Esercizi per la maturità: Calcolo differenziale

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Autori: Daniele Bjørn Malesani, Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Federico Fallucca.

Introduzione

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In questo articolo proponiamo 16 esercizi di ripasso sul calcolo differenziale in vista dell’esame di maturità. Il calcolo differenziale costituisce un importante strumento matematico che trova innumerevoli applicazioni alla fisica e alle altre scienza, traendo da esse la propria stessa origine. Costituendo gran parte del programma di matematica degli ultimi anni della scuola superiore, il calcolo differenziale è spesso il protagonista della traccia di matematica all’esame di maturità; ne consegue che lo studente deve padroneggiarlo senza difficoltà: lo scopo di questi esercizi è proprio di ripassare proprietà e tecniche di base.

Gli esercizi, raccolti a grandi linee per argomenti, sono completamente risolti, così da offrire al lettore l’apprendimento più efficace.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri la seguente funzione:

$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 5x - 7.$

Quanti punti stazionari ha $f$ ?

Svolgimento.

Essendo un polinomio, $f$ è naturalmente derivabile e i suoi punti stazionari soddisfano per definizione $f'(x) = 0$ . Calcolando la derivata prima si ha:

$f'(x) = 6x^2 - 12x + 5.$

L’espressione $f'(x) = 0$ è un’equazione algebrica di secondo grado che ha come discriminante $\Delta = 12^2 - 4\times6\times5 = 24 > 0$ . Si conclude che l’equazione ha due soluzioni distinte, quindi $f$ ha due punti stazionari. Per completezza riportiamo il grafico di $f$ evidenziando in giallo i due punti stazionari.

$\quad$

Figura 1.

$\quad$

In generale, data una cubica

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d,$

si può verificare facilmente che la curva presenta due punti stazionari distinti se $b^2 - 3ac > 0$ , un solo punto stazionario se $b^2 - 3ac = 0$ , e nessun punto stazionario se $b^2 - 3ac < 0$ . Nell’esercizio proposto, $b^2-3ac = 6 > 0$ , quindi la risposta è che $f$ possiede

$\boxcolorato{superiori}{\text{2 punti stazionari.}}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri la successione definita per ogni $n \geq 0$ intero:

$x_n = n^3 - 9n^2 + 631.$

Qual è il più grande valore di $n$ per cui $x_n > x_{n+1}$ ?

Svolgimento.

Il modo più semplice è valutare la derivata della funzione $f(x) = x^3 - 9x^2 + 631$ :

$f'(x) = 3x^2 - 18x = 3x(x-6).$

Abbiamo che $f'(x) > 0$ se $x < 0$ oppure $x > 6$ . Quindi la funzione decresce per $0 \leq x \leq 6$ , ed il più grande numero intero $n$ tale che $x_n = f(n) > x_{n+1} = f(n+1)$ è quindi

$\boxcolorato{superiori}{n = 5.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . La figura mostra un quadrato $Q$ di vertici $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(1,1)$ e $(0,1)$ , e la retta $r$ di equazione $y = x + c$ (con $c$ parametro reale). Sia $A(c)$ l’area della regione appartenente a $Q$ e al di sotto di $r$ (cioè l’area della regione colorata).

$\quad$

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Figura 2.

$\quad$

Quale dei seguenti grafici mostra l’andamento qualitativo della funzione $A(c)$ ?

$\quad$

Figura 3.

$\quad$

Svolgimento.

Iniziamo notando che, se $c < -1$ , la regione verde è vuota, quindi $A(c) = 0$ , mentre se $c > 1$ l’area è costante e sempre pari a quella di $Q$ , cioè $A(c) = 1.$

Per $-1 \leq c \leq 0$ , la retta $r$ intercetta la base del quadrato in $x = -c$ e i cateti del triangolo verde misurano $1-|c| = 1+c$ , per cui $A(c) = (1+c)^2/2$ . In particolare, la derivata di $A$ in $c=-1$ vale $A'(-1) = 0$ .

Per $0 \leq c \leq 1$ , si ha invece (per simmetria) $A(c) = 1 - A(-c) = 1 - (1-c)^2/2$ .

La $\fbox{d}$ è esclusa perché $A(c) \ne 0$ per $-1 < c < 0$ . La $\fbox{b}$ e la $\fbox{c}$ sono escluse perché $A'(c) = 0$ per $c = -1$ .

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{a.}$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Siano $f,g,h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ funzioni due volte derivabili che soddisfano le seguenti relazioni:

$f'(x) = g(x+1), \qquad g'(x) = h(x-1).$

Quanto vale $f''(2x)$ in termini della funzione $h$ ?

Svolgimento.

Sfruttando la prima condizione, abbiamo che:

$f''(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}f'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} g(x+1) = g'(x+1).$

Inoltre, data la seconda condizione:

$g'(x+1) = h(x+1-1) = h(x).$

Quindi si conclude che

$\boxcolorato{superiori}{f''(2x) = h(2x).}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri il polinomio così definito:

$P(x) = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left[(2x-1)^4(1-x)^5\right] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[(2x+1)^4(3x^2-2)^2\right].$

Svolgendo il minor numero possibile di calcoli, fornire una stima dall’alto del grado di $P$ .

Svolgimento.

Considerando il polinomio all’interno della prima parentesi quadrata, il monomio di grado massimo è $2^4(-1)^5x^4x^5 = -16x^9$ . Per il polinomio all’interno della seconda parentesi quadrata, il monomio di grado massimo è $2^43^2x^4x^4 = 16\cdot9x^8$ . Tanto il primo polinomio derivato due volte quanto il secondo polinomio derivato una volta sola hanno grado 7. La loro somma avrà pertanto grado 7, a meno che i due monomi in $x^7$ abbiano coefficienti numerici uguali ed opposti, nel qual caso la somma avrà grado strettamente minore di 7.

Derivando due volte il primo addendo, il monomio di grado massimo è dato da $9\cdot8\cdot(-16x^7)$ ; derivando una volta il secondo addendo, il monomio di grado massimo è $8\cdot(16\cdot9x^7)$ . Si vede che questi due termini sono proprio l’uno l’opposto dell’altro, e nella somma si elidono. Il polinomio somma dei due pezzi deve avere pertanto grado strettamente minore di $7$ , da cui

$\boxcolorato{superiori}{\deg P \leq 6.}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Siano $a$ un numero reale arbitrario e $n \geq 2$ un numero intero. Si consideri la funzione

$f(x) = (x+a)^n.$

Quante intersezioni tra i grafici di $f(x)$ e $f'(x)$ esistono?

Svolgimento.

Si ha $f'(x) = n(x+a)^{n-1}$ . Le intersezioni dei due grafici sono date dalle soluzioni dell’equazione $f(x) = f'(x)$ :

$(x+a)^n = n(x+a)^{n-1}.$

Notiamo che $x = -a$ è sempre una soluzione (essendo $n > 1$ ); assumendo invece $x \ne -a$ , possiamo dividere ambo i membri per $(x+a)^{n-1}$ , ottendendo:

$x+a = n \iff x = n - a.$

Si noti che questa soluzione non può mai essere uguale a quella già trovata $x = -a$ . Quindi, il numero delle intersezioni tra i grafici di $f$ e $f'$ è esattamente 2 (che è naturalmente un numero pari), indipendentemente dai valori di $a$ e $n$ . Il risultato è quindi

$\boxcolorato{superiori}{2.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $k$ un parametro reale e si consideri la funzione di variabile reale

$f(x) = 2x^3 - kx^2 + 2x - k.$

Per quali valori di $k$ la funzione $f$ presenta due punti stazionari distinti?

Svolgimento.

La derivata prima di $f$ è

$f'(x) = 6x^2 - 2kx + 2.$

I punti stazionari di $f$ sono quelli in cui $f'$ si annulla. Dato che $f'$ è un polinomio di secondo grado, per avere due punti stazionari distinti è necessario che il discriminante dell’equazione $f'(x) = 0$ sia strettamente positivo, cioè che:

$k^2 - 12 > 0 \iff k < -\sqrt{12} \vee k > \sqrt{12} \iff \boxcolorato{superiori}{k < -2\sqrt{3} \vee k > 2\sqrt{3} .}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Sono date tre funzioni differenziabili $f$ , $g$ e $h$ . Le cinque figure qui sotto mostrano, mescolati in ordine casuale, i grafici delle funzioni $f$ , $g$ , $h$ , $f'$ e $g'$ (l’apice indica la derivata prima). Qual è il grafico della funzione $h$ ?

Svolgimento.

Ricordiamo che gli zeri di una funzione derivata corrispondono ai punti a tangente orizzontale (punti stazionari) del grafico della funzione primitiva.

$\quad$

Il grafico $\fbox{d}$ ha un unico zero, per cui può essere la derivata solo del grafico $\fbox{c}$ (che ha un unico punto stazionario), ma questo può essere escluso perché la funzione $\fbox{d}$ è positiva per $x\to-\infty$ , mentre la curva $\fbox{b}$ è descrescente per $x\to-\infty$ . Quindi $\fbox{d}$ non è la derivata di nessuno degli altri grafici.

Inoltre il grafico $\fbox{d}$ ha due punti stazionari, per cui può essere la primitiva solo del grafico $\fbox{b}$ , ma questo è ancora una volta escluso dal segno: la funzione $\fbox{b}$ è positiva per $x\to-\infty$ , mentre la curva $\fbox{d}$ è descrescente per $x\to-\infty$ .

Quindi, il grafico $\fbox{d}$ non è né la derivata né la primitiva di una delle altre funzioni, quindi deve corrispondere per forza alla funzione $h$ .

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{d.}$

Volendo, con considerazioni analoghe, basate sul numero degl zeri, dei punti stazionari, e degli intervalli di crescenza e positività, si può anche concludere che i grafici $\fbox{c}$ ed $\fbox{e}$ sono le derivate dei grafici $\fbox{b}$ ed $\fbox{a}$ , rispettivamente.

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare il valore positivo che rende minima la somma di un numero diverso da $0$ con il suo reciproco.

Svolgimento.

Occorre trovare i punti di minimo della funzione $f(x)=x+\frac{1}{x}$ , per $x>0$ . La funzione è derivabile nel suo dominio, quindi i punti di massimo e minimo annullano la derivata, ed il suo segno determina la crescenza e decrescenza della funzione. Nell’intervallo $(0,+\infty)$ abbiamo che

$f'(x):=\frac{2x^2-(x^2+1)}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\geq 0 \iff x^2\geq 1 \iff x\geq 1.$

Perciò $x=1$ è un punto di minimo locale per $f$ , che è anche assoluto in $(0,+\infty)$ .

La risposta è quindi

$\\boxcolorato{superiori}{1.}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Per quali valori del parametro reale $k$ questa equazione ha quattro soluzioni reali distinte?

$3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + k = 0.$

Svolgimento.

Non è banale risolvere questa equazione di quarto grado, ma possiamo studiare il segno dei massimi e dei minimi della funzione $f(x) = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + k$ e, da questo, dedurre il numero dei suoi zeri. La derivata prima è:

$f'(x) = 12x^3-48x^2+36x = 12x(x^2-4x+3) = 12x(x-1)(x-3).$

Il segno di $f'$ è determinato da quello dei suoi fattori. Osservando il diagramma qui sotto, concludiamo che $f'(x) > 0$ se $0 < x < 1$ e $x > 3$ .

$\quad$

Figura 4.

$\quad$

Studiamo ora l’andamento di $f$ : tende a $+\infty$ (ed è quindi positiva) per $x \to \pm \infty$ ; decresce su $(-\infty,0)$ e $(1,3)$ mentre cresce su $(0,1)$ e $(3,+\infty)$ . Essendo continua, il numero degli zeri di $f$ dipende dal segno che assume nei suoi punti estremanti, che sono 0, 1 e 3:

$f(0) = k, \qquad f(1) = 5+k, \qquad f(3) = -27+k.$

La funzione $f$ avrà 4 zeri se simultaneamente $f(0) < 0$ , $f(1) > 0$ e $f(3) < 0$ , che si traduce nelle condizioni:

$k < 0 \quad \land \quad 5+k > 0 \quad \land \quad -27+k < 0 \implies \boxcolorato{superiori}{ -5 < k < 0.}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $k$ un parametro reale, e si consideri la cubica:

$y = kx^3 - (k+1)x^2 + (2-k)x - k.$

Per quali valori di $k$ la cubica ha un punto di minimo per $x = 1$ ?

Svolgimento.

derivabile definita su tutto $\mathbb{R}$ , e quindi i suoi punti di minimo devono essere punti stazionari. La derivata di $f$ rispetto ad $x$ è data da:

$f'(x) = 3kx^2 - 2(k+1)x + 2-k.$

In particolare, si ha $f'(1) = 3k - 2k-2 + 2-k = 0$ per ogni valore di $k$ . Il punto $x = 1$ è quindi sempre un punto stazionario della cubica. Per stabilire in quali casi è un minimo, consideriamo il segno della derivata seconda:

$f''(x) = 6kx - 2(k+1).$

In particolare, $f''(1) = 4k-2$ , che è positiva se e solo se $k > 1/2$ . Dunque $x = 1$ è un punto di minimo (relativo) per $k > 1/2$ e di massimo relativo per $k<1/2$ .

Se $k = 1/2$ , si ha $f''(1) = 0$ e quindi il test della derivata seconda è inconcludente: dobbiamo considerare questo caso a parte. Notiamo che, per $k = 1/2$ , $f'(x) = (3/2)x^2-3x+3/2 = 3(x-1)^2/2$ non è mai negativa. Per $k = 1/2$ la funzione è quindi sempre crescente (con un flesso a tangente orizzontale in $x = 1$ , che non è quindi un punto di minimo).

La riposta è quindi che $x=1$ è un punto di minimo relativo se e solo se

$\boxcolorato{superiori}{k>\frac{1}{2}.}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Siano $a$ e $b$ interi positivi tali che:

$a+b = 20.$

Qual è il massimo valore che può assumere la quantità $Q = a^2b$ ?

Svolgimento.

$Q = a^2(20-a).$

Possiamo cercare massimi e minimi della funzione $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definita come $Q$ , cioè $f(x) = x^2(20-x)$ , la cui derivata prima è:

$f'(x) = -3x^2 + 40x.$

La derivata si annulla per $x = 0$ e $x = 40/3 = 13 + 1/3$ . Si verifica facilmente che $x = 40/3$ corrisponde ad un punto di massimo: la funzione cresce per $0 \leq x \leq 40/3$ e decresce per $x \geq 40/3$ . I possibili valori interi di $x$ che massimizzano $Q$ sono pertanto $a = 13$ e $a = 14$ . Calcolando esplicitamente, si ha $Q(13) = 1183 > Q(14) = 1176$ . Il massimo valore per $Q$ è quindi

$\boxcolorato{superiori}{1183.}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia data la funzione $f$ : $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ :

$f(x) = x^2 - 5x + 7.$

Quali sono le coordinate del punto di minimo della funzione $y = f(x-2)$ ?

Svolgimento.

Una soluzione di tipo classico è studiare il segno della derivata della funzione $y(x)$ :

$y'(x)= f'(x-2)\cdot (x-2)' = 2(x-2)-5 = 2x-9>0 \iff x > \frac{9}{2},$

dove la prima uguaglianza segue dalla regola della derivazione delle funzioni composte. Dunque il punto $x=\frac{9}{2}$ è di minimo per $y$ e si ha

$y\left ( \frac{9}{2}\right ) = f\left (\frac{9}{2}-2\right) = f\left (\frac{5}{2}\right ) = \left (\frac{5}{2}\right )^2 - 5\left (\frac{5}{2}\right ) + 7 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 7 = \frac{3}{4}.$

Ne segue che le coordinate del punto di minimo per $y$ sono

$\boxcolorato{superiori}{\left(\frac{9}{2},\frac{3}{4}\right).}$

Alternativamente, l’esercizio può essere risolto senza l’uso delle derivate, osservando che la funzione $f$ è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto. Sfruttando la tecnica del completamente del quadrato, possiamo riscrivere la sua equazione come:

$f(x) = x^2 - 2\frac{5}{2}x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} + 7 = \left(x-\frac{5}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}.$

In questo modo, riconosciamo le coordinate del vertice $V$ di $f$ , che è anche il suo punto di minimo assoluto:

$V = \left(\frac{5}{2},\frac{3}{4}\right).$

Il grafico di $f(x-2)$ si ottiene traslando orizzontalmente di 2 unità il grafico di $f(x)$ verso la direzione positiva delle ascisse. Il punto di minimo della parabola $f(x-2)$ è quindi:

$\boxcolorato{superiori}{\left(\frac{9}{2},\frac{3}{4}\right).}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Due triangoli $S$ e $T$ , di aree rispettivamente pari a $s$ e $t$ (con $s < t$ ), hanno un lato in comune e sono iscritti nella medesima circonferenza, come mostrato in figura:

$\quad$

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$\quad$

Si determini il più piccolo valore possibile che può assumere la quantità:

$Q = \frac{4s^2+t^2}{5st}.$

Svolgimento.

Notiamo che per ipotesi $0 < s < t$ , per cui, posto $x = s/t$ , vale $0 < x < 1$ . Possiamo ora riscrivere:

$Q = \frac{4s^2+t^2}{5st} = \frac{t^2}{t^2}\frac{4(s/t)^2+1}{5(s/t)} = \frac{4x^2+1}{5x}.$

Per trovare il minimo di $Q$ , calcoliamo la derivata:

$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{5}\frac{8x\cdot x-(4x^2+1)\cdot1}{x^2} = \frac{1}{5}\frac{4x^2-1}{x^2}.$

Ricordando che $0 < x < 1$ , la derivata prima di $Q$ è positiva se $4x^2-1 > 0$ , cioè $1/2 < x < 1$ . La funzione $Q$ decresce per $0 < x \leq 1/2$ e cresce per $1/2 \leq x < 1$ . Il valore minimo si ha quindi per $x = 1/2$ . Sostituendo nell’espressione di $Q$ , troviamo:

$\boxcolorato{superiori}{Q_\mathrm{min} = \frac{4\cdot(1/2)^2+1}{5\cdot1/2} = \frac{4}{5}.}$

Presentiamo anche un metodo alternativo: osserviamo che se $X$ , $Y$ sono due numeri reali qualsiasi, vale naturalmente:

$(X-Y)^2 \geq 0 \iff X^2 + Y^2 \geq 2XY.$

In particolare, la relazione è un’uguaglianza se e solo se $X = Y$ . Poniamo ora $X = 2s$ , $Y=t$ , e quindi (dato che $XY > 0$ ):

$Q = \frac{2}{5} \frac{(2s)^2+t^2}{(2s)t} = \frac{2}{5} \frac{X^2+Y^2}{XY} \geq \frac{4}{5}.$

In particolare, si ha $Q = 4/5$ se $t = 2s$ .

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Al variare del numero reale $\vartheta$ , determinare il massimo valore assunto dalla quantità:

$f(\vartheta) = 3\cos^2\vartheta + 2\sin\vartheta + 1.$

Svolgimento.

Una soluzione consiste nello studiare gli zeri della derivata prima della funzione $f(x)= 3\cos^2 \vartheta + 2 \sin \vartheta + 1.$

La funzione $f$ è derivabile e definita su un dominio aperto, per cui tutti i suoi massimi sono punti stazionari. La derivata $f'$ si annulla se:

$f'(\vartheta) = -6\cos\vartheta\,\sin\vartheta + 2\cos\vartheta = 2\cos\vartheta\,(1-3\sin\vartheta) = 0.$

I punti stazionari sono quindi tali che $\cos\vartheta = 0$ oppure $\sin\vartheta = 1/3$ . Per stabilire quali sono massimi, è sufficiente calcolare $f$ per questi valori:

(1) $\begin{equation*} \cos\vartheta = 0 & \sin\vartheta = \pm1 & f(\vartheta) = 0 \pm 2 + 2 = 2 \pm 2; \\[2.5pt] \sin\vartheta = \dfrac{1}{3} & \cos^2\vartheta = \dfrac{8}{9} & f(\vartheta) = 3\cdot\dfrac{8}{9} + 2\cdot\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{13}{3}. \end{equation*}$

Dato che $2\pm 2 \leq 4$ , si conclude che il valore massimo di $f$ è

$\\boxcolorato{superiori}{\frac{13}{3}.}$

Una soluzione alternativa si può ottenere usando l’identità trigonometrica fondamentale, e sfruttando la tecnica del completamento del quadrato; in tal modo riscrivamo la nostra espressione nel seguente modo:

$\begin{aligned} 3\cos^2\vartheta + 2\sin\vartheta + 1 & = 3 - 3\sin^2\vartheta + 2\sin\vartheta + 1 = \\ & = 4 - 3\left(\sin\vartheta-\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} = \\ & = \frac{13}{3} - 3\left(\sin\vartheta-\frac{1}{3}\right)^2. \end{aligned}$

Scritto in questo modo, si vede immediatamente che il valore massimo dell’espressione è

$\boxcolorato{superiori}{\frac{13}{3}}$

e che questo viene raggiunto ogniqualvolta il termine tra parentesi tonde si annulla (cioè quando $\sin\vartheta = 1/3$ ).

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Qual è il valore minimo della funzione:

$f(x) = 2x^3-9x^2+12x+3$

nell’intervallo $0 \leq x \leq 2$ ?

Svolgimento.

Essendo la funzione $f$ continua su un intervallo compatto, per il teorema di Weierstrass ammette senz’altro minimo assoluto. Questo minimo può trovarsi o in corrispondenza di uno degli estremi dell’intervallo, oppure può essere un punto interno stazionario (tale cioè che $f'(x) = 0$ ). Iniziamo dunque a calcolare la derivata di $f$ e a studiarne il segno:

$f'(x) = 6x^2 -18x+12 = 6(x^2-3x+2).$

Tale espressione è positiva se e solo se $x < 1$ o $x > 2$ . La funzione $f$ è quindi crescente nell’intervallo $[0,1]$ mentre è decrescente in $[1,2]$ . I punti $x = 1$ e $x = 2$ sono dunque di massimo e minimo relativi, rispettivamente.

Ora che conosciamo gli intervalli di monotonia di $f$ , è facile stabilire il suo minimo assoluto sull’intervallo richiesto. Con riferimento allo schema qui sotto, e dato che $f(0) = 3$ e $f(2) = 7$ , si conclude che il minimo di $f$ sull’intervallo $[0,2]$ è pari a

$\boxcolorato{superiori}{3.}$

$\quad$

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Figura 5.

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