Anche l’arcocotangente è definita per ogni argomento reale. È però necessario scegliere convenzionalmente un intervallo al quale restringere il dominio naturale della cotangente per definirne l’inversa. Si può scegliere ad esempio

$\cot x\colon(0,\pi)\to\mathbb{R}.$

Con tale convenzione si ha

$\operatorname{arccot}\colon \mathbb{R}\to (0,\pi).$

Dato che la funzione risulta definita su tutti i reali, tale studio non aggiunge nulla di utile allo scopo della dispensa. L’arcocotangente non sarà quindi presente negli esercizi.

Combinazioni di più operazioni

Quando nell’espressione compaiono più operazioni, tutte le relative condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente.

Per esempio, per

$f(x)=\frac{\ln(x-2)}{\sqrt{x^2-9}}$

si devono imporre:

$\begin{cases} x-2>0,\\ x^2-9>0. \end{cases}$

La prima condizione fornisce $x>2$ , mentre la seconda fornisce

$x<-3 \qquad\text{oppure}\qquad x>3.$

Intersecando i due insiemi soluzione si ottiene

$D_f=(3,+\infty).$

Per un’espressione definita a tratti, invece, il dominio naturale di ogni espressione deve essere intersecato con la condizione che individua il relativo ramo. Il dominio complessivo si ottiene infine mediante l’unione dei domini dei singoli rami.

Tabella riassuntiva.

Proponiamo una tabella riassuntiva delle condizioni di esistenza da imporre nel caso in cui $A(x)$ e $B(x)$ siano due espressioni polinomiali; in generale le condizioni specifiche vanno poste a sistema insieme alle condizioni di esistenza di $A(x)$ e $B(x)$ .

Nella tabella si assumano $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ e $a\in(0,+\infty)\setminus\{1\}$ .

Funzione	Condizione
Polinomio	Nessuna
$\dfrac{A(x)}{B(x)}$	$B(x)\neq 0$
$\sqrt[2n]{A(x)}$	$A(x)\geq 0$
$\dfrac{B(x)}{\sqrt[2n]{A(x)}}$	$A(x)>0$
$\sqrt[2n+1]{A(x)}$	Nessuna
$\dfrac{B(x)}{\sqrt[2n+1]{A(x)}}$	$A(x)\neq 0$
$\log_a(A(x))$	$A(x)>0$
$a^{A(x)}$	Nessuna
$\sin(A(x))$ o $\cos(A(x))$	Nessuna
$\arcsin(A(x))$ o $\arccos(A(x))$	$-1\leq A(x)\leq 1$
$\tan(A(x))$	$A(x)\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ , $\forall k\in\mathbb{Z}$
$\cot(A(x))$	$A(x)\neq k\pi$ , $\forall k\in\mathbb{Z}$
$\arctan(A(x))$ o $\operatorname{arccot}(A(x))$	Nessuna
$A(x)^{B(x)}$	$A(x)>0$

Tabella 1: condizioni di esistenza per le principali famiglie di funzioni.

Si ricorda che la condizione di esistenza nell’ultima riga della tabella non corrisponde realmente a tutti i valori reali di $x$ per cui la potenza è effettivamente definita, ma rispecchia la convenzione logaritmica adottata nella sezione sulle funzioni esponenziali: non determina quindi il dominio naturale in senso stretto, ma il dominio rispetto a una convenzione fissata.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio naturale delle seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\;& f(x)=2x+1;\\[2mm] \text{b)}\;& f(x)=x^3-2x^2-3x;\\[2mm] \text{c)}\;& f(x)=(1-2x)e^{-2x};\\[2mm] \text{d)}\;& f(x)=\lvert x^2+x-9\rvert. \end{aligned}$

Svolgimento.

L’espressione
$f(x)=2x+1$

è polinomiale. Non compaiono denominatori, radici di indice pari, logaritmi o altre operazioni che impongano condizioni sulla variabile.

L’espressione è quindi definita per ogni numero reale. Pertanto

$\boxcolorato{analisi}{D_f=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty).}$
L’espressione
$f(x)=x^3-2x^2-3x$

è polinomiale. Somme, differenze, prodotti e potenze intere non negative sono definiti per ogni valore reale di $x$ .

Non vi sono quindi valori da escludere e il dominio naturale è

$\boxcolorato{analisi}{D_f=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty).}$
L’espressione
$f(x)=(1-2x)e^{-2x}$

è il prodotto di due funzioni: il polinomio $1-2x$ , definito per ogni $x\in\mathbb{R}$ , e l’espressione esponenziale $e^{-2x}$ , anch’essa definita per ogni $x\in\mathbb{R}$ .

Il prodotto è pertanto definito su tutta la retta reale. Quindi

$\boxcolorato{analisi}{D_f=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty).}$
L’espressione
$f(x)=\lvert x^2+x-9\rvert$

contiene il valore assoluto di un polinomio.

Il polinomio $x^2+x-9$ è definito per ogni numero reale e il valore assoluto può essere calcolato per ogni argomento reale. Non compaiono quindi vincoli sulla variabile.

Pertanto

$\boxcolorato{analisi}{D_f=\mathbb{R}=(-\infty,+\infty).}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio naturale delle seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\;& f(x)=\frac{1}{x};\\[2mm] \text{b)}\;& f(x)=\frac{3}{x-1};\\[2mm] \text{c)}\;& f(x)=\frac{5}{2x+3};\\[2mm] \text{d)}\;& f(x)=\frac{x-1}{x+1}. \end{aligned}$

Svolgimento.

L’espressione è razionale fratta. Il denominatore non può essere uguale a zero, quindi imponiamo

$x\neq 0.$

Il valore $0$ deve essere escluso dal dominio. Pertanto

$\boxcolorato{analisi}{ D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\} =(-\infty,0)\cup(0,+\infty). }$
La presenza del denominatore $x-1$ impone la condizione
$x-1\neq 0.$

Risolvendo:

$x-1\neq 0 \iff x\neq 1.$

Il dominio naturale è quindi

$\boxcolorato{analisi}{ D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\} =(-\infty,1)\cup(1,+\infty). }$
Il denominatore deve essere diverso da zero. Imponiamo quindi
$2x+3\neq 0.$

Risolviamo l’equazione associata:

$2x+3=0 \iff 2x=-3 \iff x=-\frac{3}{2}.$

Dobbiamo dunque escludere il valore $x=-\frac{3}{2}$ . Pertanto

$\boxcolorato{analisi}{ D_f=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\} = \left(-\infty,-\frac{3}{2}\right) \cup \left(-\frac{3}{2},+\infty\right). }$
Per determinare il dominio è sufficiente controllare il denominatore: il numeratore può invece annullarsi senza creare problemi.

Imponiamo

$x+1\neq 0.$

Da cui

$x+1\neq 0 \iff x\neq -1.$

Il dominio naturale è pertanto

$\boxcolorato{analisi}{ D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\} =(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty). }$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio naturale delle seguenti espressioni:

$\begin{aligned} \text{a)}\;& f(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+10};\\[2mm] \text{b)}\;& f(x)=\frac{x^2-\sqrt{2}}{x^2-4};\\[2mm] \text{c)}\;& f(x)=\dfrac{x+9}{x^2+2x+1};\\[2mm] \text{d)}\;& f(x)=\frac{x+5}{x^4+2}. \end{aligned}$

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Richiami di teoria

Funzioni, dominio, codominio e immagine.

Dominio naturale.

Nota sulle soluzioni periodiche.

Come si determina il dominio naturale.

Vademecum per le principali famiglie di funzioni.

Tabella riassuntiva.

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