Esercizi per la maturità: Esponenziali

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Autori e revisori

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Autori: Daniele Bjørn Malesani, Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Federico Fallucca.

Introduzione

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In questo articolo presentiamo 37 esercizi completamente risolti sugli esponenziali per il ripasso in vista dell’esame di maturità. Gli esponenziali sono un argomento di fondamentale importanza nella matematica pura e applicata, in virtù della capacità di tale strumento di modellizzare fenomeni in cui il tasso di crescita di una certa quantità è proporzionale al valore della quantità stessa.

Questa raccolta di esercizi si prefigge di consolidare la preparazione dello studente su questo argomento.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

$y(x)=4^{\sqrt{3-\vert x \vert}}.$

Svolgimento.

Quando ci troviamo di fronte ad una funzione esponenziale dobbiamo analizzare l’esponente e capire quando esso risulta ben definito. L’esponente è

$\sqrt{3-\vert x \vert},$

quindi il radicando deve essere maggiore o uguale a zero

$3-\vert x \vert \ge 0 \iff \vert x \vert \le 3 \iff - 3 \le x \le 3.$

Concludiamo che il dominio della funzione richiesta è

$\boxcolorato{superiori}{ D = [-3,3]. }$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

$y(x) = 2^{\sqrt[3]{x - 1}}.$

Svolgimento.

L’esponente dell’esponenziale è ben definito per qualsiasi valore reale di $x$ in quanto esso è una radice di indice dispari. Dunque il dominio della funzione è

$\boxcolorato{superiori}{ D = \mathbb{R}.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare il dominio della seguente funzione:

$y(x) = \frac{1}{2 - 2^x + 4^{x}}.$

Svolgimento.

Gli esponenziali sono tutti ben definiti, avendo la base positiva. Affinché l’espressione di $y$ sia ben definita, occorre solo imporre che il denominatore sia diverso da $0$ :

$2-2^x+4^x \neq 0.$

Ponendo $t=2^x$ , si ha $4^x=(2^x)^2=t^2$ e quindi la condizione diventa

$t^2-t+2 \neq 0,$

che è verificata per ogni $t \in \mathbb{R}$ in quanto il discriminante di tale polinomio vale $1-8<0$ . Dunque il denominatore non si annulla per alcun valore di $x$ e ciò implica che la funzione è definita per ogni $x \in \mathbb{R}$ :

$\boxcolorato{superiori}{ D=\mathbb{R}. }$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$4^{x+8}=4^{5-2x}.$

Svolgimento.

Poiché le basi sono uguali (e $4 > 1$ , garantendo l’iniettività della funzione esponenziale $f(t) = 4^t$ ), uguagliamo gli esponenti: uguagliando gli esponenti otteniamo $x+8=5-2x\iff3x=-3$ , ovvero

$\boxcolorato{superiori}{ x=-1. }$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’incognita $x$ :

$a^{6x}=a^{x^{2}}.$

dove $a>0$ è un numero reale diverso da $1$ .

Svolgimento.

Poiché le basi sono uguali (e $a > 0, a \neq 1$ , garantendo l’iniettività della funzione esponenziale $f(t) = a^t$ ), uguagliamo gli esponenti:L’esponente deve quindi soddisfare $6x=x^{2}\iff x(x-6)=0$ , da cui

$\boxcolorato{superiori}{ x=0 \quad \text{oppure} \quad x=6. }$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{9^x}}{81^{x-1}} = 9^{2x+3}.$

Svolgimento.

Per affrontare l’equazione riscriviamo tutto in base $3$ , osservando che $9=3^2$ e $81=3^{4}$ e applicando le proprietà delle potenze:

$3^{\frac{1}{2}+ \frac{x}{2}- 4(x-1)}= 3^{2(2x+3)} \iff \frac{1}{2}+ \frac{x}{2}- 4x+4 = 4x+6 \iff \frac{15}{2}x = -\frac{3}{2},$

che, risolta, fornisce la soluzione (accettabile, in quanto l’equazione originaria è definita per ogni $x \in \mathbb{R}$ )

$\boxcolorato{superiori}{ x=-\frac{1}{5}. }$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

$\left( \frac{2}{5} \right)^{x-1} - \left( \frac{5}{2} \right)^{x-1} = 0.$

Svolgimento.

Poiché $\frac{5}{2}$ è l’inverso di $\frac{2}{5}$ , la seconda potenza può essere riscritta come $\left(\frac{2}{5}\right)^{-(x-1)}$ . L’equazione diventa quindi

$\left(\frac{2}{5}\right)^{x-1}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-(x-1)} \iff x-1=-x+1,$

che fornisce la soluzione (accettabile, poiché l’equazione è definita per ogni $x \in \mathbb{R}$ )

$\boxcolorato{superiori}{ x=1. }$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\frac{e^x}{e^{x+1}} + \frac{2^{x+1}}{2^{x-1}} \geq 1.$

Svolgimento 1.

Osserviamo innanzitutto che l’espressione è definita per ogni valore reale di $x$ .

Dalle proprietà delle potenze possiamo semplificare le frazioni al membro di sinistra come

$e^{x-(x+1)} + 2^{x+1-(x-1)} = e^{-1} + 2^2 = \frac{1}{e}+ 4.$

Dunque il membro di sinistra non dipende da $x$ ed è pari alla somma di $4$ e di $\frac{1}{e}>0$ , dunque è strettamente maggiore di $1$ . Ne segue che la disequazione è verificata per ogni $x$ reale:

$\boxcolorato{superiori}{ x \in \mathbb{R}. }$

Svolgimento 2.

Forniamo una seconda soluzione che non sfrutta il valore esplicito del membro di sinistra.

Poiché la funzione esponenziale di base $2$ assume valori positivi ed è strettamente crescente, da $x+1 > x-1$ , si ha $2^{x+1}>2^{x-1}>0$ e quindi

$\frac{2^{x+1}}{2^{x-1}}>1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$

Dato che l’altro addendo è sempre positivo, il membro sinistro della disequazione è sempre maggiore di $1$ e dunque la disuguaglianza è sempre verificata. La soluzione è quindi

$\boxcolorato{superiori}{ x \in \mathbb{R}. }$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto:

$\left| \frac{4^{-x}}{2^{x+2} \cdot 2^6} \right| < 1.$

Svolgimento.

Numeratore e denominatore della frazione sono strettamente positivi, quindi il modulo è ridondante. Il rapporto è dunque minore di $1$ se e solo se il numeratore è minore del denominatore. La disequazione è equivalente cioè a

$4^{-x} < 2^{x+2} \cdot 2^6 \iff 2^{-2x} < 2^{x+8} \iff -2x < x+8,$

dove nella prima equivalenza abbiamo scritto $4=2^2$ e applicato le proprietà delle potenze, mentre nella seconda equivalenza abbiamo sfruttato il fatto che la funzione esponenziale di base $2$ è strettamente crescente. Risolvendo rispetto a $x$ si ottiene quindi la soluzione

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left ( -\frac{8}{3}, +\infty \right ). }$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto:

$\left| \frac{\sqrt{3^{6x} \cdot 3^2}}{3^7} \right| < |-3^x|.$

Svolgimento.

Poiché $3^x>0$ , si ha $|-3^x|=3^x$ . Dato che tutte le potenze di $3$ sono positive, possiamo eliminare anche il valore assoluto al primo membro, moltiplicare la disequazione per $3^7$ e ottenere

$\sqrt{3^{6x}\cdot 3^2}< 3^x \cdot 3^7 \iff 3^{3x+1}< 3^{x+7} \iff 3x+1<x+7 \iff x<3,$

dove al primo passaggio abbiamo scritto la radice come elevamento a potenza di esponente $\frac{1}{2}$ e usato le proprietà delle potenze, mentre al secondo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che la funzione esponenziale di base $3$ è strettamente crescente. La soluzione è quindi

$\boxcolorato{superiori}{ S= \left (-\infty, 3 \right ). }$

Esercizio 11 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$\dfrac{4}{2^x-1}+\dfrac{3}{2^x+1}=5.$

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliare. Per semplicità dei calcoli, conviene già sostituire $t = 2^x$ ottenendo

$\dfrac{4}{2^x-1}+\dfrac{3}{2^x+1}=5 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4}{t-1}+\dfrac{3}{t+1}=5.$

Facendo i calcoli otteniamo

$\dfrac{4(t+1)+3(t-1)}{(t-1)(t+1)} = \dfrac{5(t-1)(t+1)}{(t-1)(t+1)} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{7t+1}{(t-1)(t+1)} = \dfrac{5(t^2-1)}{(t-1)(t+1)}.$

Le condizioni di esistenza sono date da

$t-1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad t \neq 1 \quad \Rightarrow \quad 2^x \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq 0$

mentre $t+1 \neq 0$ per ogni $t$ reale poiché è la somma di due termini positivi. Con la condizione $x\neq0$ abbiamo

$7t+1=5t^2-5$

da cui

$5t^2-7t-6=0.$

Risolviamo l’equazione di secondo grado

$t = \dfrac{7\pm \sqrt{49 + 120 }}{10} = \dfrac{7\pm 13}{10}$

ottenendo

$t=2 \qquad \vee \qquad t = - \dfrac{3}{5}.$

Dato che $t = - \frac{3}{5}$ è impossibile poiché $t$ è sempre positivo essendo definito come esponenziale, abbiamo solo

$t=2 \quad \Rightarrow \quad 2^x=2$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{ x=1.}$

accettabile poiché $x \neq 0$ .

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Per quali valori del parametro $k$ l’equazione

$9^x - 3^{x+1} = k$

ha soluzioni reali?

Svolgimento.

Possiamo riscrivere l’equazione assegnata nel modo seguente, seguendo l’idea di completare il quadrato di un binomio:

$\begin{gathered} 3^{2x} - 3\cdot3^{x} = k; \\ \left(3^x\right)^2 - 2\cdot\frac{3}{2}\cdot3^x + \frac{9}{4} = k + \frac{9}{4};\\ \left(3^x-\frac{3}{2}\right)^2 = k + \frac{9}{4}. \end{gathered}$

Dato che il membro di sinistra non è mai negativo, condizione necessaria affinché questa equazione abbia soluzione è che:

$k \geq -\frac{9}{4}.$

Se questa condizione viene rispettata, si ha:

$3^x = \frac{3}{2} \pm \sqrt{k+\frac{9}{4}}.$

Prendendo il segno $+$ , il membro di destra è sicuramente positivo per $k \geq -9/4$ , per cui esiste sicuramente almeno una soluzione per $x$ . La risposta è dunque

$\boxcolorato{superiori}{k \geq - \frac{9}{4}.}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$4^{x}+2^{x+1}+\frac{11}{7}=2^{x}+1 .$

Svolgimento.

Sostituendo $t\coloneq 2^{x}$ si ottiene l’equazione quadratica

$t^{2}+t+\frac47=0,$

il cui discriminante è negativo, dunque non esiste nessuna soluzione reale.

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione fratta con esponenziali:

$\frac{1}{3^x - 9} - \frac{1}{3^x + 1} > 0.$

Svolgimento.

Poiché poniamo $t = 3^{x} > 0$ , si ha

$\frac{1}{t-9}-\frac{1}{t+1} = \frac{(t+1)-(t-9)}{(t-9)(t+1)} = \frac{10}{(t-9)(t+1)} ,$

per cui la disequazione diventa

$\frac{10}{(t-9)(t+1)} > 0 .$

Il fattore $10$ è positivo e, essendo $t>0$ , risulta anche $t+1>0$ ; dunque il segno dell’espressione dipende soltanto da

$t-9 > 0 \iff t > 9 .$

La funzione $y(x) = 3^{x}$ è crescente, perché la base $3$ è maggiore di $1$ ; di conseguenza, per mantenere il verso della disequazione è sufficiente confrontare gli esponenti:

$3^{x} > 9 = 3^{2} \iff x > 2 .$

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S =(2,+\infty). }$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere la seguente disequazione:

$\frac{(3^x - 1)^{\frac{1}{2}} - 2\sqrt{2}}{3^x \cdot \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} \right) - 9} \geq 0.$

Svolgimento.

Poniamo $t=3^{x}>0$ . La frazione diventa

$\frac{\sqrt{t-1}-2\sqrt2}{\dfrac{t}{\sqrt[3]{3}}-9}\ge0 .$

Il numeratore $\sqrt{t-1}-2\sqrt2$ si annulla per $t=9$ , mentre il denominatore $\dfrac{t}{\sqrt[3]{3}}-9$ si annulla per $t=9\sqrt[3]{3}=3^{7/3}$ , valore da escludere dal campo di esistenza della disequazione. Poiché $\sqrt{t-1}$ e $t/\sqrt[3]{3}-9$ sono entrambe funzioni crescenti, nel dominio $t\ge1$ il loro segno cambia soltanto in corrispondenza di questi due valori. Per $1\le t<9$ entrambi i fattori sono negativi, quindi il quoziente è positivo; in $t=9$ vale zero ed è ammesso; in $9<t<3^{7/3}$ il numeratore diventa positivo mentre il denominatore resta negativo, perciò la frazione è negativa; infine, per $t>3^{7/3}$ entrambi i fattori risultano positivi e il quoziente torna positivo. In sintesi

$t\in [1,9]\;\cup\;(3^{7/3},+\infty).$

Sostituendo $t=3^{x}$ otteniamo

$\begin{cases} 1\le 3^{x}\le 9 &\Longrightarrow\; 0\le x\le 2,\\[4pt] 3^{x}>3^{7/3} &\Longrightarrow\; x> \dfrac73. \end{cases}$

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\bigl[0,2\bigr]\cup\left (\frac73,+\infty \right ). }$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione irrazionale:

$\sqrt{4 \cdot 2^x + \sqrt{8^x - 1}} \leq \sqrt{2^{x+1} - 1}.$

Svolgimento.

Introduciamo la variabile $t=2^{x}>0$ ; in tal modo $8^{x}=t^{3}$ e $2^{x+1}=2t$ , perciò la disequazione si riscrive

$\sqrt{\,4t+\sqrt{\,t^{3}-1}\,}\;\le\;\sqrt{\,2t-1\,}.$

I radicandi impongono subito $t\ge1$ , cioè $x\ge0$ . Dal momento che entrambi i membri sono non-negativi, elevare al quadrato non altera il verso: otteniamo

$4t+\sqrt{\,t^{3}-1}\;\le\;2t-1.$

Ma per ogni $t\ge1$ il radicando a sinistra vale almeno $4t$ , mentre il membro destro non supera $2t-1$ ; questo condurrebbe a $4t\le2t-1$ , ossia $2t\le-1$ , impossibile per qualsiasi $t>0$ . Di conseguenza non esistono valori ammessi che soddisfino la disuguaglianza e l’insieme delle soluzioni è vuoto:

$\boxcolorato{superiori}{ S=\emptyset. }$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di numeri reali che soddisfano

$\begin{cases} x^{2}+y^{2} = \dfrac{13}{36}\\[4pt] 2^{\,x+y} = \sqrt[6]{32}. \end{cases}$

Svolgimento.

Dal secondo vincolo segue

$2^{\,x+y}=32^{1/6}=2^{5/6}\;\Longrightarrow\; x+y=\frac56 .$

Scrivendo il primo membro della prima equazione come

$(x+y)^2-2xy$

e sostituendo l’informazione $x+y=\frac56$ , si ottiene

$x^{2}+y^{2}= (x+y)^{2}-2xy=\frac{13}{36}\;\Longrightarrow\; \Bigl(\frac56\Bigr)^{2}-2xy=\frac{13}{36}\;\Longrightarrow\; xy=\frac16 .$

Dunque $x$ e $y$ sono radici del trinomio

$t^{2}-\frac56\,t+\frac16=0 ,$

il cui discriminante vale

$\Delta=\Bigl(\frac56\Bigr)^{2}-4\cdot\frac16=\frac{1}{36}, \quad \sqrt{\Delta}=\frac16 .$

Le radici risultano quindi

$t=\frac{\frac56\pm\frac16}{2}\in\Bigl\{\frac12,\;\frac13\Bigr\},$

per cui

$(x,y)\in\Bigl\{\bigl(\tfrac12,\tfrac13\bigr),\;\bigl(\tfrac13,\tfrac12\bigr)\Bigr\}.$

Si conclude che

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\{\,(1/2,\,1/3),\,(1/3,\,1/2)\}.}$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di numeri reali che soddisfano

$\begin{cases} 27^{\,3-x}+9^{\,3y-2}=36\\ x-y=1. \end{cases}$

Svolgimento.

Dal vincolo lineare $x-y=1$ segue $y=x-1$ ; sostituendo tale espressione nella prima equazione si ottiene

$27^{\,3-x}+9^{\,3(x-1)-2}=36.$

Scrivendo tutto in base $3$ (poiché $27=3^{3}$ e $9=3^{2}$ ) la relazione diventa

$3^{9-3x}+3^{6x-10}=36.$

Poiché $36=27+9=3^{3}+3^{2}$ , l’uguaglianza può sussistere solo se

$9-3x=3 \quad\text{e}\quad 6x-10=2,$

condizioni entrambe equivalenti a $x=2$ . Ne segue $y=x-1=1$ . Si conclude che

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\bigl\{(2,1)\bigr\}.}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 3^x - 3^{3 - x} + 6 \geq 0 \\ \left|2^x - 1\right| < 3. \end{cases}$

Svolgimento.

Scriviamo innanzitutto la prima disequazione mettendo in evidenza il termine esponenziale $3^{x}$ . Se poniamo $y = 3^{x}>0$ otteniamo

$3^{x}-3^{\,3-x}+6 \;=\; 3^{x}-27\cdot 3^{-x}+6 \;=\; \frac{y^{2}+6y-27}{y}.$

Il denominatore è positivo, quindi il segno dell’espressione dipende solo dal numeratore $y^{2}+6y-27$ . Quest’ultimo si annulla per $y=3$ (l’altra radice sarebbe $y=-9$ , fuori dal dominio) e, essendo di concavità verso l’alto, risulta non negativo quando $y\ge 3$ ; traducendo in termini di $x$ si trova

$3^{x}\ge 3\iff x\ge 1.$

Passiamo alla seconda disequazione del sistema:

$|\,2^{x}-1\,|<3.$

Essa equivale alla doppia disuguaglianza

$-3 < 2^{x}-1 < 3.$

Il limite inferiore è automaticamente verificato perché $2^{x}>0$ ; resta pertanto $2^{x}<4$ , che si traduce in

$x<2.$

Affinché entrambe le disequazioni siano soddisfatte contemporaneamente, $x$ deve appartenere ad entrambi gli intervalli individuati; l’intersezione è

$\boxcolorato{superiori}{S=[1,2).}$

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 5^{2x - 1} - 25 > 0 \\ \frac{3^x + 1}{3^x - 1} \geq 1 \end{cases}$

Svolgimento.

Consideriamo prima la disuguaglianza

$5^{\,2x-1}-25>0 .$

Scrivendo $25=5^{2}$ ed osservando che la funzione esponenziale di base $5>1$ è strettamente crescente, basta confrontare gli esponenti:

$2x-1>2 \iff 2x>3 \iff x>\dfrac32 .$

Passiamo ora alla seconda condizione

$\frac{3^{x}+1}{3^{x}-1}\ge 1 .$

Portando tutto al primo membro otteniamo

$\frac{3^{x}+1-(3^{x}-1)}{3^{x}-1}= \frac{2}{3^{x}-1}\ge0 .$

Il numeratore $2$ è positivo; l’espressione quindi è non negativa precisamente quando il denominatore è positivo (e diverso da zero), cioè per

$3^{x}-1>0 \;\Longrightarrow\; x>0 .$

Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate simultaneamente: l’intersezione degli intervalli $\left (\dfrac32,+\infty\right )$ e $(0,+\infty)$ coincide con il primo dei due. Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=\bigl(\tfrac32,\,+\infty\bigr).}$

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \dfrac{3^{-x} - 9^2}{5^{\frac{x + 2}{x}} - 5^2} \leq 0 \\[12pt] \dfrac{10^x}{10^{2x} - 1} < \dfrac{3}{1 - 10^x}. \end{cases}$

Svolgimento.

Determiniamo le condizioni di esistenza: i denominatori di tutte le frazioni devono essere non nulli, dunque affinché il sistema sia ben definito occorre che

$\begin{cases} x \neq 0 \\[10pt] \dfrac{x+2}{x} \neq 2 \\[8pt] 2x \neq 0 \\ x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 2 \end{cases} \iff x \in \mathbb{R} \setminus\{0,2\}.$

Risolviamo inizialmente la seconda disequazione. Scomponendo $10^{2x}-1=(10^x-1)(10^x+1)$ e sommando le frazioni si ottiene

$\frac{10^x + 3(10^x+1)}{(10^x-1)(10^x+1)}<0.$

Poiché il numeratore e il fattore $10^x+1$ sono sempre positivi, affinché la frazione sia negativa è necessario e sufficiente che

$10^x-1<0 \iff x<0.$

Dunque possiamo limitarci a studiare le soluzioni della seconda disequazione solo per $x<0$ .

A tal fine studiamo il segno del numeratore e del denominatore; il numeratore è non-negativo se e solo se

$3^{-x} \geq 9^2 =3^4 \iff -x \geq 4 \iff x \leq -4.$

Il denominatore è invece positivo se e solo se

$5^{\frac{x+2}{x}} > 5^2 \iff \frac{x+2}{x} > 2 \iff \frac{-x+2}{x}>0 \iff -x+2<0 \iff x>2,$

dove la terza equivalenza segue dalla condizione $x<0$ data dalla prima disequazione del sistema. Poiché $x>2$ è incompatibile con $x<0$ , ne segue che il denominatore della frazione è sempre negativo per $x<0$ .

Pertanto la seconda disequazione del sistema è soddisfatta se e solo se il numeratore è non-negativo, ovvero se e solo se $x\leq -4$ .

Poiché tale disuguaglianza soddisfa la condizione di esistenza ed è compatibile con la soluzione $x<0$ della prima disequazione del sistema, ne segue che esso ha soluzione

$\boxcolorato{superiori}{ S=(-\infty,4]. }$

Esercizio 22 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \left| \dfrac{25^x - 1}{25^x + 1} \right| < 1 \\[12pt] \dfrac{2^x - 4}{2^{2x} - 4} \geq \dfrac{2}{2^x + 2}. \end{cases}$

Svolgimento.

Poniamo $t=25^{x}>0$ . Poiché $t+1>0$ , si ha

$\left|\frac{t-1}{t+1}\right|<1 \;\Longleftrightarrow\; |t-1|<t+1,$

diseguaglianza sempre vera per qualunque $t>0$ . Dunque la prima disequazione è soddisfatta per ogni $x\in\mathbb R$ .

Per la seconda disequazione poniamo $u=2^{x}>0$ (con $u\neq2$ per evitare $2^{2x}-4=0$ ):

$\frac{u-4}{u^{2}-4}\;\ge\;\frac{2}{u+2}.$

Da $u^{2}-4=(u-2)(u+2)$ e portando a sinistra con denominatore comune si ottiene

$\frac{u-4}{(u-2)(u+2)}-\frac{2}{u+2} =\frac{u-4-2(u-2)}{(u-2)(u+2)} =\frac{-u}{(u-2)(u+2)}\;\ge\;0.$

Il numeratore $-u$ è negativo per ogni $u>0$ ; affinché la frazione sia non-negativa è necessario che il denominatore sia negativo:

$(u-2)(u+2)<0\iff 0<u<2.$

Ricordando che $u=2^{x}$ , otteniamo

$2^{x}<2 \iff x<1.$

Poiché la prima disequazione non impone restrizioni, l’insieme soluzione del sistema è

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,1).}$

Esercizio 23 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

$\frac{5^{x}-4\sqrt{5^{x}}+5}{\sqrt{5^{x+2}}-2\sqrt{5^{x}}}= \frac23.$

Svolgimento.

L’argomento dei radicali è sempre positivo, ma il denominatore non deve annullarsi; osserviamo che

$\sqrt{5^{x+2}} =\sqrt{5^{x}\,5^{2}} =5\sqrt{5^{x}}.$

Di conseguenza il denominatore si riduce a $5\sqrt{5^{x}}-2\sqrt{5^{x}}=3\sqrt{5^{x}}$ , che non si annulla mai. L’equazione diventa quindi

$\frac{5^{x}-4\sqrt{5^{x}}+5}{\,3\sqrt{5^{x}}\,}=\frac23 \iff 5^{x}-4\sqrt{5^{x}}+5=2\sqrt{5^{x}}.$

Poniamo

$t=\sqrt{5^{x}}\;>\;0 ,$

così l’identità precedente si trasforma nel trinomio quadratico

$t^{2}-6t+5=0.$

Il discriminante è $\Delta =(-6)^{2}-4\cdot1\cdot5=16$ ; dunque

$t=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}= \frac{6\pm4}{2}\; \Longrightarrow\; t_{1}=1,\qquad t_{2}=5.$

Invertiamo ora il cambio di variabile. Dal momento che $t=\sqrt{5^{x}}$ ,

$\begin{aligned} t=1 &\iff 5^{x}=1 \iff x=0,\\[4pt] t=5 &\iff 5^{x}=25 \iff x=2. \end{aligned}$

Entrambi i valori trovati sono perfettamente leciti.

Si conclude che

$\boxcolorato{superiori}{S=\{0,\;2\}.}$

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

$\left(\frac{3^{x}+3}{\,3^{x}-4\,}\right)^{2} \;-\; 5\left(\frac{3^{x}+3}{\,3^{x}-4\,}\right)=0.$

Svolgimento.

Poniamo

$t=\frac{3^{x}+3}{\,3^{x}-4\,}\,, \qquad 3^{x}\ne4.$

L’equazione diventa

$t^{2}-5t=0 \iff t\,(t-5)=0 \iff t=0\quad\text{oppure}\quad t=5.$

Il valore $t=0$ condurrebbe a $3^{x}+3=0$ , impossibile poiché $3^{x}>0$ ; rimane quindi $t=5$ :

$\frac{3^{x}+3}{\,3^{x}-4\,}=5 \iff 3^{x}+3=5(3^{x}-4) \iff 3^{x}+3=5\cdot3^{x}-20 \iff 23=4\cdot3^{x} \iff 3^{x}=\frac{23}{4}.$

Poiché $\dfrac{23}{4}\neq4$ , il denominatore non si annulla e il valore è ammesso. Risolvendo in $x$ :

$\boxcolorato{superiori}{S=\left\{\log_{3}\!\dfrac{23}{4}\right\}.}$

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

$\frac{5^x}{5^{x+1} - \frac{1}{25^{x-1}}} = 1.$

Svolgimento.

Le condizioni di esistenza dell’equazione sono date imponendo che il denominatore non si annulli, ossia

$5^{x+1} \neq \frac{1}{25^{x-1}} \iff 5^{x+1} \neq 5^{-2(x-1)} \iff x+1 \neq -2x+2 \iff x \neq \frac{1}{3}.$

Moltiplicando ambo i membri per il denominatore della frazione e riarrangiando i termini si ottiene l’equazione

$\begin{aligned} 5^{x+1} - 5^x = \frac{1}{25^{x-1}} & \iff 5^x(5-1)= 5^{-2(x-1)} \\ & \iff 4 \cdot 5^x = 5^{-2(x-1)} \\ & \iff 5^{x+\log_5 4} = 5^{-2(x-1)}, \end{aligned}$

dove nell’ultimo passaggio si è osservato $4=5^{\log_5 4}$ e applicato le proprietà delle potenze. Uguagliando gli esponenti si giunge a

$x+\log_5 4 = -2x+2,$

ossia la soluzione (accettabile, in quanto soddisfacente la condizione di esistenza)

$\boxcolorato{superiori}{S= \left \{\frac{2-\log_{5}4}{3} \right \}.}$

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quanti sono i termini di una successione geometrica di ragione uguale a $2$ con primo termine $8$ ed ultimo termine $512$ ?

Svolgimento.

Dati una coppia di numeri $a$ ed $r$ , una successione geometrica di ragione $r$ e primo termine $a$ è una successione

$a_1:=a \qquad a_2:=ar \qquad \cdots \qquad a_n:=ar^{n-1} \qquad \cdots$

Una successione così fatta ha la peculiarità che il rapporto tra un termine ed il precedente è sempre costante ed è uguale alla ragione $r$ . Nel caso dell’esericizio $a=8$ e $r=2$ , dobbiamo quindi risolvere

$a_n=8\cdot 2^{n-1}=512 \implies 2^{n-1}=\frac{512}{8}=64=2^6 \implies \boxcolorato{superiori}{ n=7.}$

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Disporre in ordine crescente i seguenti numeri senza l’ausilio di una calcolatrice, considerando che $e \approx 2,71$ :

$z=\ln 4, \quad t=\sqrt{e}.$

Svolgimento.

Grazie alla monotonia della potenza con base $e$ , si ha

(1) $\begin{equation*} \sqrt{e}> \ln 4 \iff e^{\sqrt{e}} > e^{\ln 4} = 4. \end{equation*}$

Dalla stima $e \approx 2,71 > \frac{8}{3}$ segue $\sqrt{e}>\frac{2\sqrt{6}}{3}>\frac{5}{3}> \frac{3}{2}$ e quindi

(2) $\begin{equation*} e^{\sqrt{e}} > e^{\frac{3}{2}} = e\cdot \sqrt{e} > \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{3} = \frac{40}{9} > 4. \end{equation*}$

Si deduce quindi

$\boxcolorato{superiori}{z < t.}$

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare le soluzioni della seguente equazione esponenziale:

(3) $\begin{equation*} 9^x - 2^{x+1}5^{x/2}-4^x-5^x = 0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Scriviamo (3) come segue:

$\begin{aligned} 9^x - 2^{x+1}5^{x/2}-4^x-5^x = 0 & \iff 3^{2x} - \left(2^x+5^{x/2} \right)^2 = 0 \iff \\ &\iff \left(3^x - 2^x - 5^{x/2}\right)\left(3^x + 2^x + 5^{x/2}\right) = 0. \end{aligned}$

Osserviamo che

$3^x + 2^x + 5^{x/2}>0 \qquad \forall x \in \mathbb{R},$

per cui l’equazione è soddisfatta se e solo se

$3^x - 2^x - 5^{x/2}=0.$

Ponendo $t = x/2$ otteniamo

(4) $\begin{equation*} 9^t = 5^t + 4^t. \end{equation*}$

Si osserva facilmente che $t = 1$ (ovvero $x = 2$ ) è una soluzione. Vogliamo indagare se ci sono altre radici per (4), dunque riscriviamo (4) come segue:

(5) $\begin{equation*} \left(\dfrac{5}{9} \right)^t+\left(\dfrac{4}{9} \right)^t-1=0. \end{equation*}$

Osserviamo che entrambe le funzioni $t \mapsto \left(\dfrac{5}{9} \right)^t$ e $t \mapsto \left(\dfrac{4}{9} \right)^t$ , essendo esponenziali con base strettamente minore di $1$ , sono strettamente decrescenti, quindi la funzione

$f \colon t \in \mathbb{R} \longmapsto \left(\dfrac{5}{9} \right)^t+\left(\dfrac{4}{9} \right)^t-1$

è strettamente descrescente, e ciò implica che la soluzione $t=1$ trovata è unica.

Alternativamente si poteva calcolare la derivata $f^\prime(t)$ :

$f'(t) = \left(\frac{5}{9}\right)^t \underbrace{\ln\frac{5}{9}}_{<0} + \left(\frac{4}{9}\right)^t \underbrace{\ln\frac{4}{9}}_{<0} < 0, \qquad \forall t \in \mathbb{R},$

che, essendo negativa, implica appunto che $f$ è strettamente decrescente.

Concludiamo che l’unica soluzione dell’equazione è

$\boxcolorato{superiori}{x=2.}$

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale dei disegni mostrati sotto rappresenta il grafico della funzione

$f(x) = 2^{-x} \sin^2\left(x^2\right)?$

Svolgimento.

Per prima cosa, notiamo che $f$ è una funzione non negativa, per cui possiamo escludere la $\fbox{b}$ . Inoltre, $f(0) = 0$ , che ci permette di escludere anche la $\fbox{d}$ .

Per distinguere tra i due casi rimanenti, notiamo che gli zeri della funzione rappresentata dal grafico $\fbox{c}$ sono equispaziati, mentre gli zeri di $\sin\left(x^2\right)$ si addensano per $x \to +\infty$ . Questo succede nel primo grafico ma non nel terzo, in cui gli zeri hanno una distanza approssimativamente costante. Per esclusione si conclude che il grafico di $f$ è rappresentato nella prima figura.

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quante soluzioni reali (positive) ha la seguente equazione?

$x = 8^{\log_2(x)} - 9^{\log_3(x)} - 4^{\log_2(x)} + \log_{0\text{,5}}(0\text{,25}).$

Svolgimento.

Per prima cosa, notiamo che affinché l’equazione sopra abbia significato, è necessario che $x > 0$ . Cerchiamo ora di renderla più maneggevole. In particolare, usando le proprietà delle potenze e dei logaritmi:

$\log_{0\text{,5}}(0\text{,25}) = \log_{1/2}\left(\frac{1}{4}\right) = \log_{1/2}\left(\frac{1}{2}\right)^{\!2} = 2.$

Possiamo ora riscrivere il membro di destra così:

$\begin{aligned} \phantom{=} {} & 8^{\log_2(x)} - 9^{\log_3(x)} - 4^{\log_2(x)} + \log_{0\text{,5}}(0\text{,25}) = \\ = {} & (2^3)^{\log_2(x)} - (3^2)^{\log_3(x)} - (2^2)^{\log_2(x)} + 2 = \\ = {} & [2^{\log_2(x)}]^3 - [3^{\log_3(x)}]^2 - [2^{\log_2(x)}]^2 + 2 = \\ % = {} & 2^{\log_2(x^3)} - 3^{\log_3(x^2)} - 2^{\log_2(x^2)} + 2 = \\ = {} & x^3 - x^2 - x^2 + 2. \end{aligned}$

L’equazione originale è pertanto equivalente alla seguente (sotto la restrizione $x > 0$ ), che si può fattorizzare facilmente:

$\begin{gathered} x^3-2x^2 - x + 2 = 0; \\ x^2(x-2) - (x-2) = 0; \\ (x^2-1)(x-2) = 0; \\ (x-1)(x+1)(x-2) = 0. \end{gathered}$

In questo modo si leggono immediatamente le tre soluzioni reali $x = -1$ , $x = 1$ , $x = 2$ . Quella negativa, come discusso all’inizio, va scartata. La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\text{2 soluzioni.}}$

Esercizio 31 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri l’equazione

$x\, 2^x = y\, 2^y.$

Quante coppie di numeri reali positivi distinti $(x,y)$ sono soluzioni?

Svolgimento.

Per $x > 0$ , la funzione $f(x) = x\,2^x$ è il prodotto di due funzioni strettamente crescenti e positive ( $x$ e $2^x$ ): come tale, è a sua volta strettamente crescente, e quindi è iniettiva. Questo vuol dire che, se $f(x) = f(y)$ , allora $x = y$ . Dato che il quesito richiede il numero di coppie di numeri reali distinti che soddisfano l’equazione, concludiamo che non ne esiste nessuna.

Esercizio 32 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$7^{2x-1}-14^{x}=0.$

Svolgimento.

Scriviamo $14^{x}=2^{x}7^{x}$ , da cui

$7^{2x-1}-2^{x}7^{x} = 0.$

Dividendo per $7^{x}>0$ {otteniamo}

$7^{x-1}=2^{x}.$

Applicando il logaritmo naturale ad ambo i membri otteniamo

$(x-1)\ln 7 = x \ln 2 \iff (\ln 7 - \ln 2)x = \ln 7,$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{ x = \frac{\ln 7}{\ln 7 - \ln 2}. }$

Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$3^{2x}=5\cdot2^{x} .$

Svolgimento.

Applicando il logaritmo naturale di entrambi i membri troviamo

$2x\ln3=\ln5+x\ln2,$

ossia

$\boxcolorato{superiori}{ x=\dfrac{\ln5}{2\ln3-\ln2}. }$

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$\frac34\,5^{x}+7\cdot3^{x}=\frac23\,5^{x}+10\cdot3^{x} .$

Svolgimento.

Tramite manipolazioni algebriche si ottiene

$\left(\frac34-\frac23\right)5^{x}-(7-10)\cdot3^{x}=0\iff \frac{1}{12}5^x -3\; 3^x = 0 \iff \left(\frac{5}{3}\right)^x = 36,$

da cui applicando il logaritmo naturale ad ambo i membri si ha

$x \ln \frac{5}{3} = \ln 36,$

e quindi

$\boxcolorato{superiori}{ x = \frac{\ln 36}{\ln \frac{5}{3}}. }$

Esercizio 35 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$2^{x}+e^{x}=2 .$

Svolgimento.

Osserviamo che

$2^0 + e^0 = 1+1=2,$

ed inoltre le funzioni $2^{x}$ ed $e^{x}$ sono strettamente crescenti e dunque la loro somma risulta strettamente crescente. Quindi l’unica l’unica soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{ x=0. }$

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si consideri la seguente equazione:

$7^{2x}-1-14^{x}=0.$

$\quad$

Stabilire se essa ammette almeno una soluzione positiva.

Tale soluzione è unica?

Svolgimento punto 1.

Consideriamo la funzione continua

$g(x) = 7^{2x}-14^x - 1,$

che assume come valori

$g(0) = 1-1-1= -1<0, \quad \quad g(1) = 7^2 -14-1 = 34>0.$

Per il teorema dei valori intermedi sappiamo che la funzione $g$ assume valore nullo in almeno un punto $x \in (0,1)$ .

Svolgimento punto 2.

Osserviamo che possiamo raccogliere $7^{2x}$ nei due termini esponenziali e riscrivere il primo membro dell’equazione come

(6) $\begin{equation*} 7^{2x}\left (1- \left (\frac{2}{7}\right )^x\right ) - 1. \end{equation*}$

Per $x >0$ la funzione $x \mapsto 7^{2x}=49^x$ è strettamente crescente e positiva in quanto è un esponenziale con base maggiore di $1$ ; analogamente, la funzione $x \mapsto 1-\left (\frac{2}{7}\right )^x$ è strettamente crescente e positiva, in quanto la funzione $x \mapsto \left (\frac{2}{7}\right )^x$ è strettamente decrescente e minore di $1$ . Quindi il primo membro (6) è una funzione strettamente crescente per $x>0$ . Ne segue che la soluzione determinata al punto precedente è l’unica possibile.

Esercizio 37 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Data l’equazione

$3^{2x+1}+3^{x-1}=2\cdot5^{2-x},$

stabilire se esistono delle soluzioni e determinarne il numero.

Svolgimento.

Osserviamo che il primo membro si può scrivere come

$3\cdot 9^x + \frac{1}{3}\cdot 3^x,$

che è strettamente crescente nella variabile $x$ , in quanto somma di due esponenziali con base strettamente maggiore di $1$ .

Il secondo membro invece è strettamente decrescente, infatti

$2\cdot 5^{2-x} = \frac{2\cdot 25}{5^x}$

in quanto un multiplo di un esponenziale con base $\frac{1}{5}<1$ . Dunque l’espressione

$g(x)= 3^{2x+1}+3^{x-1}-2\cdot 5^{2-x}$

è strettamente crescente rispetto a $x$ , pertanto essa può assumere valore nullo per al più un $x \in \mathbb{R}$ . Dunque può esistere al più una soluzione dell’equazione.

Osserviamo poi che

$g(0) = 3+3^{-1}-2\cdot 5^2 = -\frac{140}{3}<0, \quad \quad g(1) = 3^3 + 1 -10 =18>0.$

e quindi, per il teorema dei valori intermedi, $g$ assume valore nullo per almeno un $x \in (0,1)$ .

Da tali considerazioni segue che esiste un’unica soluzione reale dell’equazione, e che tale soluzione appartiene all’intervallo $(0,1)$ .