Esercizi per la maturità: Algebra

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Autori e revisori

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Autori: Daniele Bjørn Malesani, Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Federico Fallucca.

Introduzione

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In questo articolo proponiamo una serie di 124 esercizi di ripasso per la maturità sugli argomenti di algebra del primo biennio della scuola superiore. L’algebra, intesa come il calcolo coinvolgente espressioni con polinomi, i loro quozienti e i radicali, costituisce una base essenziale da padroneggiare in vista dell’esame di maturità.

In questo articolo proponiamo numerosi esercizi che coprono tutto il programma di algebra dei primi anni della scuola superiore, in modo che lo studente in preparazione dell’esame di maturità possa testare la sua preparazione ed eventualmente approfondire gli argomenti su cui si sente meno sicuro. Gli esercizi sono a grandi linee suddivisi per argomento e sono completamente risolti, così da offrire al lettore la massima efficienza nella sua preparazione.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Qual è il massimo numero intero che divide il prodotto di ogni cinquina di numeri interi consecutivi?

Svolgimento.

Consideriamo la prima cinquina:

$1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5.$

Abbiamo quindi che tale numero non può superare $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$ . D’altronde in ogni cinquina di numeri consecutivi vi deve essere un numero multiplo di $5$ dato che sono spaziati proprio di $5$ in $5$ . In modo analogo, tra i cinque numeri ci deve essere almeno un multiplo di $3$ , un multiplo di $4$ , e infine un multiplo di $2$ ma non di $4$ . Dunque il loro prodotto è divisibile per $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120$ . La risposta è dunque

$\boxcolorato{superiori}{120.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare la somma dei primi $157$ numeri naturali consecutivi maggiori di $100$ .

Svolgimento.

Carl Friedrich Gauss trovò una formula per calcolare la somma $S(n)$ dei primi $n$ numeri consecutivi:

$S(n)=\frac{n(n+1)}{2}.$

Essa si giustifica riarrangiando il doppio della somma cercata, formando $n$ addendi ciascuno dal valore di $n+1$ :

$2S(n) = (1+n)+\big(2+(n-1)\big) + \dots +\big((n-1)+2\big) + (n+1) = n \cdot (n+1).$

Calcolare la somma dei numeri da $101$ a $257$ equivale a calcolare la differenza fra la somma dei primi $257$ numeri e la somma dei primi $100$ numeri:

$S(257)- S(100)=\frac{257\cdot 258}{2}-\frac{101\cdot 100}{2}=129\cdot 257-101\cdot 50=28103.$

Il valore richiesto è dunque

$\boxcolorato{superiori}{28103.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare il massimo comune divisore ed il minimo comune multiplo tra i numeri $12, 40, 60, 120$ .

Svolgimento.

Tali numeri si scompogono in fattori rispettivamente come segue:

$2^2\cdot 3 \qquad 2^3\cdot 5 \qquad 2^2\cdot 3 \cdot 5 \qquad 2^3\cdot 3 \cdot 5.$

Quindi il massimo comune divisore è $2^2=4$ e il minimo comune multiplo è $2^3\cdot 3 \cdot 5=120$ .

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale tra i seguenti numeri non è primo?

$\quad$

2713;

4591;

743;

937;

639.

Svolgimento.

Ricordiamo che un numero è divisibile per $3$ solo se la somma delle sue cifre è divisibile per $3$ . Ci si può convincere di questo scrivendo un numero $n=x_kx_{k-1}\cdots x_0$ , dove $x_i$ indicano le sue cifre decimali:

$n=x_k 10^k+\cdots + x_{1}10+x_0.$

Il numero $10$ si può scrivere come $3\cdot 3+1$ , e in generale il numero $10^k$ si può scrivere come $(3\cdot 3+1)^k=3t_k+1$ per un qualche numero intero $t_k$ dipendente da $k$ . Quindi il numero $n$ può essere scritto come

$n=x_k 10^k+\cdots + x_{1}10+x_0=3(t_kx_k+\dots +3x_1)+(x_k+\dots +x_1).$

Da qui si deduce che $n$ è divisibile per $3$ solo se anche la somma delle sue cifre $x_k+\dots +x_1$ è divisibile per $3$ .

Nel caso del quesito, osserviamo che la somma delle cifre di $639$ è $18$ , che è divisibile per $3$ . Quindi $639$ è divisibile per $3$ e non è un numero primo. La risposta corretta è quindi la

$\boxcolorato{superiori}{\text{E).}}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Provare che il numero $3261531$ in base $7$ è divisibile per $3$ .

Svolgimento.

Dato che $7$ è congruo a $1$ modulo $3$ , cioè $7$ diviso $3$ ha resto di $1$ , allora ogni numero in base $7$ è divisibile per $3$ semplicemente se la somma delle sue cifre è divisibile per $3$ . Infatti, se un numero $n$ in base $7$ è rappresentato dalle cifre $x_kx_{k-1}\cdots x_0$ , ovvero

$n= x_k7^k+x_{k-1}7^{k-1}+\cdots + x_0,$

allora visto che $7^j=3t_j+1$ per un certo numero intero $t_j$ dipendente da $j$ , si ha

$n=x_k7^k+x_{k-1}7^{k-1}+\cdots + x_0=3(t_kx_k+t_{k-1}x_{k-1}+\cdots 2x_1)+(x_k+x_{k-1}+\cdots x_0).$

Da qui si deduce facilmente che $n$ è divisibile per $3$ solo se la somma $x_k+x_{k-1}+\dots + x_0$ è divisibile per $3$ .

Nel nostro caso specifico abbiamo

$3+2+6+1+5+3+1=21,$

che è divisibile per $3$ .

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Ordinare in maniera crescente i numeri $3^{12}$ , $122^3$ , $2^{15}$ .

Svolgimento.

Osserviamo che

$122^3 > 81^3 = (3^4)^3=3^{12}$

e che

$3^{12} =(3^2)^6 =9^6 > 8^6 =(2^3)^6 = 2^{18} > 2^{15}.$

Da ciò segue che l’ordinamento crescente dei numeri in esame è

$\boxcolorato{superiori}{2^{15} < 3^{12} < 122^3.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Dire per quali numeri interi positivi $\alpha$ e $\beta$ esiste $\gamma$ non multiplo di $\beta$ tale che $\alpha \gamma$ è multiplo di $\beta$ .

Svolgimento.

L’affermazione “esiste $\gamma$ non multiplo di $\beta$ tale che $\alpha \gamma$ è multiplo di $\beta$ ” implica che deve esistere un fattore primo $p$ di $\beta$ tale che $\beta$ è divisibile per $p^k$ , per qualche $k \in \mathbb{N}$ e $\gamma$ non lo sia. Dato che è richiesto che il prodotto $\alpha \gamma$ sia invece multiplo di $\beta$ e quindi divisibile per $p^k$ , ne segue che $\alpha$ deve essere divisibile per $p$ . Quindi $\alpha$ e $\beta$ non sono primi tra loro.

Viceversa, se $\alpha$ e $\beta$ non sono coprimi, sia $d>1$ il loro massimo comune divisore. Allora $\gamma=\frac{\beta}{d}$ soddisfa la richiesta del problema, in quanto esso non è multiplo di $\beta$ e, da $\alpha=c\cdot d$ si ha

$\alpha \gamma = c \cdot d \cdot \frac{\beta}{d}=c \cdot \beta.$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Per quanti numeri interi positivi $n$ , la potenza $13^n$ è un numero con meno di 13 cifre?

$\quad$

Uno;

Due;

Tre;

Più di tre;

Più di tre, ma comunque un numero finito.

Svolgimento.

Si ha $13^n>10^n$ , che ha 13 cifre se $n = 12$ , quindi il numero degli interi cercati è al massimo pari a $11$ . D’altra parte esso è almeno pari a $9$ in quanto

$13^n<20^n = 2^n 10^n,$

che ha $12$ cifre se $n=9$ . La risposta corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{E).}}$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Sia $\mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N})$ l’insieme delle parti finite di $\mathbb{N}$ , ossia l’insieme dei sottoinsiemi finiti di $\mathbb{N}$ . Si provi che $\mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N})$ è un insieme numerabile, ossia che esiste una funzione $f:\mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N})\to\mathbb{N}$ iniettiva.

Possono essere dati per buoni i seguenti risultati:

$\quad$

(Cantor) Se $A$ e $B$ sono insiemi numerabili, lo è anche $A\times B$ ;

(Cantor-Bernstein) Se esiste una funzione iniettiva da $A$ in $B$ e una funzione iniettiva da $B$ in $A$ , esiste una funzione biunivoca tra $A$ e $B$ .

Svolgimento.

È evidente che esista una funzione iniettiva da $\mathbb{N}$ in $\mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N})$ , ad esempio quella che manda $n$ in $\{n\}$ . Meno evidente è l’esistenza di una funzione iniettiva da $\mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N})$ in $\mathbb{N}$ . Sia $\{p_0,p_1,p_2,p_3,p_4,\ldots\} = \{2,3,5,7,11,\ldots\}$ l’insieme dei numeri primi. L’applicazione $f:\mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N})\to\mathbb{N}$ che manda l’insieme $A=\{a,b,c,\ldots,z\}\subsetneq\mathbb{N}$ in

$p_a\cdot p_b\cdot p_c \cdot \ldots \cdot p_z$

, è iniettiva per il Teorema fondamentale dell’Aritmetica. Dal Teorema di Cantor-Bernstein segue che $\mathbb{N}$ e $\mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N})$ sono in corrispondenza biunivoca, dunque $\mathcal{P}_{fin}(\mathbb{N})$ è un insieme numerabile.

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Il numero di quattro cifre 2652 è tale che ogni sequenza di due cifre consecutive è un multiplo di 13. Un altro numero $N$ gode della stessa proprietà, ha una lunghezza di 100 cifre, e inizia con un 9. Qual è l’ultima cifra di $N$ ?

Svolgimento.

Limitandoci ai multipli di due cifre di 13, notiamo che 91, 13 e 39 sono le uniche possibilità che iniziano con 9, 1 e 3, rispettivamente. Le cifre del numero $N$ devono pertanto essere 9, 1, 3 in sequenza, ciclicamente. Dato che $100 = 33\times3 + 1$ ( $100 \equiv 1 \mod{3}$ ), la sequenza si ripete 33 volte completa, seguita da una cifra singola che deve essere 9.

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si sa che la disuguaglianza

$(n+1) + (n^4+2) + (n^9+3) + (n^{16}+4) + \cdots + (n^{10000} + 100) > k$

è valida per ogni $n \geq 1$ intero. Cosa possiamo concludere su $k$ ?

Svolgimento.

Ciascun addendo della somma nel membro di sinistra è una funzione crescente di $n$ , e quindi lo è a maggior ragione l’intera somma. Affinché la disuguaglianza rimanga valida per ogni $n$ , $k$ deve pertanto rispettare il vincolo per il più piccolo valore possibile di $n$ , cioè $n = 1$ . Sostituendo $n=1$ nella condizione, si ha:

(1) $\begin{equation*} \begin{split} (1+1) + (1^4+2) + (1^9+3) + \cdots + (1^{100^2} + 100) &= \underbrace{1+1+1+1+\cdots+1}_{\text{100 volte}} + \sum_{i=1}^{100}i \\ &= 100 + \frac{100\times101}{2} \\ &= 5150. \end{split} \end{equation*}$

Abbiamo utilizzato la formula che restituisce la somma dei primi $N$ numeri interi:

$\sum_{i=1}^{N} i = \frac{N(N+1)}{2}.$

Ne segue che la risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{k \leq 5150.}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si consideri la seguente funzione definita per ogni intero non negativo $n$ :

$S(n) = \text{somma delle cifre di $n$ (in base 10).}$

Per esempio, $S(125) = 1+2+5 = 8$ . Si calcoli il valore della somma:

$\sum\limits_{n=1}^{99} S(n) = S(1)+S(2)+\cdots+S(98)+S(99).$

Svolgimento.

Chiamiamo per brevità $S_\textrm{0-9} = S(0)+S(1)+S(2)+\cdots+S(9)$ . $S_\textrm{0-9}$ si può calcolare meccanicamente oppure usando la formula per la somma della progressione aritmetica:

$S_\textrm{0-9} = \frac{9(9+1)}{2} = 45.$

Considerando tutti gli interi appartenenti ad una certa decina, per esempio $20, 21, \ldots, 29$ , abbiamo:

$S(20)+S(21)+\cdots+S(29) = (2+0)+(2+1)+(2+2)+\cdots+(2+9) = 2\cdot10 + S_\textrm{0-9}.$

Lo stesso avviene per tutte le altre decine, per cui:

(2) $\begin{equation*} \begin{split} \phantom{=} {} & S(1)+S(2)+\cdots+S(98)+S(99) = \\ = {} & (0 + S_\textrm{0-9}) + (1\cdot10 + S_\textrm{0-9}) + (2\cdot10 + S_\textrm{0-9}) + \cdots + (9\cdot10 + S_\textrm{0-9}) = \\ = {} & (1+2+\cdots+9)\cdot10 + 10 S_\textrm{0-9} = \\ = {} & 20S_\textrm{0-9} = 900. \end{split} \end{equation*}$

Un modo alternativo per visualizzare questo risultato è disporre i numeri tra 0 e 99 nella seguente tabella, scrivendo in ogni riga una decina diversa:

$\quad$

$\begin{array}{|rrrrrrrrrr|} \hline 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 \\ 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & 29 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 80 & 81 & 82 & 83 & 84 & 85 & 86 & 87 & 88 & 89 \\ 90 & 91 & 92 & 93 & 94 & 95 & 96 & 97 & 98 & 99 \\ \hline \end{array}$

$\quad$

In ciascuna riga, la somma delle cifre delle unità è uguale a $S_\textrm{0-9}$ . In ogni colonna, la somma delle cifre delle decineè anch’essa uguale a $S_\textrm{0-9}$ . Dato che ci sono 10 righe e 10 colonne, la somma di tutte le cifre presenti nella tabella è quindi pari a:

$10\cdot S_\textrm{0-9} + 10\cdot S_\textrm{0-9} = 20\cdot45 = 900.$

La risposta è dunque

$\boxcolorato{superiori}{\sum_{n=1}^{99}S(n)=900.}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Qual è il più piccolo numero intero $n$ tale che:

$S(n) = 1-2+3-4+5+\cdots+(-1)^{n+1}n = \sum_{j=1}^n (-1)^{j+1}j \geq 100?$

Svolgimento.

Per capire l’andamento di $S(n)$ , calcoliamo quanto fa per i primi valori di $n$ :

$\begin{array}{l}S(1) = +1; \\ S(2) = 1-2 = -1; \\ S(3) = 1-2+3 = +2; \\ S(4) = 1-2+3-4 = -2; \\ S(5) = 1-2+3-4+5 = +3; \\ \ldots \end{array}$

Vediamo che i segni si alternano e il valore assoluto cresce di 1 ogni 2 passi. Possiamo condensare questa osservazione nella seguente ipotesi:

(3) $\begin{equation*} S(n) = \begin{cases}-\dfrac{n}{2} & \text{se $n$ è pari;} \\ \dfrac{n+1}{2} & \text{se $n$ è dispari.}\end{cases} \end{equation*}$

Stabilito questo, è facile vedere che il più piccolo intero tale che $S(n) \geq 100$ deve essere dispari (in modo che $S$ sia positiva) e deve quindi soddisfare:

$\frac{n+1}{2} \geq 100 \implies n \geq 199.$

Resta da dimostrare la (3), che al momento è solo una congettura. Si può procedere usando il principio di induzione.

$\quad$

L’affermazione è vera per $n=1$ (che è dispari), dato che la (3) restituisce $(1+1)/2 = 1 = S(1)$ .

Ora, supposto che la (3) sia vera per $n = k$ , dimostriamola per $n = k+1$ . Innanzitutto notiamo che per ogni $k > 1$ vale:
(4) $\begin{equation*} \begin{split} S(k+1) = {} & \sum_{j=1}^{k+1} (-1)^{j+1}j = \sum_{j=1}^{k} (-1)^{j+1}j + (-1)^{k+2}(k+1) = \\ = {} & S(k) + (-1)^{k+2}(k+1). \end{split} \end{equation*}$

Utilizzando questa formula, e l’ipotesi di induzione $(\star)$ per $n = k$ :

(5) $\begin{equation*} \begin{split} \text{$k$ pari} \implies S(k+1) = -\dfrac{k}{2}+k+1 = \dfrac{(k+1)+1}{2}; \\ \text{$k$ dispari} \implies S(k+1) = \dfrac{k+1}{2}-k-1 = -\dfrac{(k+1)}{2}. \end{split} \end{equation*}$

L’espressione ritrovata corrisponde proprio alla (3) per $n = k+1$ .

La risposta è dunque

$\boxcolorato{superiori}{n=199.}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $N = 2^k \times 4^m \times 8^n$ , dove $k$ , $m$ e $n$ sono numeri interi positivi. Quale condizione su $k$ , $m$ e $n$ assicura che $N$ sia un quadrato perfetto?

Svolgimento.

Basta usare le proprietà delle potenze. Riscriviamo $N$ nel seguente modo:

$N = 2^k \cdot 4^m \cdot 8^n = 2^k\cdot 2^{2m}\cdot 2^{3n} = 2^{2m+2n}\cdot 2^{k+n}.$

Il primo fattore $2^{2m+2n}$ è il quadrato di $2^{m+n}$ . Il secondo fattore è un quadrato perfetto se e solo se

$\boxcolorato{superiori}{\text{$k+n$ è pari.}}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ .

Si scelga un numero intero arbitrario $n$ .

Gli si aggiunga 1.

Si elevi al quadrato il risultato.

Si moltiplichi il numero ottenuto per 4.

Si sottragga 3 a questo valore.

Quanto può valere il resto della divisione tra questo numero e $3$ ?

Svolgimento.

Il risultato $m$ delle operazioni descritte nel testo è:

$m = 4(n+1)^2-3.$

In base al resto della divisione per 3, si hanno 3 casi per $n$ : $n = 3j$ , $n = 3j+1$ , $n = 3j-1$ (con $j$ intero opportuno). Si ha:

(6) $\begin{equation*} \begin{split} n = 3j & \implies m = 4(3j+1)^2 - 3 = 3(12j^2+8j) + 1; \\ n = 3j+1 & \implies m = 4(3j+2)^2 - 3 = 3(12j^2+16j+4) + 1; \\ n = 3j-1 & \implies m = 4(3j)^2 - 3 = 3(12j^2-1). \end{split} \end{equation*}$

Si vede che si può ottenere solo un multiplo di $3$ , oppure un multiplo di $3$ aumentato di uno. Ne segue che i resti possibili sono

$\boxcolorato{superiori}{0,\quad 1.}$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $n > 1$ un numero intero. Definiamo le seguenti funzioni:

$\quad$

$\Pi(n)$ restituisce il numero di fattori primi distinti di $n$ ;

$\Lambda(n)$ restituisce l’ultima cifra della rappresentazione decimale di $n$ .

Quale delle seguenti affermazioni è falsa? Nel seguito, si considera che i possibili valori di $\Lambda$ sono gli interi compresi tra 0 e 9 inclusi.

$\quad$

Se $\Pi(n)=1$ , esistono valori di $\Lambda(n)$ per cui $n$ non è mai primo.

Se $\Pi(n)=1$ , esistono valori di $\Lambda(n)$ per cui $n$ è necessariamente primo.

Se $\Pi(n)=1$ , non si possono ottenere tutti i possibili valori di $\Lambda(n)$ .

Se $\Pi(n) + \Lambda(n) = 2$ , non si può concludere se $n$ sia primo o meno.

Se $\Pi(n)=2$ , si possono ottenere tutti i valori possibili di $\Lambda(n)$ .

Svolgimento.

Per familiarizzare con $\Pi$ e $\Lambda$ , ecco qualche esempio: $\Pi(6) = \Pi(2\cdot3) = 2$ , $\Pi(8) = \Pi(2^3) = 1$ , $\Pi(12) = \Pi(2^2\cdot3) = 2$ ; $\Lambda(5) = 5$ , $\Lambda(42) = 2$ , $\Lambda(100) = 0$ .

Valutiamo ora la correttezza delle varie opzioni una ad una.

Notiamo che, se $\Pi(n) = 1$ , devono esistere un numero primo $p$ ed un intero positivo $k$ tali che $n = p^k$ .

$\quad$

Questa affermazione è vera. Se $\Lambda(n) = 4$ , 6, oppure 8, allora $n$ è pari, e ha 2 come fattore primo. Dato che $\Pi(n) = 1$ per ipotesi, 2 è il solo fattore primo, quindi $n$ deve essere della forma $2^k$ , che è primo solo se $k=1$ , nel qual caso sarebbe però $\Lambda(n) = 2$ . Quindi $n$ non è primo.

Questa è l’affermazione falsa. Sia $n$ tale che $\Pi(n) = 1$ . In primo luogo, notiamo che questo implica che $\Lambda(n) \ne 0$ , perché se $\Lambda(n) =0$ allora $n$ è divisibile per 10, quindi sia per 2 che per 5, cioè $\Pi(n) \geq 2$ . Se $k$ è una cifra diversa da 0, mostriamo caso per caso che esiste sempre un numero composto $n$ tale che $\Pi(n) = 1$ e $\Lambda(n) = k$ .
$\quad$

$\begin{array}{l|lllllllll} \hline n: & 81 & 32 & 243 & 4 & 25 & 16 & 27 & 8 & 9 \\ \text{fattori:} & 3^4 & 2^5 & 3^5 & 2^2 & 5^2 & 2^4 & 3^3 & 2^3 & 3^2 \\ \hline \Lambda(n): & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline \end{array}$

$\quad$

Questa affermazione è vera. Come discusso al punto precedente, se $\Lambda(n) = 0$ , si ha $\Pi(n) \geq 2$ .

Questa affermazione è vera. Come esempio, se $n = 11$ (primo) oppure $n = 121 = 11^2$ (composto), in entrambi i casi si ha $\Pi(n) = 1$ e $\Lambda(n) = 1$ , da cui $\Pi(n)+\Lambda(n) = 2$ .

Mostriamo caso per caso che questa affermazione è vera. Per ogni cifra $k = 0, \ldots, 9$ , è possibile trovare un intero $n$ tale che $\Pi(n) = 2$ e $\Lambda(n) = k$ .
$\quad$

$\begin{array}{l|llllllllll} \hline n: & 21 & 12 & 33 & 14 & 15 & 6 & 57 & 18 & 39 & 10 \\ \text{fattori:} & 3\cdot 7 & 3\cdot 4 & 3\cdot 11 & 2\cdot 7 & 3\cdot 5 & 3\cdot 2 & 3\cdot 19 & 2\cdot 9 & 3\cdot 13 & 2\cdot 5 \\ \hline \Lambda(n): & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 0 \\ \hline \end{array}$

$\quad$

La risposta è quindi la

$\boxcolorato{superiori}{2.}$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $N$ il prodotto tra un quadrato perfetto ed un un cubo perfetto. Quali tra le seguenti affermazioni sono corrette?

$\quad$

$N$ è sempre un quadrato perfetto, ma non è mai un cubo perfetto.

$N$ è sempre un cubo perfetto, ma non è mai un quadrato perfetto.

È possibile che $N$ sia un quadrato perfetto ed è possibile che $N$ sia un cubo perfetto.

$N$ non è mai un quadrato perfetto né un cubo perfetto.

$N$ è sempre sia un cubo perfetto che un quadrato perfetto.

Svolgimento.

Siano $x$ ed $y$ due numeri interi, e $N = x^2y^3$ . Proviamo con un paio di esempi.

$\quad$

Per $x = 1$ e $y = 1$ , si ha $Q = 1$ , che è sia un quadrato perfetto che un cubo perfetto.

Per $x = 3$ e $y = 2$ , si ha $Q = 9\times8 = 72$ , che non è né un cubo perfetto né un quadrato perfetto.

Questi due esempi mostrano che tutte le opzioni presentate nel quesito, esclusa la terza, sono false. La risposta è quindi che l’unica affermazione corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{3.}}$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Per quale delle seguenti affermazioni il fatto che $6 \times 7 = 42$ costituisce un controesempio?

$\quad$

Il prodotto di due numeri dispari è sempre dispari.

Se il prodotto di due numeri interi non è multiplo di 4, allora i due numeri non possono essere consecutivi.

Se il prodotto di due interi è un multiplo di 4, allora i due interi non possono essere consecutivi.

Ogni numero pari può essere scritto come il prodotto di due numeri pari.

Svolgimento.

Occorre solo leggere con attenzione le affermazioni, e verificare qual è quella corretta.

$\quad$

Dato che 6 e 7 non sono entrambi numeri dispari, il fatto che $6\times 7 = 42$ non ha implicazioni per questa affermazione (che è peraltro vera).

Dato che 42 non è un multiplo di 4, e 6 e 7 sono interi consecutivi, il fatto che $6\times 7 = 42$ costituisce un controesempio per questa affermazione, mostrando che è falsa.

Dato che 42 non è un multiplo di 4, il fatto che $6\times 7 = 42$ non ha implicazioni per questa affermazione (che è peraltro falsa).

Qui si afferma che un numero pari può essere scritto come il prodotto di due numeri pari, non che deve esserlo. Di principio, potrebbero infatti esistere altre fattorizzazioni di 42 composte da due numeri pari (in realtà non esistono, e questa affermazione è. falsa, ma il fatto che $6\times7 = 42$ non costituisce un controesempio).

La risposta corretta è dunque la

$\boxcolorato{superiori}{\text{2.}}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Disporre in ordine crescente i seguenti numeri:

$x=0,7, \quad y=\frac{12}{17}, \quad z=\ln 4, \quad t=\sqrt{e}.$

Svolgimento.

Dato che $e \approx 2,71$ si ha

$x,y <1 < \ln 4, \sqrt{e},$

dunque rimangono da confrontare solo gli elementi delle coppie $x,y$ e $\ln 4, \sqrt{e}$ . Per $x, y$ si ha

$x=0,7=\frac{7}{10}>\frac{12}{17} \iff 119=17\cdot 7>12\cdot 10=120,$

che è falso, quindi $x<y$ . Per la coppia $z,t$ , grazie alla monotonia della potenza con base $e$ , si ha

(7) $\begin{equation*} \sqrt{e}> \ln 4 \iff e^{\sqrt{e}} > e^{\ln 4} = 4. \end{equation*}$

Dalla stima $e> \frac{8}{3}$ segue $\sqrt{e}>\frac{2\sqrt{6}}{3}> \frac{3}{2}$ e quindi

(8) $\begin{equation*} e^{\sqrt{e}} > e^{\frac{3}{2}} = e\cdot \sqrt{e} > \frac{8}{3} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{16 \sqrt{6}}{9} > 4, \end{equation*}$

dove l’ultima disuguaglianza segue da $\left (\frac{4 \sqrt{6}}{9} \right )^2=\frac{16 \cdot 6}{81} > 1$ . Si deduce quindi $z < t$ e pertanto l’ordinamento corretto dei numeri in esame è

$\boxcolorato{superiori}{x<y<z<t.}$

Esercizio 20 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un hotel chiede 40 euro a notte per le prime $15$ notti, se si sceglie un pacchetto di pernottamenti di più di $15$ notti. Inoltre, per ogni notte successiva alla $15$ -esima, si applica uno sconto ulteriore del $23%$ . Quanto costa in totale il pernottamento se si prenotano 52 notti?

Svolgimento.

Ciascuna delle prime $15$ notti costa $40$ euro, per un totale di $15\cdot 40=600$ euro. Invece ciascuna delle $52-15=37$ notti restanti costerà $40-40\frac{23}{100}=\frac{2\cdot 77}{5}$ euro. Quindi il totale speso è di

$\boxcolorato{superiori}{600+ 37\cdot \frac{2\cdot 77}{5}=1739,6 \text{ euro.}}$

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale dei seguenti valori riportati è la migliore approssimazione della radice quadrata di $1265894$

$\quad$

$900$ ;

$1125$ ;

$12001$ ;

$421964$ ;

$632947$ .

Svolgimento.

La $D)$ e la $E)$ sono numeri troppo grandi perché al quadrato facciano $1265894$ .

Invece:

$\quad$

$900^2=81\cdot 10^4=81000$ ;

dato che $1125\approx 11\cdot 100$ allora $1125^2\approx 11^2\cdot 10^4=1210000$ ;

dato che $12001\approx 12000$ allora $12000^2\approx 144\cdot 10^6=144000000$ .

Il numero il cui quadrato si avvicina di più a $1265894$ è $1125$ , quindi la risposta corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{B).}}$

Esercizio 22 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Il prodotto di due numeri irrazionali distinti può essere razionale?

Svolgimento.

La risposta è affermativa: il prodotto di numeri irrazionali distinti può essere razionale, ad esempio $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=4$ , che è razionale.

Esercizio 23 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare la nona parte di $\left( \frac{1}{3} \right)^{50}$ .

Svolgimento.

La nona parte di $\left( \frac{1}{3} \right)^{50}$ equivale a moltiplicare $\left( \frac{1}{3} \right)^{50}$ per $\frac{1}{9}$ , che può essere riscritto come:

$\frac{1}{9} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{50} = \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{50} = \left( \frac{1}{3} \right)^{52}$

Pertanto, la risposta è

$\boxcolorato{superiori}{\left (\frac{1}{3}\right )^{52}.}$

Esercizio 24 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare la media aritmetica tra $\left( \frac{1}{3} \right)^{-3}$ e $\left( \frac{1}{3} \right)^3$ .

Svolgimento.

Calcoliamo $\left( \frac{1}{3} \right)^{-3}$ e $\left( \frac{1}{3} \right)^3$ :

$\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}=\left( \frac{3}{1} \right)^3 = 27 \qquad \makebox{e} \qquad \left( \frac{1}{3} \right)^3= \frac{1}{27}.$

La media aritmetica è:

$\boxcolorato{superiori}{ \frac{27 + \frac{1}{27}}{2} = \frac{\frac{27^2+1}{27}}{2} = \frac{365}{27}. }$

Esercizio 25 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Semplificare l’espressione:

$\frac{73^{56}}{73^{-21} - 73^{20}} \cdot (73^3)^{-2}?$

Svolgimento.

Riscriviamo l’espressione:

$\frac{73^{56}}{73^{-21} - 73^{20}} \cdot (73^3)^{-2}=\frac{73^{56-6}}{\frac{1-73^{41}}{73^{21}}}= \frac{73^{50+21}}{1-73^{41}}=\frac{73^{71}}{1-73^{41}}.$

Esercizio 26 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si dimostri che il numero $\sqrt{3}+\sqrt{\frac{5}{2}}$ non appartiene all’insieme $\mathbb{Q}$ .

Suggerimento: se tale numero appartenesse a $\mathbb{Q}$ , vi apparterebbe anche $\sqrt{30}$ , in quanto $\ldots$ . Tuttavia $\sqrt{30}\not\in\mathbb{Q}$ , poiché $\ldots$ , dunque $\ldots$

Svolgimento.

Se $\sqrt{3}+\sqrt{\frac{5}{2}}$ appartenesse a $\mathbb{Q}$ , vi apparterrebbe anche il suo quadrato, $\frac{11}{2}+\sqrt{30}$ , e il numero $\sqrt{30}$ , in quanto $\mathbb{Q}$ è chiuso per prodotto e differenza. Tuttavia, $\sqrt{30}$ non è un numero razionale, in quanto a lezione abbiamo visto che se $n$ è un numero naturale, $\sqrt{n}\in\mathbb{Q}$ solo se $n$ è un quadrato, e $30$ non è di certo un quadrato. Dalla contraddizione trovata segue che $\sqrt{3}+\sqrt{\frac{5}{2}}\,\not\in\,\mathbb{Q}$ , come voluto.

Esercizio 27 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Dati due insiemi $A,B$ contenuti in $\mathbb{R}$ o in $\mathbb{Q}$ , gli insiemi $A+B$ e $2A$ sono definiti nel seguente modo:

$\begin{array}{lcl} A+B = \{a+b : a\in A,b \in B\} & &\text{(Insieme delle somme)} \\ \quad\;\; 2A = \{2\cdot a : a \in A\}& &\text{(Insieme degli elementi raddoppiati)} \end{array}$

Si provi che per ogni $A\subseteq\mathbb{R}$ , $2A$ è un sottoinsieme di $A+A$ .

Si provi poi che esiste un insieme $D$ che gode delle seguenti proprietà:

$\mathbb{Z}\subsetneq D\subsetneq\mathbb{Q},\qquad D+D=2D.$

Si provi infine che se $D$ è un qualunque insieme che soddisfa tali proprietà e $a$ e $b$ sono numeri razionali distinti, esiste sempre un elemento $d\in D$ strettamente compreso tra $a$ e $b$ .

Svolgimento.

La prima parte è completamente banale: per ogni $a\in A$ , il numero $2a=a+a$ è sicuramente un elemento di $A+A$ , dunque $2A\subseteq (A+A)$ . La seconda parte lo è molto meno: per prima cosa, possiamo notare che $D+D=2D$ comporta che $D$ sia un insieme chiuso per punti medi, ossia munito della seguente proprietà: $\forall d_1,d_2\in D,\;\frac{d_1+d_2}{2}\in D$ . Poiché $D$ contiene i numeri interi, la chiusura per punti medi comporta che $D$ contiene anche i numeri semi-interi, ossia gli elementi di $\{\frac{1}{2}\}+\mathbb{Z}$ . Iterando l’argomentazione, abbiamo che $D$ contiene tutti i numeri razionali della forma $\frac{a}{2^b}$ , per qualunque intero $a$ e per qualunque numero naturale $b$ . Per l’insieme dei numeri razionali siffatti (che è un sottoinsieme proprio di $\mathbb{Q}$ , in quanto $\frac{1}{3}$ non è un numero della forma $\frac{a}{2^b}$ ) vale l’inclusione opposta a quella ovvia, ossia $D+D\subseteq 2D$ , in quanto

$\frac{a_1}{2^{b_1}}+\frac{a_2}{2^{b_2}} = \frac{a_3}{2^{\max(b_1,b_2)}} = \frac{a_3}{2^{b_3}} = 2\cdot\frac{a_3}{2^{b_3+1}}.$

L’insieme $D$ così costruito è detto “insieme dei numeri razionali diadici”. Non è l’unico insieme che soddisfa le richieste della seconda parte dell’esercizio, ma qualunque insieme che contenga gli interi e sia chiuso per punti medi lo contiene, e soddisfa automaticamente la proprietà richiesta nella terza parte. Infatti, dati due numeri razionali distinti $a$ e $b$ , possiamo supporre senza perdita di generalità che valga $a<b$ , e per quanto piccolo possa essere $b-a$ , $2^n(b-a)$ è certamente più grande di $1$ per qualche $n\in\mathbb{N}$ . Di conseguenza, nell’intervallo $(2^n a, 2^n b)$ c’è almeno un intero $c$ (poiché l’intervallo ha lunghezza maggiore di $1$ ). Riscalando, il numero $\frac{c}{2^n}$ , che è un elemento di $D$ , appartiene all’intervallo $(a,b)$ come voluto.

Esercizio 28 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Dato per buono il fatto che il prodotto cartesiano di due insiemi numerabili è ancora un insieme numerabile, e che ogni numero razionale positivo ammette una rappresentazione decimale come quella di

$571.123\overline{142857},$

ossia costituita da una stringa che precede la virgola $(571)$ ed, eventualmente, una stringa che costituisce un antiperiodo $(123)$ e una stringa che costituisce
un periodo $(142857)$ , si spieghi come ciò comporta che $\mathbb{Q}$ è un insieme numerabile.

Svolgimento.

Il fatto che ogni numero razionale possegga una rappresentazione siffatta comporta l’esistenza di una funzione iniettiva da $\mathbb{Q}$ nelle triple di elementi dell’insieme $\{\alpha\}\cup\mathbb{N}$ . Il simbolo addizionale $\alpha$ è necessario a designare eventuali stringhe vuote, come quelle che si presentano nei casi associati a $17.\overline{123}$ o $109.671$ . Tuttavia, l’insieme $\{\alpha\}\cup\mathbb{N}$ è numerabile (per l’argomentazione dell’albergo di Hilbert nel caso di un unico ospite extra da collocare), dunque esiste una funzione iniettiva da $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\mathbb{N} = (\mathbb{N}\times\mathbb{N})\times \mathbb{N}$ (il prodotto cartesiano è associativo). Poiché $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ è numerabile per quanto dato per scontato nelle premesse, e poiché la composizione di funzioni iniettive è iniettiva, esiste un’applicazione iniettiva tra $\mathbb{Q}$ ed $\mathbb{N}$ (rappresentata in blu nel diagramma seguente) e $\mathbb{Q}$ è un insieme numerabile.

$\begin{array}{cccl} \mathbb{Q} & \longrightarrow & \mathbb{N}\times\mathbb{N}\times\mathbb{N} & =(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\times\mathbb{N} \\ \uparrow & & \downarrow & \\ \mathbb{N} & \longleftarrow & \mathbb{N}\times\mathbb{N} & \end{array}$

Esercizio 29 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si dimostri che, nonostante le apparenze,

$\alpha = \sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{12}}}+\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{12}}}$

è un numero razionale (ossia un elemento di $\mathbb{Q}$ )

Svolgimento.

Poiché $\alpha > 0$ , è sufficiente provare che $\alpha^2=1$ per dedurne $\alpha=1\in\mathbb{Q}$ :

$\alpha^2 = \frac{2}{3}+2\sqrt{\frac{1}{9}-\frac{1}{12}} = \frac{2}{3}+\frac{2}{6} = 1.$

Esercizio 30 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Siano $r$ ed $s$ dei numeri interi. In quali casi la quantità

$K = \frac{6^{r+s}\cdot 12^{r-s}}{8^r \cdot 9^{r+2s}}$

è un numero intero?

Svolgimento.

Ricordando le proprietà delle potenze, si ha:

(9) $\begin{equation*} \begin{split} K = {} & \frac{6^{r+s}\cdot 12^{r-s}}{8^r\cdot 9^{r+2s}} = \\ = {} & \frac{(2^{r+s}\cdot 3^{r+s})\cdot(2^{2r-2s}\cdot 3^{r-s})}{2^{3r}\cdot 3^{2r+4s}} = \\ = {} & 2^{r+s+2r-2s-3r}\cdot 3^{r+s+r-s-2r-4s} = \\ = {} & 2^{-s}\cdot 3^{-4s}. \end{split} \end{equation*}$

Se $s \leq 0$ , i due esponenti sono entrambi numeri non negativi, per cui $K$ è un numero intero. Se $s > 0$ , invece, $K$ è una frazione (non apparente). La risposta è dunque

$\boxcolorato{superiori}{s\leq 0.}$

Esercizio 31 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si consideri la seguente successione:

$1, 1, 2, \frac{1}{2}, 4, \frac{1}{4}, 8, \frac{1}{8}, \ldots$

Quanto vale la somma dei suoi primi $2n$ termini (dove $n$ è un numero intero positivo)?

Svolgimento.

Dato che viene richiesto di calcolare la somma di $2n$ termini della successione, raggruppiamoli due a due. In ciascuna coppia riconosciamo un termine della forma $2^k$ ed un termine della forma $1/2^k$ , dove $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$ (attenzione che le $n$ coppie vengono indicizzate con $k$ tra 0 e $n-1$ ). Ricordando la formula per la somma della progressione geometrica di ragione $q$ :

$\sum_{k=0}^{n}q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}\qquad (q \ne 1),$

possiamo scrivere la somma cercata nel seguente modo:

(10) $\begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=0}^{n-1} 2^k + \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^k = {} & \frac{2^n-1}{2-1} + \frac{(1/2)^n-1}{(1/2)-1} = \\ = {} & 2^{n} - 1 - 2\cdot(2^{-n} - 1) = \\ = {} & 2^{n} - 2^{1-n} + 1. \end{split} \end{equation*}$

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{2^{n} - 2^{1-n} + 1}$

Esercizio 32 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quante volte occorre lanciare una moneta per essere sicuri che sia uscito almeno due volte testa o due volte croce?

Svolgimento.

La moneta deve essere lanciata almeno tre volte. Se fosse stata lanciata esattamente due volte, potrebbe accadere che sia uscito testa e croce, quindi due lanci non bastano. Invece, al terzo lancio può uscire solamente o testa, o croce, garantendo quindi che su tre lanci sia uscito sempre almeno o due volte testa o due volte croce.

Esercizio 33 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si dimostri che, se $A,B,C$ sono insiemi finiti, valgono le seguenti uguaglianze di cardinalità:

$|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|,$

$|A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|.$

Diremo che un numero naturale è “petaloso” se è un multiplo intero di $3$ , $5$ o $7$ , e si utilizzi quanto dimostrato nella prima parte per determinare quanti numeri “petalosi” sono compresi tra $1$ e $1051$ .

Svolgimento.

In generale, l’insieme $A\cup B$ può essere partizionato in tre componenti, date rispettivamente da $A\setminus B, A\cap B, B\setminus A$ . Nel considerare $|A|+|B|$ , gli elementi di $A\setminus B$ e $B\setminus A$ vengono conteggiati una volta, mentre tutti gli elementi di $A\cap B$ vengono conteggiati due volte. Segue che $|A|+|B|-|A\cap B|$ conteggia ogni elemento di $A\cup B$ esattamente una volta, ed è dunque pari alla cardinalità di $A\cup B$ . L’argomento è schematizzato in figura

$\quad$

Figura 1.

$\quad$

Nel caso in cui si debba conteggiare la cardinalità di $A\cup B\cup C$ il ragionamento è analogo: $A\cup B \cup C$ può essere partizionato in sette parti, e la rappresentazione a latere conferma che sommando le cardinalità di $A,B,C$ , quindi sottraendo le cardinalità di $A\cap B,A\cap C,B\cap C$ , quindi sommando la cardinalità di $A\cap B\cap C$ , ciò che si ottiene è la cardinalità di $A\cup B\cup C$ , in quanto ogni elemento di tale insieme viene conteggiato il numero giusto di volte, una.

$\quad$

Figura 2.

$\quad$

Il Principio di Inclusione-Esclusione può essere applicato alla seconda parte nel seguente modo. Siano $A,B,C$ , rispettivamente, gli insiemi dei multipli di $3,5,7$ compresi tra $1$ e $1051$ . In tali ipotesi, $A\cap B, A\cap C, B\cap C, A\cap B\cap C$ corrispondono, rispettivamente, agli insiemi dei multipli di $15,21,35,105$ compresi tra $1$ e $1051$ . Calcolare le cardinalità degli insiemi finora coinvolti è semplice:

$|A|=350,\;|B|=210,\; |C|=150,\; |A\cap B|=70,\; |A\cap C|=50,\; |B\cap C|=30,\; |A\cap B\cap C|=10$

dunque quel che ci interessa, ossia $|A\cup B\cup C|$ , è pari a

$\boxcolorato{superiori}{350+210+150-70-50-30+10 = 570.}$

Esercizio 34 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sono dati tre numeri non nulli $x,y,z$ e si sa che $x$ è la terza parte di $z$ mentre $z$ è 6 volte $y$ . Quanto vale il quoziente fra il doppio di $x$ e la metà di $y$ ?

Svolgimento.

Dal testo del quesito deduciamo che $z=3x$ e $z=6y$ , ovvero $x=2y$ . Allora

$\frac{2x}{\frac{y}{2}}=4\cdot 2\frac{y}{y}=8.$

La risposta corretta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{8.}$

Esercizio 35 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare il minimo comune multiplo dei monomi

$7xy^2z^3, \quad 28x^2yz, \quad 35x^2y^2z^2.$

Svolgimento.

Per calcolare il loro minimo comune multiplo occorre prendere ogni parte letterale ed elevarla al massimo esponente e poi, se i coefficienti dei monomi sono interi come in questo caso, occorre fare il minimo comunque multiplo tra loro. Il monomio che stiamo cercando ha quindi parte letterale uguale a $x^2y^2z^3$ , mentre il coefficiente è

$\text{mcm}(7,28,35)=140.$

Perciò il minimo comune multiplo è

$\boxcolorato{superiori}{140x^2y^2z^3.}$

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Se una grandezza $x$ è direttamente proporzionale al cubo di una grandezza $y$ , e $y$ è inversamente proporzionale al quadrato di una grandezza $z$ , allora:

$\quad$

$x$ è inversamente proporzionale alla sesta potenza di $z$ ;

$x$ è direttamente proporzionale al cubo di $z$ ;

$x$ è direttamente proporzionale al quadrato di $z$ ;

$x$ è inversamente proporzionale a $z$ ;

La relazione tra $x$ e $y$ è diversa da quelle indicate nelle altre risposte.

Svolgimento.

Ci sono due relazioni:

$\quad$

$x$ è direttamente proporzionale al cubo di $y$ , quindi:
$x = k_1 y^3$

$y$ è inversamente proporzionale al quadrato di $z$ , quindi:
$yz^2=k_2 \implies z^2= \frac{k_2}{y} \implies z^6=\frac{k_2^3}{y^3}.$

Allora

$xz^6 = k_1 y^3\frac{k_2^3}{y^3} = k_1k_2^3.$

Dunque $x$ è inversamente proporzionale alla sesta di $z$ .

La risposta corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{A).}}$

Esercizio 37 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un cliente deposita in banca $700$ euro e ha le seguenti condizioni: $12%$ di interesse annuo e $8$ euro di spese annue a fine anno. Quanto ha sul conto dopo $3$ anni?

Svolgimento.

Sia $N$ il deposito iniziale, $t$ gli anni, $x%$ l’interesse e $k$ le spese annue. Infine sia $N_t$ l’ammontare del conto in banca all’anno $t$ . Quindi $N_0=N$ . Sia $c\coloneqq \frac{100+x}{100}$ ; allora

$\begin{split} N_1 & =N_0+\frac{x}{100}N_0-k =cN-k; \\ N_2 & =N_1+\frac{x}{100}N_1-k= cN_1-k=c^2N-(c+1)k; \\ N_3 & =N_2+\frac{x}{100}N_2-k= cN_2-k=c^3N-(c^2+c+1)k. \\ \end{split}$

Otteniamo quindi per $N=700, t=3, x=12, k=8$ che il conto del cliente dopo 3 anni ammonta a $N_3=956,45$ euro.

$\boxcolorato{superiori}{N_3=956,45 \text{ euro.}}$

Osservazione.

Nel caso in cui si volesse dedurre una formula per determinare automaticamente $N_t$ in funzione dell’anno $t$ , basta generalizzare il caso di sopra per un qualunque $t\geq 1$ :

$\begin{split} N_t & =N_{t-1}+ \frac{x}{100}N_{t-1}-k =cN_{t-1}-k \\ & = c\left(N_{t-2}+ \frac{x}{100}N_{t-2}-k\right)-k=c^2N_{t-2}-(c+1)k \\& =\dots\\&= c^tN_0-k\left(\sum_{j=0}^{t-1}c^{j}\right).\\ \end{split}$

Quindi otteniamo

(11) $\begin{equation*} N_t=c^tN_0-k\left(\sum_{j=0}^{t-1}c^{j}\right). \end{equation*}$

La formula (11) è stata solamente intuita ma per verificare che sia effettivamente quella corretta invitiamo il lettore a dimostrarla usando il principio di induzione.

Inoltre osserviamo che (11) può essere riscritta in una maniera più compatta usando il fatto che si conosce la somma parziale di una serie geometrica di ragione $c$ :

(12) $\begin{equation*} \sum_{j=0}^{t-1}c^{j}=\frac{1-c^t}{1-c}. \end{equation*}$

Perciò, sostistuendo la sommatoria in (11) con il valore ottenuto in (12), otteniamo

$\begin{split} N_t & =c^tN_0-k\frac{1-c^t}{1-c}=\left(N+\frac{k}{1-c}\right)c^t-\frac{k}{1-c}, %\left(\frac{100+x}{100}\right)^{t}N-k\left(\frac{1-\left(\frac{100+x}{100}\right)^t}{1-\frac{100+x}{100}}\right)\\ % &=\left(\frac{100+x}{100}\right)^{t}N+\frac{100k}{x}\left(1-\left(\frac{100+x}{100}\right)^t\right) \\ % &= \left(\frac{100+x}{100}\right)^{t}\left(N-\frac{100k}{x}\right)+\frac{100k}{x} \end{split}$

da cui si può di nuovo calcolare che $N_3=956,45$ euro.

Esercizio 38 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Supponendo che $a,b>0$ , che $a^2+b^2=11$ e $ab=7$ , allora quanto vale $a+b$ ?

Svolgimento.

Consideriamo il quadrato

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=11+14=25 \implies a+b=5,$

dato che per ipotesi $a,b>0$ e quindi $a+b>0$ .

$\quad$

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Figura 3: visualizzazione geometrica di come può essere suddiviso l’area di un quadrato di lato $a+b$ .

$\quad$

Quindi la risposta è

$\boxcolorato{superiori}{a+b=5.}$

Esercizio 39 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Data un’espressione $y(x)=bx^2+ax+1$ , allora se $x$ triplica, di quanto aumenta $y$ ?

Svolgimento.

$y(x)$ valutata in $3x$ equivale a

$y(3x)=b(3x)^2+a(3x)+1=9bx^2+3ax+1=(bx^2+ax+1)+ 8bx^2+2ax=y(x)+8bx^2+2ax$

perciò $y$ aumenta di

$\boxcolorato{superiori}{8bx^2+2ax.}$

Esercizio 40 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . $a,b,c$ sono tre numeri reali distinti, con $a<b<c$ . Si dimostri che esiste un unico polinomio di secondo grado $p(x)$ tale per cui:

$\begin{cases} p(a)= 1 \\ p(b) = -1 \\ p(c) = 2 \end{cases}$

Svolgimento.

Poiché $a<b<c$ ma $p(a)>p(b)$ , $p(b)<p(c)$ , nessun polinomio costante o di primo grado può soddisfare i vincoli dati. D’altra parte il polinomio

$p(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}-\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+2\,\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}$

soddisfa tutti i vincoli, e in virtù del Teorema di Ruffini il problema di interpolazione ha soluzione unica.

Esercizio 41 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Sappiamo che $p(x)$ è un polinomio di secondo grado che realizza

$p(2) = 3,\qquad p(3) = 5,\qquad p(5) = 8.$

Qual è il valore di $p(4)$ ?

Svolgimento.

Poiché $p(2)=3$ , si ha che $x=2$ è una radice del polinomio $p(x)-3$ e quindi per il teorema di Ruffini, esiste un polinomio di primo grado $Q(x)$ tale che

(13) $\begin{equation*} p(x)-3=(x-2)Q(x) \iff p(x)= (x-2)Q(x)+ 3 \end{equation*}$

Sostituendo in tale espressione $p(3)=5$ e $p(5)=8$ si ottiene $Q(3)=2$ e $Q(5)=\frac{5}{3}$ , da cui, poiché $Q$ è di primo grado, si giunge a

(14) $\begin{equation*} Q(4)= \frac{Q(3)+Q(5)}{2} = \frac{11}{6}, \end{equation*}$

da cui segue

(15) $\begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ p(4)= (4-2)Q(4)+3= \frac{20}{3}. } \end{equation*}$

Una soluzione alternativa è considerare che, se $p(x)$ è un polinomio di grado $\leq 2$ , vale la seguente identità, che si può ricavare mediante calcolo diretto:

$\forall x\in\mathbb{R},\qquad p(x)-3\,p(x+1)+3\,p(x+2)-p(x+3)=0.$

Nel nostro caso, posto $p(4)=y$ e considerata la precedente identità in corrispondenza di $x=2$ , si ha:

$3-3\cdot 5+3\cdot y-8 = 0,$

da cui segue immediatamente

$\boxcolorato{superiori}{y=p(4)=\frac{20}{3}.}$

Una ultriore soluzione consiste nell’imporre le condizioni date dalla traccia per $p(x)=ax^2+bx+c$ , ricavare $a,b,c$ e poi calcolare $p(4)$ .

Esercizio 42 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Qual è il monomio di grado più alto che compare in questo polinomio?

$P(x) =\left\{\left[\left(2x^6+7\right)^3+\left(3x^8-12\right)^4\right]^5+\left[\left(3x^5-12x^2\right)^5+\left(x^7+6\right)^4\right]^6\right\}^3.$

Svolgimento.

Elevando un polinomio di grado $n$ ad una potenza intera $m$ , si ottiene un polinomio di grado $n \cdot m$ (volendo, questa affermazione si può verificare per induzione). Inoltre, il grado della somma di più polinomi è naturalmente il massimo tra i gradi dei singoli addendi. Poniamo per brevità:

$A = 2x^6+7, \quad B = 3x^8-12, \quad C = 3x^5-12x^2, \quad D = x^7+6.$

Se $X$ è un polinomio, indichiamo con $\partial X$ il suo grado, per cui $\partial A = 6$ , $\partial B = 8$ , $\partial C = 5$ e $\partial D = 7$ . Seguendo le parentesi dall’interno verso l’esterno, abbiamo il seguente schema:

$\left.\begin{matrix} \left.\begin{matrix}\partial(A^3) = 6\cdot3 = 18 \\\partial(B^4) = 8\cdot4 = 32\end{matrix}\right\} \Rightarrow \partial[(A^3+B^4)^5] = 32\cdot5=160 \\ \left.\begin{matrix}\partial(C^5) = 5\cdot5 = 25 \\\partial(D^4) = 7\cdot4 = 28\end{matrix}\right\} \Rightarrow \partial[(C^5+D^4)^6] = 28\cdot6=168 \\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow\partial P = 168\cdot3 = 504.$

Resta da determinare il coefficiente numerico del monomio di grado 504 di $P$ . Questo proviene dal ripetuto elevamento a potenza del termine $x^7$ in $D$ , che ha coefficiente unitario. Quindi anche il risultato deve avere coefficiente pari ad $1$ . In definitiva, $P$ contiene proprio il monomio

$\boxcolorato{superiori}{x^{504}.}$

Esercizio 43 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $n$ un intero positivo, e si consideri il polinomio

$(1+xy+y^2)^n.$

Qual è il coefficiente numerico del monomio $x^3y^5$ ?

Svolgimento.

Ricordiamo la formula del binomio di Newton; se $m \geq 0$ è un intero positivo, e $a$ e $b$ sono numeri arbitrari, si hanno le due formule equivalenti:

$(a+b)^m = \sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}a^{m-k}b^k = \sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}a^k b^{m-k},$

dove si sfruttano i coefficienti binomiali così definiti:

$\binom{m}{k} = \frac{m!}{k!(m-k)!}.$

Applichiamo ora la formula di Newton alla nostra espressione, una prima volta con $a = 1$ , $b = xy + y^2$ e $m = n$ , e poi con $a = xy$ , $b = y^2$ e $m = k$ :

(16) $\begin{equation*} \begin{split}(1+xy+y^2)^n = {} & \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}(xy+y^2)^k = \nonumber \\ = {} & \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}(xy)^j (y^2)^{k-j} = \nonumber \\ = {} & \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}x^j y^{2k-j}. \end{split} \end{equation*}$

In questa somma, il monomio $x^3y^5$ compare quando $j = 3$ e $2k-j = 5$ , cioè $k = 4$ . Il corrispondente coefficiente è dato da:

$\binom{n}{4}\binom{4}{3} = \binom{n}{4}\frac{4!}{3!(4-3)!} = \binom{n}{4} \frac{4\cdot3!}{3!}= 4\binom{n}{4}.$

Si noti che nella somma (16) si ha $k \leq n$ . Questo implica che, se $n < 4$ , il termine $x^3y^5$ non compare nello sviluppo del polinomio, o equivalentemente il suo coefficiente è $0$ . Può essere interessante notare che la scrittura \fbox{d} rimane corretta se si considera la definizione generalizzata di coefficiente binomiale, valida per $m$ arbitrario e $k$ intero non negativo:

$\binom{m}{k} = \frac{m(m-1)\cdots(m-k+1)}{k(k-1)\cdot2\cdot1} = \prod_{i=1}^{k}\frac{m+1-i}{i}.$

Questa formula è equivalente alla definizione classica se $m$ è un intero $\geq k$ , e restituisce 0 se $m <k$ (ed è applicabile anche a valori non interi di $m$ ).

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{4\binom{n}{4}.}$

Esercizio 44 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Calcolare la seguente somma:

$S = 1 - 4 + 9 - 16 + \cdots + 99^2 - 100^2 = \sum_{k=1}^{100}(-1)^{k+1}k^2.$

Svolgimento.

Raggruppiamo i termini a due a due, notando che sono tutti differenze di quadrati (dispari e pari alternati):

(17) $\begin{equation*} \begin{split} 1-4 = 1^2-2^2 = -3; \\ 9-16 = 3^2-4^2 = -7; \\ 25-36 = 5^2-6^2 = -11; \\ \cdots \end{split} \end{equation*}$

Riscriviamo la somma come segue (essendoci 100 addendi, ci sono 50 coppie):

(18) $\begin{equation*} \begin{split} S & = \sum_{k=1}^{50}[(2k-1)^2 - (2k)^2] = \\ & = \sum_{k=1}^{50}(4k^2+1-4k-4k^2) = \\ & = \sum_{k=1}^{50}(1-4k) = \\ & = \sum_{k=1}^{50}1 - 4\sum_{k=1}^{50}k = \\ & = 50 - 4\frac{50\cdot 51}{2} = 50\times(1-2\cdot 51) = -5050. \end{split} \end{equation*}$

Abbiamo dato per nota la formula della somma dei primi $N$ numeri naturali:

$\sum_{k=1}^{N}k = \frac{N(N+1)}{2}.$

Il risultato è quindi

$\boxcolorato{superiori}{-5050.}$

Esercizio 45 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Nel polinomio

$\left(1+\frac{1}{2}x\right)^{10},$

quale potenza di $x$ ha il coefficiente più grande?

Svolgimento.

Dobbiamo usare la formula del binomio di Newton:

$(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^n b^{n-k},$

che contiene i coefficienti binomiali così definiti:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$

In particolare:

$\left(1+\frac{1}{2}x\right)^{10} = \left(\frac{1}{2}x+1\right)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k}\frac{1}{2^k}x^k = \sum_{k=0}^{10} a_k x^k.$

Per scoprire quale dei coefficienti $a_k$ è il maggiore, calcoliamo:

$\frac{a_k}{a_{k-1}} = \frac{10!}{k!\,(10-k)!}\frac{1}{2^k}\cdot\frac{(k-1)!\,(11-k)!}{10!}2^{k-1} = \frac{11-k}{2k}.$

Per trovare il valore massimo di $a_k$ , possiamo allora risolvere la disequazione $a_k/a_{k-1} > 1$ , che è verificata per $k < 11/3$ . Dunque $a_k > a_{k-1}$ per $k \leq 3$ , mentre $a_k < a_{k-1}$ per $k \geq 4$ . Il massimo di $a_k$ viene quindi raggiunto per $k = 3$ . Ne segue che la potenza di $x$ con il coefficiente massimo è

$\boxcolorato{superiori}{x^3.}$

Esercizio 46 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Provare che il polinomio $x^3-1$ è divisibile per $x^2+x+1$ .

Svolgimento.

Segue dalla scomposizione $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ . Alternativamente, si può osservare che $x^3-1$ è divisibile per $x-1$ per il teorema di Ruffini, in quanto il suo valore per $x=1$ è nullo. Applichiamo il metodo di Ruffini per dividere $x^3 - 1$ per $x - 1$ e otteniamo che $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ .

Esercizio 47 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Qual è il polinomio tra i seguenti che ha più radici reali distinte?

$\quad$

$x^2+2x+2$ ;

$x^2-2x+1$ ;

$x^2-5x+6$ ;

$x^3+3x^2+3x+1$ ;

$(x-1)(x-2)(x-3)$ .

Svolgimento.

Il polinomio E) ha tre radici distinte mentre i polinomi A), B), C) sono di secondo grado e non possono quindi avere più di due radici reali distinte. Infine il polinomio D) è $(x+1)^3$ , che ha una sola radice distinta $x=-1$ . Perciò la risposta corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{E).}}$

Esercizio 48 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si dimostri che non esiste alcun polinomio di secondo grado $p(x)$ che soddisfa simultaneamente le seguenti condizioni:

$\begin{cases} p(1) = 1 \\ p(3) = 1 \\ p(5) = 3 \\ p(7) = 0. \end{cases}$

Svolgimento.

Supponiamo, per assurdo, che un siffatto polinomio di secondo grado esista. In tali ipotesi, $p(x)-1$ si annulla sia in corrispondenza di $x=1$ che di $x=3$ : in virtù del Teorema di Ruffini, si ha perciò $p(x)=1+\kappa(x-1)(x-3)$ per qualche $\kappa\in \mathbb{R}$ . In tali ipotesi valgono però anche le identità

$3=1+\kappa(5-1)(5-3),\qquad 0=1+\kappa(7-1)(7-3)$

che sono tra loro incompatibili. La tesi segue immediatamente.

Esercizio 49 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Sappiamo che un polinomio di secondo grado $p(x)$ soddisfa le seguenti condizioni:

$\begin{cases} p(0) = 1 \\ p(2) = -1 \\ p(3) = 1. \end{cases}$

Una volta provato che $p(x)$ ha due radici reali distinte $\alpha,\beta$ , si determini il valore di $\alpha^2+\beta^2$ .

Svolgimento.

Poiché $p(x)$ cambia di segno tra $x=0$ e $x=2$ , nonché tra $x=2$ e $x=3$ , il discriminante di $p(x)$ è certamente positivo e $p(x)$ ha due radici reali distinte. Inoltre $p(x)-1$ si annulla sia in corrispondenza di $x=0$ che di $x=3$ : per il Teorema di Ruffini,

$p(x) = 1+\kappa x(x-3)$

dove $\kappa$ deve essere tale da garantire $p(2)=-1$ . Da ciò segue $\kappa = 1$ e

$p(x) = x^2-3x+1.$

Per le formule di Viète, $(\alpha+\beta)=3$ e $\alpha\beta=1$ , dunque:

$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = 3^2-2\cdot 1 = 7.$

Ne segue che la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{\alpha^2+\beta^2 = 7.}$

Esercizio 50 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinate il valore di $\alpha^3+\beta^3$ , sapendo che $\alpha$ e $\beta$ sono le radici del polinomio

$p(x) = x^2-5x+2. \qquad\qquad\qquad \left[\text{Suggerimento: } \alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3(\alpha\beta)(\alpha+\beta).\right]$

Svolgimento.

In virtù del Teorema di Viète si ha $(\alpha+\beta)=5$ e $\alpha\beta=2$ , dunque:

$\alpha^3+\beta^3 = (\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 5^3-3\cdot 2\cdot 5 = 95.$

Ne segue che

$\boxcolorato{superiori}{\alpha^3+\beta^3 = 95.}$

Esercizio 51 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si consideri il polinomio:

$P(x) = 1 + 3x + 5x^2 + 7x^3 + \cdots + 99x^{49} = \sum\limits_{k=1}^{50}(2k-1)x^{k-1}.$

Quanto vale il resto $R$ della divisione polinomiale di $P(x)$ per $(x-1)$ ?

Svolgimento.

Il teorema del resto permette di risolvere rapidamente questo problema: il resto $R$ della divisione di un polinomio $P$ per il binomio $(x-k)$ è pari a $R = P(k)$ . Nel nostro caso $k = 1$ , quindi il resto è dato da:

$R = P(1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 99 = \sum\limits_{k=1}^{50} (2k-1) = 50^2 = 2500,$

dove abbiamo usato il fatto che la somma dei primi $n$ numeri dispari è pari a $n^2$ . Per chi non la conoscesse, questa formula si può ricavare ad esempio così:

$\sum\limits_{k=1}^{50} (2k-1) = 2\cdot\sum\limits_{k=1}^{50}k - \sum\limits_{k=1}^{50}1 = 2\cdot\frac{50\cdot(50+1)}{2} - 50 = 50\cdot50 = 2500,$

dove abbiamo utilizzato la formula per la somma della progressione aritmetica.

Il risultato è dunque

$\boxcolorato{superiori}{R=2500.}$

Esercizio 52 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si consideri il polinomio di variabile reale $x$

$P_k(x) = k^2 x^{2k+3} - 25kx^{k+1} + 150x^7,$

dove $k$ è un parametro reale. Per quali valori di $k$ il polinomio $P_k$ è divisible per $Q(x) = x^2-1$ ?

Svolgimento.

Dato che $Q(x) = (x-1)(x+1)$ si scompone come prodotto di due fattori di primo grado, il polinomio $P_k$ avrà $Q$ come fattore se e solo se ha come fattori sia $(x-1)$ che $(x+1)$ . Questo significa che $P_k(x)$ deve avere come radici $+1$ e $-1$ . Come prima condizione, cominciamo ad imporre che $P_k(1) = 0$ :

$k^2 - 25k + 150 = 0 \implies k = \frac{25\pm\sqrt{25^2-4\cdot150}}{2}=\frac{25\pm5}{2}.$

Imponiamo ora che $P_k(-1) = 0$ :

$-k^2 - 25k(-1)^{k+1} - 150 = 0,$

dove abbiamo usato il fatto che $2k+3$ è senz’altro dispari e quindi $(-1)^{2k+3} = -1$ . Non occorre risolvere questa equazione, basta verificarla per i due unici valori permessi $k = 10$ e $k = 15$ trovati sopra:

$\begin{gather*} \begin{array}{ll} k = 1\text{0:} & -10^2 + 25\cdot10 - 150 = -100 + 250 - 150 = 0; \\ k = 1\text{5:} & -15^2 - 25\cdot15 - 150 < 0. \end{array} \end{gather*}$

Come si vede, solo $k = 10$ soddisfa simultaneamente $P_k(1) = P_k(-1) = 0$ . La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{k=10.}$

Esercizio 53 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Sia $n \geq 2$ un intero e sia $P_n(x)$ il polinomio definito come segue:

$P_n(x) = (x-1) + (x-2) + \cdots + (x-n) = \sum_{k=1}^{n}(x-k).$

Qual è il resto della divisione polinomiale tra $P_n(x)$ e $P_{n-1}(x)$ ?

Svolgimento.

Per prima cosa, calcoliamo esplicitamente $P_n(x)$ . Ricordiamo la formula della somma dei primi $n$ numeri naturali:

$1 + 2 + \cdots + n = \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}.$

Usando questo risultato, abbiamo:

$P_n(x) = \sum_{k=1}^{n}(x-k) = nx - \frac{n(n+1)}{2};$

e quindi anche:

$P_{n-1}(x) = (n-1)x - \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)\left(x-\frac{n}{2}\right).$

Conoscendo le espressioni di $P_n$ e $P_{n-1}$ , possiamo calcolare il resto della divisione. Un modo è usare l’algoritmo della divisione polinomiale. Alternativamente, possiamo scrivere così:

(19) $\begin{equation*} \begin{split} P_n(x) = {} & nx - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n}{n-1}(n-1)x - \frac{n}{n-1}\frac{(n-1)(n+1)}{2} = \\ = {} & \frac{n}{n-1}(n-1)x - \frac{n}{n-1}\frac{(n-1)n}{2} - \frac{n}{2} = \\ = {} & \frac{n}{n-1}\left[(n-1)x-\frac{(n-1)n}{2}\right] - \frac{n}{2} = \\ = {} & \frac{n}{n-1} P_{n-1}(x) - \frac{n}{2}. \end{split} \end{equation*}$

Da questa uguaglianza si legge che, nella divisione di $P_n(x)$ per $P_{n-1}(x)$ , il resto è $-n/2$ , mentre il quoziente è $n/(n-1)$ .

La risposta è dunque

$\boxcolorato{superiori}{-\frac{n}{2}.}$

Un procedimento alternativo è ricorrere al teorema del resto: il resto della divisione di un polinomio qualunque $Q(x)$ per il binomio $(x-a)$ è dato da $Q(a)$ . Inoltre, moltiplicando il divisore di una divisione polinomiale per una costante, il resto rimane invariato (cambia invece il quoziente). Dato che $P_{n-1} = (n-1)\cdot(x - n/2)$ , il resto della divisione di $P_n$ per $P_{n-1}$ è lo stesso che per la divisione tra $P_n(x)$ e $(x-n/2)$ , che è dato da:

$P_n\left(\frac{n}{2}\right) = n\frac{n}{2} - \frac{n(n+1)}{2} = -\frac{n}{2}.$

Esercizio 54 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Sia $n$ un intero positivo, e si consideri il polinomio

$P_n(x) = \left(3+x^4\right)^n - \left(x^2+3\right)^n\left(x^2-1\right)^n.$

Per quali valori di $n$ si ha che $P_n(x)$ è divisibile per $(1+x^2)$ ?

Svolgimento.

Se $i$ è l’unità immaginaria ( $i^2 = -1$ ), si ha:

$x^2+1 = (x-i)(x+i).$

Affinché $P_n(x)$ sia divisibile per $x^2+1$ , quindi, $P_n(x)$ deve avere $\pm i$ come radici. Sostituendo:

$\begin{align*} P_n(\pm i) = {} & \left[3+(\pm i)^4\right]^n - \left[(\pm i)^2+3\right]^n\left[(\pm i)^2-1\right]^n = \\ = {} & (3+1)^n - (-1+3)^n(-1-1)^n = \\ = {} & 2^{2n}-2^n(-2)^n = 2^{2n}\left[1-(-1)^n\right]. \end{align*}$

Dunque, $P_n(\pm i) = 0$ se e solo se $1-(-1)^n = 0$ . Dato che $(-1)^n = +1$ per $n$ pari e $(-1)^n = -1$ per $n$ dispari, $P_n(\pm i) = 0$ se e solo se $n$ è pari. La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\text{$n$ pari.}}$

Esercizio 55 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Siano $a$ e $b$ due numeri reali arbitrari, con $a \ne 0$ . Sappiamo che:

$\quad$

il resto della divisione del polinomio $P(x) = x^2 - 2ax + a^4$ per $(x+b)$ è uguale a 1;

il polinomio $Q(x) = bx^2 + x + 1$ contiene $(ax-1)$ tra i suoi fattori.

Quali sono i possibili valori di $b$ ?

Svolgimento.

Per il teorema del resto, la divisione di $P$ per $(x+b)$ restituisce 1 come resto se e solo se $P(-b) = 1$ , cioè:

$P(-b) = b^2 + 2ab + a^4 = 1.$

Alternativamente, senza utilizzare il teorema del resto, si può effettuare direttamente la divisione polinomiale, giungendo alla medesima condizione.

Dato che $Q$ è divisibile per $(ax-1)$ , vuol dire che $1/a$ è una radice di $Q$ , cioè $Q(1/a) = 0$ :

$Q\left(\frac{1}{a}\right) = \frac{b}{a^2} + \frac{1}{a} + 1 = 0 \iff b = -a^2 - a.$

Sostituendo questa espressione per $b$ nella prima equazione, abbiamo:

(20) $\begin{equation*} \begin{split} (-a^2-a)^2 + 2a(-a^2-a) + a^4 = 1; \\ 2a^4 - a^2 - 1 = 0; \\ 2(a^2-1)\left(a^2+\frac{1}{2}\right) = 0. \end{split} \end{equation*}$

Dato che l’ultimo fattore nel membro di sinistra è sempre positivo, l’unica possibilità è che $a^2 = 1$ , cioè $a = \pm 1$ , e quindi $b = -a^2 - a$ può assumere i valori

$\boxcolorato{superiori}{b=0 \vee b=-2.}$

Esercizio 56 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Un partecipante ad un test di ingresso ha risposto correttamente ad 11 quesiti avendo una media di $24$ punti. Al $12$ -esimo quesito lo studente sbaglia domanda e prende -2 punti. Quanto è la nuova media del punteggio?

Svolgimento.

La media del punteggio finale è

$\frac{p_1+\cdots + p_{12}}{12}=\frac{p_1+\cdots+p_{11}}{12}+\frac{p_{12}}{12}=\frac{11}{12}\frac{p_1+\cdots+p_{11}}{11}+\frac{p_{12}}{12}=\frac{11}{12}\cdot 24-\frac{1}{6}=\frac{131}{6}\approx 21,8.$

Perciò la risposta esatta è

$\boxcolorato{superiori}{21,8.}$

Esercizio 57 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Il prezzo di un elettrodomestico è aumentato del $17%$ e viene venduto attualmente 234 euro. Qual era il prezzo inziale di vendita?

Svolgimento.

Sia $x$ il prezzo iniziale; allora

$234=x+x\frac{17}{100}=\frac{117}{100}x \iff x=\frac{234\cdot 100}{117}=200.$

Il prezzo iniziale valeva quindi

$\boxcolorato{superiori}{200 \text{ euro.}}$

Esercizio 58 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

(21) $\begin{equation*} \dfrac{2x+3}{2x^2-18}+\dfrac{x+4}{2x^2-12x+18}=0. \end{equation*}$

Svolgimento.

Riscriviamo l’equazione come segue:

(22) $\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{2x+3}{2\left(x^2-9\right)}+\dfrac{x+4}{2\left(x^2-6x+9\right)} &= \dfrac{2x+3}{2\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{x+4}{2\left(x-3\right)^2}= \\ &= \dfrac{\left(2x+3\right)\left(x-3\right)+\left(x+4\right)\left(x+3\right)}{2\left(x+3\right)\left(x-3\right)^2}=\\ &=\dfrac{3x^2+4x+3}{2\left(x+3\right)\left(x-3\right)^2}= \\ &= \dfrac{\left(3x+2\right)^2+5}{6\left(x+3\right)\left(x-3\right)^2}= \\ &= 0 \end{split} \end{equation*}$

e notiamo che l’equazione è definita per ogni $x\in \mathbb{R}\setminus\{\pm 3\}$ . Risulta immediato notare che

$\left(3x+2\right)^2+5\neq0 \qquad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{\pm 3\},$

da cui si conclude che l’insieme delle soluzioni $\mathcal{S}$ è vuoto, ossia

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S} = \emptyset. }$

Esercizio 59 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione di secondo grado con $x \in \mathbb{R}$ :

$\sqrt{2}(x - \sqrt{2})^2 + \frac{\left(x\sqrt{2} - 1\right)^2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Svolgimento.

(23) $\begin{equation*} \begin{split} &\sqrt{2}(x - \sqrt{2})^2 + \frac{\left(x\sqrt{2} - 1\right)^2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &\iff \sqrt{2}\left(x^2 + 2 - 2x\sqrt{2}\right) + \frac{(2x^2 + 1 - 2x\sqrt{2})\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \\ &\iff \sqrt{2}x^2 + 2\sqrt{2} - 4x + \frac{2\sqrt{2}x^2 - 4x}{2} = 0 \\ &\iff 2\sqrt{2}x^2 + 4\sqrt{2} - 8x + 2\sqrt{2}x^2 - 4x = 0 \\ &\iff 4\sqrt{2}x^2 - 12x + 4\sqrt{2} = 0 \\ &\iff \sqrt{2}x^2 - 3x + \sqrt{2} = 0 \\ &\iff (\sqrt{2}x - 1)(x - \sqrt{2}) = 0 \end{split} \end{equation*}$

Soluzioni:

$\boxcolorato{superiori}{ S = \left\{ \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right\}. }$

Esercizio 60 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare il numero di coppie di interi positivi $(x,y)$ che soddisfano l’equazione diofantea:

$x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 = 2^{30}.$

Svolgimento.

Nonostante l’equazione appaia minacciosa, è relativamente semplice riportarla ad una forma più maneggevole:

$\begin{gather*} x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3 = 2^{30}; \\ (x+2y)^3 = 2^{30}; \\ x+2y = \sqrt[3]{2^{30}} = 2^{10}; \\ x = 2^{10} - 2y. \end{gather*}$

Dato che $x \geq 1$ , deve essere $2y \leq 2^{10}-1$ e quindi $y \leq 2^9 - 1/2$ , cioè $y \leq 2^9 - 1$ essendo $y$ intero. Per ogni valore intero di $y$ tale che $1 \leq y \leq 2^9 - 1$ , che sono $2^9 - 1$ possibilità, si ritrova sempre una soluzione intera per $x$ . La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{2^9-1.}$

Esercizio 61 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si determinino le soluzioni della seguente equazione:

$x^3 - 30x^2 + 108x - 104 = 0.$

Svolgimento.

Notando che $104 = 26\cdot 4$ , si può riscrivere:

(24) $\begin{equation*} \begin{split} x^3 - 4x^2 - 26x^2 + 104x + 4x - 104 = 0; \\ x^2(x-26) - 4x(x-26) + 4(x-26) = 0; \\ (x-26)(x^2-4x+4) = 0; \\ (x-26)(x-2)^2 = 0. \end{split} \end{equation*}$

Da qui, si ottengono subito le soluzioni dell’equazione, che sono cioè

$\boxcolorato{superiori}{x=26 \vee x=2.}$

Esercizio 62 $(\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare le soluzioni reali della seguente equazione nell’incognita $x$ :

$(x-1)^8 - 5(x^2-2x)(x^2-2x+2) - 1 = 0.$

Svolgimento.

Riscrivendo il prodotto nell’addendo centrale come

$(x-1)^8 - 5(x^2-2x+1-1)(x^2-2x+1+1) - 1=0,$

si riconosce il quadrato $(x-1)^2=x^2-2x+1$ e quindi l’equazione diventa

(25) $\begin{equation*} \begin{split} (x-1)^8 - 5\big((x-1)^2-1\big)\big((x-1)^2+1\big) - 1 = 0 & \iff (x-1)^8 - 5\big((x-1)^4-1\big) - 1 = 0 \\ & \iff (x-1)^8 - 5\big((x-1)^4-1\big) +4 = 0 \\ & \iff \big((x-1)^4-4\big)\big((x-1)^4-1\big)=0. \end{split} \end{equation*}$

Per la legge di annullamento del prodotto, l’equazione è quindi equivalente alle condizioni

$(x-1)^4-4=0 \quad \vee \quad (x-1)^4-1=0,$

che sono a loro volta equivalenti a

$x-1 = \pm \sqrt[4]{4} = \pm \sqrt{2} \quad \vee \quad x-1 = \pm 1.$

Ne segue che l’equazione è soddisfatta se e solo se

$\boxcolorato{superiori}{ x \in \{ 1 \pm \sqrt{2}, 0, 2\}. }$

Esercizio 63 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . I numeri $x$ ed $y$ soddisfano le seguenti disuguaglianze:

(26) $\begin{equation*} \begin{split} 2x+3y \leq {} & 23; \\ x+2 \leq {} & 3y; \\ 3y+1 \leq {} & 4x. \end{split} \end{equation*}$

Qual è il più grande valore possibile di $x$ ?

Svolgimento.

Conviene rappresentare le tre rette sul piano cartesiano, e valutare quale regione viene identificata da ciascuna disequazione. L’insieme delle soluzioni è indicato dall’area colorata. Per disegnare le rette, forse il modo più rapido è trovare le interesezioni di ciscuna retta con gli assi cartesiani (sostituendo $x = 0$ e $y = 0$ in ciascuna equazione).

$\quad$

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Figura 4.

$\quad$

Si vede che il massimo valore assunto da $x$ si ha in corrispondenza del punto $C$ . Le sue coordinate si trovano risolvendo il sistema

$\begin{cases} 2x+3y = 23; \\ x+2 = 3y; \end{cases} \implies\quad \begin{cases} x = 7; \\ y = 3. \end{cases}$

Ne segue che la risposta è

$\boxcolorato{superiori}{x=7.}$

Esercizio 64 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Dimostrare che, se $\alpha,\beta$ sono numeri reali aventi lo stesso segno, allora $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \geq 2$ .

Svolgimento.

Supponiamo che $\alpha$ e $\beta$ abbiano lo stesso segno, quindi che il rapporto fra loro sia positivo. Riscriviamo l’espressione:

$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} \geq 2 \iff \frac{\alpha^2 + \beta^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}\geq 0 \iff \frac{(\alpha-\beta)^2}{\alpha\beta}\geq 0 \iff \alpha\beta> 0,$

dato che $(\alpha-\beta)^2$ è sempre maggiore o uguale a zero.

Esercizio 65 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere la seguente disequazione:

(27) $\begin{equation*} \left \vert 9-\left \vert x+9\right \vert \right \vert\leq 9+\left \vert x-9\right \vert . \end{equation*}$

Svolgimento.

Si ha

(28) $\begin{equation*} \begin{split} \left \vert 9-\left \vert x+9\right \vert \right \vert &= \begin{cases} 9-\left \vert x+9 \right \vert \quad& \text{se}\,\, \left \vert x+9\right \vert \leq 9\\ \left \vert x+9\right \vert -9&\text{se}\,\, \left \vert x+9\right \vert > 9 \end{cases} \\ &= \begin{cases} 9-\left \vert x+9 \right \vert \quad& \text{se}\,\, -9\leq x+9\leq 9\\ \left \vert x+9\right \vert -9&\text{se}\,\, x+9<-9\,\, \vee \,\, x+9>9 \end{cases} \\ &=\begin{cases} 9-\left \vert x+9 \right \vert \quad& \text{se}\,\, -18\leq x\leq 0\\ \left \vert x+9\right \vert -9&\text{se}\,\, x<-18\,\, \vee \,\, x>0, \end{cases} \end{split} \end{equation*}$

da cui la disuguaglianza in (27) è vera se e solo se

$\underbrace{\begin{cases} 9-\left \vert x+9\right \vert\leq 9+\left \vert x-9\right \vert \\ -18 \leq x\leq 0 \end{cases}}_{I_1} \vee \quad \underbrace{ \begin{cases} \left \vert x+9 \right \vert -9 \leq 9+\left \vert x-9 \right \vert \\ x<-18 \,\, \vee \,\, x>0. \end{cases}}_{I_2}$

Per risolvere i sistemi $I_1$ e $I_2$ è utile considerare il seguente grafico

$\quad$

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$\quad$

Osservando il grafico, si deduce che $I_1$ può essere riscritto come segue:

(29) $\begin{equation*} \begin{split} &\begin{cases} x+9\leq -\left(x-9\right) \\ -18 \leq x \leq -9 \end{cases} \vee \quad \begin{cases} -\left(x+9\right)\leq -x+9\\ -9<x \leq 0 \end{cases} \iff \\ \iff & \begin{cases} x\leq 0 \\ -18 \leq x \leq -9 \end{cases} \vee \quad \begin{cases} -9\leq 9 \\ -9<x \leq 0 \end{cases} \iff \\ \iff & -18\leq x \leq-9 \quad \vee \quad -9< x \leq 0 \iff \\ \iff & -18 \leq x \leq 0. \end{split} \end{equation*}$

Procediamo analogamente per $I_2$ :

(30) $\begin{equation*} \begin{split} & \begin{cases} -x-9-9\leq9 -x+9\\ x < -18 \end{cases} \vee \begin{cases} x+9-9 \leq 9-x+9\\ 0<x<9 \end{cases} \vee \begin{cases} x+9-9\leq 9+x-9\\ x\geq 9, \end{cases} \end{split} \end{equation*}$

che è equivalente a

(31) $\begin{equation*} \begin{split} \begin{cases} -18 \leq 18\\ x < -18 \end{cases} \vee \begin{cases} x\leq 0\\ 0<x<9 \end{cases} \vee\ \begin{cases} 0\leq 0\\ x\geq 9 \end{cases}, \end{split} \end{equation*}$

ossia

$x< -18 \,\, \vee \,\,x>0.$

Quindi si conclude che la soluzione di $I_1$ è $\mathcal{S}_1=[-18,0]$ e di $I_2$ è $\mathcal{S}_2=(-\infty,-18)\cup \left(0,+\infty\right)$ . Unendo le due soluzioni si trova la soluzione $\mathcal{S}$ della disequazione (27), cioè

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\mathbb{R}. }$

Fonte: Esercizi della professoressa Teresa D’Aprile.

Esercizio 66 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione :

(32) $\begin{equation*} \left \vert 9-\left \vert x+9\right \vert \right \vert\leq 27+\left \vert x \right \vert . \end{equation*}$

Svolgimento.

L’esercizio risulta immediato invocando la disuguaglianza triangolare; Abbiamo dunque:

$\left \vert 9-\left \vert x+9\right \vert \right \vert\leq 9+\left \vert x+9 \right \vert \leq 9+\left \vert x \right \vert +9=18 +\left \vert x \right \vert \leq 27+\left \vert x \right \vert,\quad \forall x \in \mathbb{R}.$

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ di (32) è:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\mathbb{R}. }$

Fonte: Esercizi della professoressa Teresa D’Aprile.

Esercizio 67 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se $x$ è un numero reale negativo, allora:

$\quad$

$x+\vert x \vert=0$ ;

$x-\vert x\vert >0$ ;

$x\cdot \vert x\vert >0$ ;

$\vert x\vert < 0$ ;

$-x\cdot \vert x\vert<0$ ;

Svolgimento.

Visto che $x$ è un numero negativo, allora $\vert x\vert=-x$ , perciò $x+\vert x\vert =x-x=0$ . La risposta è quindi la

$\boxcolorato{superiori}{\text{A).}}$

Esercizio 68 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione $\vert x^2+1\vert <1$ nel campo dei numeri reali $\mathbb R$ .

Svolgimento.

Osserviamo che $x^2+1$ è sempre positivo, quindi il suo valore assoluto è sempre $x^2+1$ e dobbiamo risolvere

$x^2+1<1\implies x^2<0$

che è impossibile.

Esercizio 69 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione:

$\dfrac{x^2-\left( \sqrt{5}-\pi\right)x-\sqrt{5}\pi}{-x^2-1}\leq 0.$

Svolgimento.

Riscriviamo la disequazione come segue:

(33) $\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{x^2-\left( \sqrt{5}-\pi\right)x-\sqrt{5}\pi}{-x^2-1}&=-\dfrac{x^2- \sqrt{5}x+\pi x-\sqrt{5}\pi}{x^2+1}=\\ &=-\dfrac{x\left(x-\sqrt{5}\right)+\pi\left(x-\sqrt{5}\right)}{x^2+1}=\\ &=-\dfrac{\left(x+\pi\right)\left(x-\sqrt{5}\right)}{x^2+1}\leq 0, \end{split} \end{equation*}$

cioè

$\dfrac{\left(x+\pi\right)\left(x-\sqrt{5}\right)}{x^2+1}\geq 0.$

Studiamo i fattori del numeratore maggiori uguale a zero:

(34) $\begin{equation*} \begin{split} &x\geq -\pi,\\ &x\geq \sqrt{5}\\ \end{split} \end{equation*}$

e il denominatore maggiore di zero:

$x^2+1>0 \quad \forall x \in\mathbb{R}.$

Applicando il metodo dei segni, si ha il seguente grafico:

$\quad$

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$\quad$

Prendendo le soluzioni positive si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ della disequazione è

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\bigg(-\infty,-\pi\bigg]\cup \bigg[\sqrt{5},+\infty\bigg). }$

Esercizio 70 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione:

$\dfrac{x-2}{x+1}+\dfrac{x+4}{2x-5}<0.$

Svolgimento.

Riscriviamo la disequazione come segue:

(35) $\begin{equation*} \begin{split} \dfrac{x-2}{x+1}+\dfrac{x+4}{2x-5}=\dfrac{\left(x-2\right)\left(2x-5\right)+\left(x+4\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(2x-5\right)}=\dfrac{3x^2-4x+14}{\left(x+1\right)\left(2x-5\right)}<0. \end{split} \end{equation*}$

Osserviamo che il discriminante del numeratore è

$\Delta =16-4\cdot 3 \cdot 14=-152<0,$

quindi

$3x^2-4x+14>0 \quad \forall x \in \mathbb{R},$

mentre i fattori al denominatore sono maggiori di zero rispettivamente per

$x>-1 \quad \text{e}\quad x>\dfrac{5}{2}.$

Effettuando lo studio del segno si ottiene il seguente grafico:

$\quad$

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$\quad$

Prendendo le soluzioni negative si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ della disequazione è

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left(-1,\dfrac{5}{2}\right). }$

Esercizio 71 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\frac{x^2+1}{x^2}\geq 1.$

Svolgimento.

Osserviamo che $x^2$ è sempre positivo e $x^2$ è sempre minore di $x^2+1$ , perciò il rapporto fra $x^2+1$ e $x^2$ supera $1$ . Dato che stiamo facendo un rapporto, dobbiamo tenere conto che il calcolo ha senso solo quando il denominatore è diverso da $0$ , perciò solo per $x\neq 0$ . Quindi la disequazione è valida per

$\boxcolorato{superiori}{ x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}. }$

Esercizio 72 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $k$ un parametro reale e si consideri il sistema nella incognite $x$ e $y$

$\begin{cases} 2x+ky = 4; \\ x+y = k. \end{cases}$

Per quali valori di $k$ il sistema ammette come soluzioni coppie di interi positivi?

Svolgimento.

Ricavando $x = k-y$ dalla seconda equazione e sostituendolo nella prima abbiamo:

$2(k-y) + ky = 4 \iff (k-2)y = -2(k-2).$

Se $k \ne 2$ possiamo semplificare il fattore $k-2$ ottenendo $y = -2$ . In questo caso non esistono quindi soluzioni sugli interi positivi. Se invece $k = 2$ , l’equazione è verificata per qualsiasi valore di $y$ . Sostituendo $k = 2$ nel sistema di partenza, ci si riconduce all’equazione:

$x+y = 2,$

che ammette la coppia $(x,y) = (1,1)$ come soluzione sugli interi positivi. La risposta è dunque

$\boxcolorato{superiori}{k=2.}$

Esercizio 73 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere il sistema di equazioni

$\begin{cases} x+3y=1 \\ 7x+21y=7. \end{cases}$

Svolgimento.

Osserviamo che la seconda equazione è $7$ volte la prima. In altre parole, è ridondante e non serve per determinare lo spazio delle soluzioni del sistema, che è semplicemente l’insieme delle coppie $(x,y)$ per cui $x=-3y+1$ , ovvero l’insieme delle coppie $(-3y+1,y)$ al variare di $y$ nell’insieme dei numeri reali.

Esercizio 74 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il valore del radicale

$\sqrt[5]{\frac{7^3\cdot 7^{13}\cdot7^{-5}+ (7^2)^{7}}{7^4+7}}$

Svolgimento.

Il radicale si può riscrivere come

$\sqrt[5]{\frac{7^3\cdot 7^{13}\cdot7^{-5}+ (7^2)^{7}}{7^4+7}}=\sqrt[5]{\frac{ 7^{11}(1+7^3)}{7\cdot \left(7^3+1\right)}}=\sqrt[5]{7^{10}}=49.$

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{49.}$

Esercizio 75 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Quale dei seguenti insiemi numerici è formato da un solo elemento?

$\quad$

$\{x \in\mathbb R \colon x^2 =-x\}$ ;

$\{x \in\mathbb R \colon x \leq 13\}$ ;

$\{x \in\mathbb R \colon x^2 = -2x - 1\}$ ;

$\{x \in\mathbb R \colon x^2 + 1 = 0\}$ ;

$\{x \in\mathbb R \colon x^2 - 12 = 0\}$ .

Svolgimento.

$x^2 = -x$
Questa equazione ha due soluzioni: $x = 0$ e $x = -1$ . L’insieme è composto di due elementi.

$x \leq 13$
Questo insieme contiene infiniti numeri reali minori o uguali a 13, quindi non è un insieme con un solo elemento.

$x^2 = -2x -1$
Risolvendo l’equazione $(x -1)^2 = 0$ , troviamo l’unica soluzione $x = -1$ . L’insieme contiene un solo elemento.

$x^2 + 1 = 0$
Questa equazione non ha soluzioni reali, quindi l’insieme è vuoto.

$x^2 - 12 = 0$
Le soluzioni sono $x = \sqrt{12}$ e $x = -\sqrt{12}$ , quindi l’insieme contiene due elementi.

La risposta corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{C).}}$

Esercizio 76 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si determinino le radici reali dei seguenti polinomi di secondo grado:

$\quad$

$x^2-5x+6$

$2x^2+3x-6$

$-x^2+3x-2$

$x^2+10x+1$ .

Svolgimento.

Per la tecnica del completamento del quadrato, dato un polinomio di secondo grado $p(x)=ax^2+bx+c$ e definito il discriminante come $\Delta=b^2-4ac$ , si ha che le radici di $p(x)$ , a patto che risulti $\Delta\geq 0$ , sono date da $\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ . In particolare:

$\quad$

Le radici di $x^2-5x+6$ sono
$\boxcolorato{superiori}{2, 3;}$

Le radici di $2x^2+3x-6$ sono
$\boxcolorato{superiori}{\frac{-3\pm\sqrt{57}}{4};}$

Le radici di $-x^2+3x-2$ sono
$\boxcolorato{superiori}{1, 2;}$

Le radici di $x^2+10x+1$ sono
$\boxcolorato{superiori}{-5\pm 2\sqrt{6}.}$

Esercizio 77 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Sappiamo che $\alpha$ e $\beta$ sono le radici del polinomio $x^2-3x+1$ . Si dimostri che

$\alpha^8+\beta^8 = 2207.$

Svolgimento.

Dal Teorema di Viète sappiamo che $(\alpha+\beta)=3$ e $\alpha\beta=1$ . In particolare:

(36) $\begin{equation*} \begin{split} (\alpha^2+\beta^2) &= (\alpha+\beta)^2 -2\alpha\beta = 3^2-2 = 7,\\ (\alpha^4+\beta^4) &= (\alpha^2+\beta^2)^2 - 2\alpha^2\beta^2 = 7^2-2 = 47,\\ (\alpha^8+\beta^8) &= (\alpha^4+\beta^4)^2 - 2\alpha^4\beta^4 = 47^2-2 = 2207. \end{split} \end{equation*}$

Esercizio 78 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Si determinino i valori del parametro $k\in\mathbb{R}$ per cui l’equazione

$\tfrac{1}{2}(x-1)^2 = kx-1$

ha esattamente due soluzioni reali distinte.

Svolgimento.

L’equazione data è equivalente all’equazione $(x-1)^2 = 2kx-2$ , a sua volta equivalente all’equazione:

$x^2-(2k+2) x +3 = 0.$

Si hanno due soluzioni reali distinte se e solo se il polinomio $x^2-(2k+2)x+3$ ha discriminante positivo, ossia se e solo se:

$(k+1)^2 > 3,$

che è equivalente a:

$\boxcolorato{superiori}{ k>(\sqrt{3}-1)\quad\text{oppure}\quad k<-(\sqrt{3}+1). }$

Esercizio 79 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Sappiamo che nel piano cartesiano il grafico di un polinomio di secondo grado $p(x)$ passa dal punto $(0,3)$ ed è tangente alla retta
di equazione $y=x$ nel punto $(6,6)$ . Quanto vale $p(12)$ ?

Svolgimento.

Le parabole (con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate) che passano dai punti $(0,3)$ e $(6,6)$ hanno equazione

$p(x) = \alpha x^2 + \left(\frac{1}{2}- 6\alpha\right) x + 3,$

ma affinché la retta di equazione $y=x$ sia tangente al grafico di $p(x)$ , il discriminante di $p(x)-x$ deve essere nullo. Da ciò segue $\alpha=\frac{1}{12}$ , $p(x)=\frac{x^2}{12}+3$ e

$\boxcolorato{superiori}{p(12)=15.}$

Esercizio 80 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Qual è il più grande valore di $\tau\in\mathbb{R}$ per cui $p(x)=x^2-\tau x+4$ ha almeno una radice reale?

Svolgimento.

Un polinomio di secondo grado ha almeno una radice reale se e solo se il suo discriminante è non negativo. Il discriminante di $x^2-\tau x+4$ è $\tau^2-16$ , che è certamente positivo per ogni $\tau>4$ . In particolare, non esiste alcun massimo.

Esercizio 81 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si determinino le soluzioni reali della seguente equazione:

$(x-2)(x-3)-4(x-3)(x-4)+(x-4)(x-5)=0.$

Svolgimento.

L’equazione data è equivalente a:

$x^2-7x+11 = 0,$

che ammette le soluzioni

$\boxcolorato{superiori}{x=\frac{7\pm\sqrt{5}}{2}.}$

Esercizio 82 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $a$ un parametro reale, e si consideri l’equazione:

$x^2 + ax + a = 1.$

$\quad$

Per quali valori di $a$ l’equazione ha radici reali distinte?

Per quali valori di $a$ le radici sono una il doppio dell’altra?

Per quali valori di $a$ le radici sono una l’inversa dell’altra?

Per quali valori di $a$ la somma dei reciproci delle radici è pari a 1?

Svolgimento.

Si ricordi che la somma ed il prodotto delle radici $x_1$ e $x_2$ dell’equazione $x^2 + ax + (a-1) = 0$ sono dati da:

$x_1 + x_2 = -a, \qquad x_1\cdot x_2 = a-1.$

$\quad$

Il discriminante della corrispondente equazione di secondo grado è:
$\Delta = a^2 - 4(a-1) = (a-2)^2.$

Essendo un quadrato, $\Delta > 0$ per ogni valore di $a$ , ad eccezione del caso $\Delta = 0$ , cioè

$\boxcolorato{superiori}{a = 2.}$

Affinché $x_1 = 2x_2$ , dovremo avere:
$\begin{cases} x_1 = 2x_2; \\ x_1 + x_2 = -a; \\ x_1\cdot x_2 = a-1. \end{cases} \implies \qquad \begin{cases} x_1 = 2x_2; \\ 3x_2 = -a; \\ 2x_2^2 = a-1. \end{cases}$

Dalla seconda equazione si trova $a = -3x_2$ , quindi sostituendo nella terza si trova $2a^2-9a+9 = 0$ che fornisce $a = 3$ oppure $a = 3/2$ . La simmetria delle equazioni porta allo stesso risultato nel caso $x_2 = 2x_1$ . La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{a=3, \quad a=\frac{3}{2}.}$

Affinché la condizione abbia significato, è necessario che $x_1,x_2 \ne 0$ . Questa condizione si traduce in $a \ne 1$ . Se $x_1 = 1/x_2$ , allora $x_1\cdot x_2 = 1$ , e quindi $a - 1 = 1$ , cioè
$\boxcolorato{superiori}{a = 2.}$

Anche qui richiediamo che $a \ne 1$ in modo che $x_1 \ne 0 \ne x_2$ . Per ipotesi abbiamo:
$1 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2} = \frac{-a}{a-1}.$

Dato che $a-1 \ne 0$ , ci riconduciamo all’equazione $-a = a-1$ e quindi

$\boxcolorato{superiori}{a=\frac{1}{2}.}$

Esercizio 83 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Siano $a$ , $b$ , $c$ , $d$ numeri reali arbitrari. Sotto quale condizione le due curve $y = ax^2+c$ e $y = bx^2 + d$ hanno esattamente due punti di intersezione?

Svolgimento.

Le intersezioni delle due curve sono le soluzioni reali dell’equazione

$ax^2 + c = bx^2 + d \iff (a-b)x^2 = d-c.$

Se $a = b$ , questa equazione non ha nessuna soluzione (se $d \ne c$ ) oppure infinite (se $d = c$ ), quindi comunque non due. Se $a \ne b$ , dividendo ambo i membri per $a-b$ otteniamo:

$x^2 = \frac{d-c}{a-b}.$

Questa equazione ha due soluzioni (reali) distinte se e solo se il membro di destra è strettamente positivo, cioè se i fattori $(d-c)$ e $(a-b)$ hanno segno concorde, che è equivalente alla condizione

$\boxcolorato{superiori}{(d-c)(a-b) > 0.}$

Esercizio 84 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$27x^3+1=0.$

Svolgimento.

L’equazione presenta solo due termini, quindi può essere portato nella forma canonica $x^n=a\in\mathbb{R}$ .

Iniziamo portando a sinistra il termine con l’incognita e a destra il termine noto:

$27x^3=-1,$

e isoliamo il termine $x^3$ , dividendo entrambi i membri per il suo coefficiente, e semplifichiamo:

$27x^3=-1\quad \Leftrightarrow \quad \frac{27x^3}{27}=\frac{-1}{27}\quad \Leftrightarrow \quad x^3=-\frac{1}{27}.$

Adesso che abbiamo la forma canonica notiamo che la potenza dell’incognita è dispari, quindi l’equazione ammette una soluzione reale; nella fattispecie applichiamo a entrambi i membri la radice cubica ottenendo:

$\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{\frac{-1}{27}},$

e risolvendo infine la radice si ottiene:

$x=\frac{-1}{\sqrt[3]{27}}=\frac{-1}{3}=-\dfrac{1}{3} .$

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{x \in \mathbb{R}:\,x=-\dfrac{1}{3}\right\}. }$

Fonte: Esercizi della professoressa Teresa D’Aprile.

Esercizio 85 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$36x^6-81=0.$

Svolgimento.

L’equazione presenta solo due termini; procediamo quindi analogamente all’esercizio precedente lasciando a sinistra il termine con l’incognita e portando a destra il termine noto ottenendo:

$36x^6=81.$

Portiamo l’equazione nella forma canonica $x^n=a$ dividendo ambo i membri per il coefficiente del termine incognito e semplifichiamo:

$36x^6=81 \iff \frac{36x^6}{36}=\frac{81}{36} \iff x^6=\frac{9\cdot9}{4\cdot9}\iff x^6=\frac{9}{4}.$

La potenza è pari, dato che il termine a destra è positivo possiamo applicare a entrambi i membri la radice sesta, ottenendo:

$\sqrt[6]{x^6}=\sqrt[6]{\frac{9}{4}}$

e quindi

$x=\pm\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}.$

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{x \in \mathbb{R}:\,x=\pm\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}}\right\}. }$

Fonte: matematika.it

Esercizio 86 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$x^4+4=0.$

Svolgimento.

Possiamo ottenere la forma canonica $x^n=a$ semplicemente portando il termine noto a destra ottenendo

$x^4=-4.$

Notando che la potenza è pari e che il membro a destra è negativo, concludiamo subito che l’equazione non ha soluzioni reali.

Fonte: matematika.it

Esercizio 87 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$x^4-16x^2=0.$

Svolgimento.

Il primo passo per la risoluzione è la scomposizione in fattori e, in seguito, la risoluzione dell’equazione associata ad ogni fattore; il trucco è scomporre finché tutti i fattori non siano polinomi che, uguagliati a 0, portino a equazioni facilmente risolvibili.

In questo caso possiamo scomporre facilmente il polinomio applicando un raggruppamento totale:

$x^4-16x^2=0\iff x^2(x^2-16)=0.$

Adesso risolviamo le equazioni associate ai fattori (ricordiamo che l’insieme delle soluzioni di un polinomio è l’unione delle soluzioni delle equazioni associate ad ogni suo fattore):

$\begin{gathered} x^2=0 \iff x=0 \qquad (\text{due soluzioni reali e coincidenti})\\ x^2-16=0 \iff x^2=16 \iff x=\pm 4. \end{gathered}$

L’insieme delle soluzioni è dunque dato da

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\{-4,0,4\}, }$

dove $0$ ha molteplicità $2$ .

Fonte: matematika.it

Esercizio 88 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$x^5-3x^4-3x^3=0.$

Svolgimento.

Notiamo che possiamo raccogliere un fattore $x^3$ da tutti i termini, ottenendo:

$x^5-3x^4-3x^3=0 \iff x^3(x^2-3x-3)=0,$

da cui

$x^3=0 \iff x=0,$

$x^2-3x-3=0,$

che ha come soluzioni

$\Delta=(-3)^2-4\cdot(-3)=9+12=21, \implies x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2},$

ottenute applicando la formula risolutiva.

La soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{\frac{3-\sqrt{21}}{2},0,\frac{3+\sqrt{21}}{2}\right\} }$

dove $x=0$ ha molteplicità 3.

Fonte: matematika.it

Esercizio 89 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$x^3+3x^2+x+3=0.$

Svolgimento.

Possiamo fare un raccoglimento parziale raccogliendo una $x^2$ dai primi due termini e un $1$ dagli ultimi due:

(37) $\begin{equation*} \begin{split} x^3+3x^2+3x+1=0 &\iff x^2(x+3)+1(x+3)=0 \iff \\ & \iff (x+3)(x^2+1)=0. \end{split} \end{equation*}$

Il primo fattore porta all’equazione $x+3=0$ che ha per soluzione $x=-3$ , il secondo fattore porta all’equazione $x^2+1=0$ che non ammette soluzioni reali.

In conclusione l’insieme delle soluzioni è dato da

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{-3\right\}. }$

Se ne deduce che l’equazione ha una soluzione reale e due non reali (più precisamente ha due soluzioni complesse e coniugate).

matematika.it

Esercizio 90 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$x^3-2x+1=0.$

Svolgimento.

Il polinomio $p(x)=x^3-2x+1$ è fattorizzabile applicando la regola di Ruffini, procediamo quindi trovando, tra i divisori del termine noto, una radice del polinomio. Il termine noto è pari a $1$ e i suoi divisori sono $\pm1$ . Sostituiamo $x=1$ nel polinomio $p(x)$ e otteniamo:

$p(1)=1^3-2\cdot1+1=0,$

da cui

$\begin{equation*} \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & & & \\ \cline{1-5} & & & & \\ \end{tabular} \quad\longrightarrow\quad \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & & & \\ \cline{1-5} & 1 & & & \\ \end{tabular} \quad\longrightarrow\quad \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & 1& & \\ \cline{1-5} & 1 & 1& & \\ \end{tabular} \end{equation*}$

\newline

$\begin{equation*} \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & -1& +1 & \\ \cline{1-5} & 1 & 1& -1 & \\ \end{tabular} \quad\longrightarrow\quad \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & 0 & -2 &1\\ 1 & & -1& +1 & -1\\ \cline{1-5} & 1 & 1& -1 & 0 \\ \end{tabular} \end{equation*}$

Pertanto il polinomio $p(x)$ può essere riscritto come segue:

$p(x)=x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1),$

e quindi

$(x-1)(x^2+x-1)=0.$

Risolviamo

$(x-1)=0 \iff x=1$

$x^2+x-1=0,$

che ha come soluzione

$\Delta=1^2-4\cdot(-1)=5, \implies x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2},$

da cui si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2},1,\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}. }$

Altrimenti si poteva procedere osservando che

(38) $\begin{equation*} \begin{split} x^3-2x+1 &= x^3-x-x+1= \\ &= x(x^2-1)-(x-1)= \\ &= x(x-1)(x+1)-(x-1)=\\ &=(x-1)(x(x+1)-1)= \\ &=(x-1)(x^2+x-1), \end{split} \end{equation*}$

pertanto

$(x-1)(x^2+x-1)=0,$

concludendo nuovamente con le medesime soluzioni.

Fonte: matematika.it

Esercizio 91 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$8x^6-7x^3-1=0.$

Svolgimento.

L’equazione è una trinomia, infatti il polinomio nel membro a sinistra contiene solo tre termini di cui un termine noto, un monomio di grado 3 ed un monomio di grado 6 (doppio rispetto all’altro).

L’equazione può essere riscritta come

$8(x^3)^2-7(x^3)-1=0,$

e, utilizzando la sostituzione $t=x^3$ , otteniamo

$8t^2-7t-1=0.$

L’equazione che ne risulta è di secondo grado; possiamo quindi applicare la formula risolutiva:

$\Delta=(-7)^2-4(-1)(8)=49+32=81$

$t_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{81}}{2\cdot8}= \frac{7\pm9}{16} \qquad \implies \qquad t_1=1, \quad t_2 = -\frac{1}{8},$

da cui si ottengono le soluzioni

$t_1 = 1 \implies x^3 = 1 \implies x = \sqrt[3]1=1,$

$t_2 = -\frac{1}{8} \implies x^3 = -\frac{1}{8} \implies x = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}}= -\frac{1}{2}.$

Quindi la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{1,-\frac{1}{2}\right\}. }$

Fonte: matematika.it

Esercizio 92 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$2(x^2-1)(x^2+3)+7x=7x^3.$

Svolgimento.

Per prima cosa portiamo tutti i membri dell’equazione a sinistra, poi raccogliamo il $7x$ :

(39) $\begin{equation*} \begin{split} 2(x^2-1)(x^2+3)+7x=7x^3 &\iff 2(x^2-1)(x^2+3)+7x-7x^3=0\\ &\iff 2(x^2-1)(x^2+3)+7x(1-x^2)=0. \end{split} \end{equation*}$

Notiamo che entrambi i termini hanno in comune un fattore $(x^2-1)$ , possiamo dunque raccoglierlo:

(40) $\begin{equation*} \begin{split} 2(x^2-1)(x^2+3)+7x(1-x^2)=0 & \iff \left(x^2-1\right)\left(2\left(x^2+3\right)-7x\right)=0 \\ & \iff (x^2-1)(2x^2-7x+6)=0, \end{split} \end{equation*}$

da cui

$x^2-1=0 \iff x^2=1 \iff x=\pm 1$

$2x^2-7x+6=0,$

che ha come soluzione

$\Delta=(-7)^2-4(6)(2)=49-48=1 \implies x_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{1}}{2\cdot2}= \frac{7\pm1}{4}.$

Pertanto

$x_1 = 2, \qquad x_2 = \dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}.$

Quindi la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{\pm1,\dfrac{3}{2},2\right\}. }$

Fonte: matematika.it

Esercizio 93 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$\frac{x^2-3x}{2x}-\frac{x-2}{x-1}=0.$

Svolgimento.

L’equazione è fratta quindi la prima cosa da fare, dopo aver fattorizzato i denominatori (in questo caso sono ridotti ai minimi termini), è determinare il campo di esistenza. Imponiamo i fattori dei denominatori diversi da 0:

$\begin{cases} 2x \neq 0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 1. \end{cases}$

Procediamo calcolando il m.c.m. e sommando le due frazioni:

(41) $\begin{equation*} \begin{split} \frac{x^2-3x}{2x}-\frac{x-2}{x-1}=0 & \iff \frac{(x^2-3x)(x-1)-(x-2)(2x)}{2x(x-1)}=0\\ &\iff \frac{x^3-x^2-3x^2+3x-2x^2+4x}{2x(x-1)}=0 \\ & \iff \frac{x^3-x^2-3x^2+3x-2x^2+4x}{2x(x-1)}=0\\ &\iff \frac{x^3-6x^2+7x}{2x(x-1)}=0. \end{split} \end{equation*}$

Dato che il denominatore, sotto le condizioni del campo di esistenza, è sempre diverso da $0$ , possiamo semplificare ottenendo

$x^3-6x^2+7x=0.$

Quindi riprendendo dall’ultimo risultato ottenuto si ha:

$x(x^2-6x+7)=0,$

da cui $x=0$ è una soluzione che non possiamo accettare in quanto non è contenuta nel campo di esistenza.

Per risolvere $x^2-6x+7=0$ utilizziamo la classica formula risolutiva:

$\Delta=(-6)^2-4(7)=36-28=8, \implies x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt{2}}{2}.$

Raccogliendo un $2$ da numeratore e semplificandolo con il denominatore otteniamo le due soluzioni:

$x_{1,2}=3\pm\sqrt{2},$

che sono accettate dal campo di esistenza.

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{3-\sqrt{2},3+\sqrt{2}\right\} }.$

Fonte: matematika.it

Esercizio 94 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$\frac{4}{x^3+1}-\frac{4x^3+3}{x^6-1}=8.$

Svolgimento.

Riscriviamo l’equazione come segue:

(42) $\begin{equation*} \begin{split} \frac{4}{x^3+1}-\frac{4x^3+3}{x^6-1}=8 & \iff \frac{4}{x^3+1}-\frac{4x^3+3}{\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)}=8\\ &\iff \dfrac{4\left(x^3-1\right)-\left(4x^3+3\right)-8\left(x^6-1\right)}{\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)}=0 \\ & \iff \dfrac{-8x^6+1}{\left(x^3-1\right)\left(x^3+1\right)}=0. \end{split} \end{equation*}$

Osserviamo che la condizione di esistenza dell’equazione è $\{x\in \mathbb{R}:\,x\neq \pm 1 \}$ , quindi, posto $x\neq \pm 1$ , si ha

$-8x^6+1=0\iff x^6=\dfrac{1}{8} \iff x=\pm \dfrac{1}{\sqrt[6]{8}}=\pm \dfrac{1}{\sqrt[6]{2^3}}=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}},$

dove si è moltiplicato per $x^6-1$ ambo i membri dell’equazione. Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{-\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right\}. }$

Fonte: matematika.it

Esercizio 95 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$(x^2-2)^2-4x^2+11=0.$

Svolgimento.

Facciamo i calcoli:

(43) $\begin{equation*} \begin{split} (x^2-2)^2-4x^2+11=0 &\iff x^4-4x^2+4-4x^2+11=0 \\ &\iff x^4-8x^2+15=0. \end{split} \end{equation*}$

Osserviamo che l’equazione è una trinomia, quindi è comodo porre $t=x^2$ , da cui:

$t^2-8t+15=0,$

cioè

$\Delta=(-8)^2-4(15)=64-60=4,\implies t_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{8\pm2}{2},$

dove abbiamo applicato la formula risolutiva, da cui

$t_1=\dfrac{10}{2}=5, \quad t_2=\dfrac{6}{2}=3.$

Quindi, ricordando che $t=x^2$ , si ha

(44) $\begin{equation*} \begin{split} x^2=5 \iff x=\pm\sqrt{5},\\ x^2=3 \iff x=\pm\sqrt{3}. \end{split} \end{equation*}$

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{\pm\sqrt{5},\pm\sqrt{3}\right\}. }$

Fonte: matematika.it

Esercizio 96 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$x^4-5x^3+2x^2+20x-24.$

Svolgimento 1.

Osserviamo quanto segue:

(45) $\begin{equation*} \begin{split} x^4-5x^3+2x^2+20x-24 &= \left(x^4+2x^2-24\right)+\left(-5x^3+20x\right)= \\ &= \left(x^2+6\right)\left(x^2-4\right)-5x\left(x^2-4\right)=\\ &= \left(x^2-4\right)\left(x^2-5x+6\right)= \\ &= \left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+3\right)= \\ &= \left(x-2\right)^2\left(x+2\right)\left(x+3\right), \end{split} \end{equation*}$

da cui

$x^4-5x^3+2x^2+20x-24=0 \iff \left(x-2\right)^2\left(x+2\right)\left(x+3\right)=0.$

È facile dedurre che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{\pm 2,-3 \right\}. }$

Svolgimento 2.

Proviamo a scomporre il polinomio $p(x)=x^4-5x^3+2x^2+20x-24$ applicando la regola di Ruffini; cerchiamo i divisori del termine noto $-24$ , per semplicità lo scomponiamo prima in fattori primi:

$\begin{equation*} \begin{array}{c|c} 24 & 2\\ \cline{1-1} 12 & 2\\ 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 \end{array} \end{equation*}$

quindi $24=2^3\cdot3$ e i divisori di $24$ sono $D=\left\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24\right\}$ . Si ha

(46) $\begin{equation*} \begin{split} p(1)&=1^4-5\cdot1^3+2\cdot1^2+20\cdot1-24=\\ &=1-5+2+20-24= \\ &=-6\neq0,\\[7pt] p(-1)&=(-1)^4-5\cdot(-1)^3+2\cdot(-1)^2+20\cdot(-1)-24=\\ &=1+5+2-20-24= \\ &= -36\neq0,\\[7pt] p(2)&=2^4-5\cdot2^3+2\cdot2^2+20\cdot2-24=\\ &=16-40+8+40-24= \\ &=0. \end{split} \end{equation*}$

Procediamo con la divisione:

$\begin{equation*} \begin{tabular}{l|llll|l} & 1 & -5 & 2 &20&-24\\ 2 & & & & & \\ \cline{1-6} & & & & & \\ \end{tabular} \quad\longrightarrow\quad \begin{tabular}{l|llll|l} & 1 & -5 & 2 &20&-24\\ 2 & & 2 & -6 & -8 & 24\\ \cline{1-6} & 1 & -3 & -4 & 12 & 0\\ \end{tabular} \end{equation*}$

Quindi la fattorizzazione del polinomio $p(x)$ è la seguente:

$p(x)=(x-2)(x^3-3x^2-4x+12).$

Anche il fattore di grado $3$ si può scomporre applicando la regola di Ruffini e, dato che il termine noto è $12$ , metà di $24$ , possiamo utilizzare gli stessi divisori usati in precedenza, tranne il $24$ stesso. Dato $q(x)=x^3-3x^2-4x+12$ osserviamo che:

(47) $\begin{equation*} \begin{split} q(2)&=2^3-3\cdot2^2-4\cdot2+12=8-12-8+12=0. \end{split} \end{equation*}$

Procediamo di nuovo con la divisione:

$\begin{equation*} \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & -3 & -4 &12\\ 2 & & & & \\ \cline{1-5} & & & & \\ \end{tabular} \quad\longrightarrow\quad \begin{tabular}{l|lll|l} & 1 & -3 & -4 &12\\ 2 & & 2 & -2 & -12 \\ \cline{1-5} & 1 & -1 & -6 & 0 \\ \end{tabular} \end{equation*}$

Quindi si ha:

(48) $\begin{equation*} \begin{split} p(x) &= (x-2)(x^3-3x^2-4x+12)= \\ &= (x-2)(x-2)(x^2-x-6)= \\ &= (x-2)^2(x^2-x-6) \end{split} \end{equation*}$

e l’equazione diventa

$(x-2)^2(x^2-x-6)=0.$

Risolvendo le equazioni associate ai singoli fattori si ottiene:

$(x-2)^2=0 \iff x=2 \qquad \text{di molteplicità 2},$

mentre per $x^2-x-6=0$ può essere risolto applicando la formula risolutiva:

$\Delta=(-1)^2-4(-6)=1+24=25 \implies x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2},$

ovvero

$x_1=3, \qquad x_2=-2.$

L’insieme delle soluzioni è dato dunque da

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{-2,2,3\right\} }$

Fonte: matematika.it

Esercizio 97 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’insieme dei numeri reali:

$(x^2-3)^6+13(x^2-3)^3+40=0.$

Svolgimento.

Poniamo $y=(x^2-3)$ e otteniamo

$y^6+13y^3+40=0.$

L’equazione ottenuta è un’equazione \textit{trinomia}, quindi poniamo $t=y^3$ , ottenendo

$t^2+13t+40=0.$

Chiaramente $y$ e $t$ sono \textit{variabili mute} ovvero è possibile usare qualsiasi nome per denominarle, non necessariamente $y$ e $t$ ; l’importante, come sempre, è mantenere la coerenza.

Per risolvere l’equazione applichiamo la formula risolutiva:

$\Delta=(13)^2-4\cdot40=169-160=9,\implies t_{1,2}=\frac{-13\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-13\pm3}{2},$

ovvero

$t_1=-5, \qquad t_2=-8.$

Procedendo a retroso, si ha:

$\begin{gathered} y^3=-5 \iff y=-\sqrt[3]{5},\\ y^3=-8 \iff y=-\sqrt[3]{8}=-2, \end{gathered}$

quindi

$\begin{gathered} x^2-3=-\sqrt[3]{5} \iff x^2=3-\sqrt[3]{5},\\ x^2-3=-2 \iff x^2=3-2=1. \end{gathered}$

Dato che $3-\sqrt[3]{5}$ e $1$ sono numeri positivi, si ottengono le soluzioni

$\begin{gathered} x^2=3-\sqrt[3]{5} \iff x=\pm\sqrt{3-\sqrt[3]{5}},\\ x^2=1 \iff x=\pm\sqrt{1}=\pm1. \end{gathered}$

Si conclude che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{-\sqrt{3-\sqrt[3]{5}},-1,1,\sqrt{3-\sqrt[3]{5}}\right\}. }$

Fonte: matematika.it

Esercizio 98 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Elevando alla quarta i due membri di un’equazione si ottiene un’equazione che:

$\quad$

Ha le stesse soluzioni di quella iniziale;

Può avere meno soluzioni di quella iniziale;

Può avere più soluzioni di quella iniziale;

Non ha alcuna relazione con l’equazione iniziale;

Ha infinite soluzioni.

Svolgimento.

Elevando alla quarta entrambi i membri di un’equazione, questa può avere soluzioni aggiuntive che non soddisfano l’equazione originale. Questo accade perché l’elevazione alla quarta di un numero positivo e quello di un numero negativo producono lo stesso valore. Ad esempio l’equazione $x=1$ ha una sola solzione, mentre $x^4=1^4=1$ ha due soluzioni reali, ovvero $x=\pm 1$ .

Viceversa, poiché se $a=b$ allora $a^4=b^4$ , tutte le soluzioni dell’equazione di partenza sono anche soluzioni dell’equazione elevata alla quarta potenza.

Pertanto, l’equazione alla quarta può avere più soluzioni rispetto a quella iniziale.

La risposta corretta è la

$\boxcolorato{superiori}{\text{C).}}$

Esercizio 99 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare le soluzioni reali della seguente equazione:

(49) $\begin{equation*} x^3-3x-14=0. \end{equation*}$

Suggerimento: si consiglia di operare la sostituzione $x=t+\frac{1}{t}$ .

Svolgimento.

Si può notare che, poiché eventuali radici razionali dell’equazione devono essere divisori del termine noto, effettuando i vari tentativi si vede che il polinomio non possiede radici razionali. Utilizziamo dunque il suggerimento dato. Posto $x=t+\frac{1}{t}$ con $t \neq 0$ , (49) diventa

(50) $\begin{equation*} \begin{split} \left(t+\frac{1}{t}\right)^3 - 3 \left(t+\frac{1}{t}\right) -14=0 & \iff t^3 + 3t + \frac{3}{t} + \frac{1}{t^3} - 3 \left(t+\frac{1}{t}\right) -14=0 \\ & \iff t^3 + \frac{1}{t^3} - 14=0. \end{split} \end{equation*}$

Moltiplicando ambo i membri per $t^3$ abbiamo l’equazione equivalente

$t^6-14t^3+1=0.$

Ponendo ora $t^3=z$ nella precedente, otteniamo

$z^2-14z+1=0 \iff z_{1,2}=7 \pm 4\sqrt{3}$

da cui

$t_{1,2} = \sqrt[3]{7 \pm 4\sqrt{3}}$

e quindi

$x_1 = \sqrt[3]{7 + 4\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{7 + 4\sqrt{3}}}$

da cui, razionalizzando, abbiamo

(51) $\begin{equation*} \begin{split} x_1 & = \sqrt[3]{7 + 4\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt[3]{7 + 4\sqrt{3}}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{(7 + 4\sqrt{3})^2}}{\sqrt[3]{(7 + 4\sqrt{3})^2}} = \dfrac{(7 + 4\sqrt{3})\sqrt[3]{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt[3]{(7 + 4\sqrt{3})^2}}{7 + 4\sqrt{3}} =\\\\ & = \dfrac{(7 + 4\sqrt{3})\sqrt[3]{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt[3]{(7 + 4\sqrt{3})^2}}{7 + 4\sqrt{3}}\cdot \dfrac{7-4\sqrt{3}}{7-4\sqrt{3}} = \sqrt[3]{7+4\sqrt{3}}+\sqrt[3]{7-4\sqrt{3}}. \end{split} \end{equation*}$

Osserviamo che $t_2$ ci porta ad ottenere nuovamente $x_1$ . Si conclude che la soluzione è quella che segue:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left \{\sqrt[3]{7+4\sqrt{3}}+\sqrt[3]{7-4\sqrt{3}}\right \}. }$

Esercizio 100 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quante soluzioni reali ha la seguente equazione?

$\left(x^2+1\right)^{10} = 2x - x^2 - 2.$

Svolgimento.

Dato che $x^2 \geq 0$ $\forall x \in \mathbb{R}$ , si conclude subito che $\left(x^2+1\right)^{10} \geq 1 > 0$ . Il membro di sinistra, dunque, risulta sempre positivo. Per quanto riguarda il membro di destra, lo possiamo riscrivere così:

$2x -x^2 - 2 = -(x-1)^2 - 1.$

È evidente che si tratta di una quantità sempre negativa, per cui l’equazione proposta non ha soluzioni reali.

Esercizio 101 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia data la seguente equazione:

$x^4 = (x-c)^2,$

dove $c$ è una costante reale. Per quali valori di $c$ l’equazione ha quattro soluzioni reali (alcune delle quali eventualmente coincidenti)?

Svolgimento.

Contiamo le soluzioni in funzione di $c$ risolvendo direttamente l’equazione. Riscriviamola usando la formula della differenza di quadrati:

$\begin{gathered} x^4 - (x-c)^2 = 0; \\ (x^2-x +c)\cdot(x^2+x-c) = 0. \end{gathered}$

Per la legge di annullamento del prodotto, questa equazione è verificata se uno o entrambi i fattori a primo membro sono nulli. Abbiamo dunque due equazioni di secondo grado; per avere in tutto quattro soluzioni (alcune delle quali eventualmente coincidenti), entrambe devono avere due radici. Calcoliamo i loro discriminanti:

(52) $\begin{equation*} \begin{split} x^2 - x + c = 0 \implies \Delta = 1 - 4c \geq 0\text{ per }c \leq\dfrac{1}{4}; \\[5pt] x^2 + x - c = 0 \implies \Delta = 1 + 4c \geq 0\text{ per }c \geq-\dfrac{1}{4}. \end{split} \end{equation*}$

Per avere in tutto 4 soluzioni, entrambe le condizioni devono essere soddisfatte simultaneamente, per cui concludiamo che la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{-\frac{1}{4} \leq c \leq \frac{1}{4}.}$

Esercizio 102 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quale delle seguenti equazioni ha come grafico quello rappresentato in figura?

$\quad$

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Figura 5.

$\quad$

$y = (3-x)^2 (3+x)^2 (1-x)$ .

$y = -x^2 (x-9) (x^2-3)$ .

$y = (x-6) (x-2)^2 (x+2)^2$ .

$y = (x^2-1)^2 (3-x)$ .

Svolgimento.

Iniziamo ad osservare che $y(0)>0$ ; questo esclude l’opzione 3.

La curva non ha come radice $x = 0$ , il che esclude la 2.

La curva ha due radici di molteplicità doppia ed una singola. La radice a molteplicità singola è positiva ed è maggiore delle altre due, il che esclude la 1.

La 4 presenta tutte le caratteristiche della curva rappresentata nel grafico: due soluzioni (segno opposto) di molteplicità doppia, una singola (positiva), intersezione positiva con l’asse delle ordinate.

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{y=(x^2-1)^2(3-x).}$

Esercizio 103 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\frac{x^2-1}{x^3-x^2+x}\geq 0.$

Svolgimento.

Studiamo prima i segni del numeratore e del denominatore.

$x^2-1\geq 0 \iff x\leq -1 \quad \vee %\makebox{oppure} \quad x\geq 1.$

Invece, l’espressione $x^3-x^2+x$ si decompone come $x\left(x^2-x+1\right)$ . Il discriminante del fattore di secondo grado $x^2-x+1$ è $\Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$ , perciò il polinomio non ammette radici reali ed il suo segno è sempre positivo. Il segno di $x(x^2-x+1)$ è quindi lo stesso di $x$ .

Facendo il prodotto dei segni con l’usuale grafico otteniamo il segno della frazione del quesito:

$\quad$

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$\quad$

Pertanto la frazione assume valori non negativi per

$\boxcolorato{superiori}{-1\leq x<0 \quad \vee \quad x\geq 1.}$

Esercizio 104 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Siano $a, b, c$ tre valori reali. Dimostrare che $ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2$ .

Svolgimento.

Si osserva che

$\begin{split} \left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\geq 0 \implies 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\geq 0 \end{split}$

da cui si ottiene immediatamente la conclusione.

Esercizio 105 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare per quali $x\in\mathbb{R}$ si verifica che:

$\frac{x^2-4x+3}{x^2-2x-2}\geq \frac{1}{2}.$

Svolgimento.

La disuguaglianza assegnata è equivalente a $\frac{(x-2)(x-4)}{x^2-2x-2}\geq 0$ . Le radici di $x^2-2x-2$ sono date dalle quantità $1\pm\sqrt{3}$ , discutendo pertanto il segno di numeratore e denominatore abbiamo che la soluzione è data da

$\boxcolorato{superiori}{ x\in (-\infty,1-\sqrt{3})\cup [2,1+\sqrt{3})\cup[4,+\infty).}$

Esercizio 106 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si determini il massimo valore assunto dalla funzione

$f(x) = \frac{x+1}{x^2+x+4}.$

Suggerimento: per quali $\kappa$ è possibile che si abbia $f(x)=\kappa$ per qualche $x\in\mathbb{R}$ ?

Svolgimento.

Si ha $f(x)=0$ se e solo se $x=-1$ . Determiniamo ora l’immagine di $f$ , considerando la seguente strategia: determiniamo, al variare di $\tau \neq 0$ , la risolvibilità dell’equazione $f(x)=\frac{1}{\tau}$ . Questa è equivalente a

(53) $\begin{equation*} \tau x+ \tau =x^2+x+4 \iff x^2+(1-\tau)x+(4-\tau) = 0, \end{equation*}$

che ammette soluzione se e solo se il discriminante di tale polinomio è non negativo. Tale discriminante è pari a

$\begin{aligned} (1-\tau)^2 - 4(4 - \tau) = \tau^2 + 2 \tau - 15 = (\tau + 1)^2 - 16 \geq 0 & \iff \tau + 1 \leq -4 \quad \vee \quad \tau+1 \geq 4 \\ & \iff \tau \leq - 5 \quad \vee \quad \tau \geq 3. \end{aligned}$

Ciò implica che $f(x)= \frac{1}{\tau}$ ha soluzione se e solo se $\tau \leq -5$ oppure $\tau \geq 3$ . Poiché ci interessa il massimo assunto da $f$ , rivolgiamo la nostra attenzione alla sola condizione $\tau \geq 3$ , che genera la parte positiva di $\operatorname{Im} f$ , che quindi ha massimo per $\tau=3$ e

$\boxcolorato{superiori}{\frac{1}{3}}$

è il valore massimo cercato, che corrisponde al valore di $f(x)$ nel punto $x=1$ .

Esercizio 107 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Si determini il massimo valore assunto dalla funzione

$f(x) = \frac{x^2+2x+13}{x^2+2x+11}.$

Suggerimento: per quali $\kappa$ è possibile che si abbia $f(x)=\kappa$ per qualche $x\in\mathbb{R}$ ?

Suggerimento bis: dimostrato che $f(x-1)$ è una funzione \textbf{pari} (ossia $f(x-1)=f(-x+1)$ ), cosa ne consegue?

Svolgimento.

Posto $g(x)=f(x-1)$ , si ha che:

$g(x) = \frac{x^2+12}{x^2+10} = 1+\frac{2}{x^2+10}$

e poiché $f$ e $g$ hanno la stessa immagine e $x^2+10\geq 10$ , il massimo di $f$ è

$\boxcolorato{superiori}{1+\frac{2}{10}=\frac{6}{5},}$

ossia $f(-1)$ .

Esercizio 108 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Senza ricorrere all’utilizzo di una calcolatrice o al calcolo di un certo numero di cifre della rappresentazione decimale, si dimostri che l’unica radice positiva di $2x^2-3x-4$ è più piccola dell’unica radice positiva di $3x^2-2x-12$ .

Suggerimento: detta $\alpha$ l’unica radice positiva di $3x^2-2x-12$ , è sufficiente provare che $2\alpha^2>3\alpha+4$ oppure che $6\alpha^2>9\alpha+12$ (perché?). D’altra parte, sappiamo che $3\alpha^2=2\alpha+12$ (perché?), dunque $6\alpha^2=4\alpha+24$ , ed è sufficiente dimostrare $12>5\alpha$ (perché?), ma questo è semplice.

Svolgimento.

Un polinomio di secondo grado con termine di testa e discriminante positivi assume valori positivi solo esternamente all’intervallo delimitato dalle sue radici. In particolare, detta $\alpha$ l’unica radice positiva di $2x^2-3x-4$ , è sufficiente dimostrare che $3\alpha^2-2\alpha-12<0$ . D’altre parte sappiamo che $2\alpha^2-3\alpha-4=0$ , dunque l’ultima disuguaglianza è verificata se e solo se

$2\cdot\left(3\alpha^2-2\alpha-12\right)-3\cdot\underbrace{(2\alpha^2-3\alpha-4)}_{0} = 5\alpha -12 < 0$

ossia se e solo se $\alpha<\frac{12}{5}$ . Dato che il polinomio $2x^2-3x-4$ è positivo nel punto $x=\frac{12}{5}$ , ciò è ovvio.

Esercizio 109 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} x^2 + 3x + 2 > 0; \\ x^2+x < 2. \end{cases}$

Svolgimento.

Usando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, troviamo che:

$\begin{cases} x^2 + 3x + 2 > 0 \\ x^2+x < 2 \end{cases} \implies\quad \begin{cases} x < -2 \ \lor \ x > -1; \\ -2 < x < 1. \end{cases}$

$\quad$

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$\quad$

Come si vede dalla rappresentazione grafica, le due disequazioni sono soddisfatte simultaneamente se e solo se

$\boxcolorato{superiori}{-1 < x < 1,}$

intervallo evidenziato in arancione.

Esercizio 110 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione $x^4<-16$ nell’insieme dei numeri reali.

Svolgimento.

La disequazione è impossibile, in quanto $x^4$ non è mai un numero negativo, per cui non può essere minore di $-16$ .

Esercizio 111 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Per quali valori di $x$ risulta $x^3 > 216$ ?

Svolgimento.

L’uguaglianza $x^3 = 216$ ha soluzione $x=6$ . Quindi, per la monotonia della potenza a esponente $3$ , la disequazione $x^3 > 216$ è verificata per tutti i valori di $x$ maggiori di $6$ .

La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{x>6.}$

Esercizio 112 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione $\vert x\vert ^5\geq x^6$ .

Svolgimento.

Dato che $x^6$ è sempre non negativo, allora $\vert x\vert^6=x^6$ , quindi otteniamo

$\vert x\vert ^5\geq x^6 \iff \vert x\vert ^6-\vert x\vert ^5\leq 0 \iff \vert x\vert ^5(\vert x\vert -1)\leq 0.$

$\vert x\vert ^5$ è sempre maggiore o uguale a zero, quindi il segno di $\vert x\vert ^5(\vert x\vert -1)$ è quello di $\vert x\vert -1$ , che è minore o uguale di $0$ per

$\boxcolorato{superiori}{-1\leq x\leq 1.}$

Esercizio 113 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Per quali valori di $x$ \`e soddisfatta la seguente disequazione?

$x^4 < 8x^2 + 9.$

Svolgimento.

Posto $t = x^2$ (e si ha quindi $t \geq 0$ ), abbiamo la disequazione equivalente:

$t^2 - 8t - 9 < 0.$

Usando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, o semplicemente fattorizzando il polinomio $t^2 - 8t - 9 = (t+1)(t-9)$ , questa disequazione ha come soluzione l’intervallo aperto $-1 < t < 9$ . Tornando alla variabile $x$ , la condizione $-1 < x^2$ \`e soddisfatta automaticamente, mentre resta da considerare $x^2 < 9$ , che ha come soluzione l’intervallo

$\boxcolorato{superiori}{-3 < x < 3.}$

Esercizio 114 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema

(54) $\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{1}{x-a} + \dfrac{1}{y-a} = \dfrac{a}{b(a+b)}\\\\ x+y+xy=a-ab-b^2 \end{cases} \end{equation*}$

considerando $x\neq a, y \neq b$ ed $a,b \in \mathbb{R}$ tali che $b(a+b) \neq 0$ e $ab+b^2+a^2+a \neq 0$ .

Svolgimento.

Dalla prima equazione del sistema (54) possiamo ricavare

(55) $\begin{equation*} (x+y)(ab+b^2+a^2) = a(xy+a^2) + 2ab(a+b) \end{equation*}$

e dalla seconda

(56) $\begin{equation*} xy=a-ab-b^2-(x+y). \end{equation*}$

Sostituendo (56) in (55) abbiamo

$\begin{aligned} & (x+y)(ab+b^2+a^2) = axy + 2a^2b+2ab^2+a^3 \\ & (x+y)(ab+b^2+a^2) = a[a-ab-b^2-(x+y)] + 2a^2b+2ab^2+a^3 \\ & (x+y)(ab+b^2+a^2+a) = a^2-a^2b-ab^2 + 2a^2b+2ab^2+a^3 \\ & (x+y)(ab+b^2+a^2+a) = a^2 + a^2b + ab^2+a^3 \\ & (x+y)(ab+b^2+a^2+a) = a(a+ ab + b^2+a^2). \end{aligned}$

Notiamo che ad ambo i membri è presente il termine

$ab+b^2+a^2+a$

che, essendo diverso da $0$ per ipotesi, possiamo semplificare ottenendo

$x+y=a.$

Da (56) abbiamo

$xy = -b(a+b).$

Allora il nostro sistema è

$\begin{cases} x+y=a\\ xy=-b(a+b) \end{cases} \iff \begin{cases} y=a-x\\ x(a-x)=-b(a+b) \end{cases} \iff \begin{cases} y=a-x\\ x^2-ax -b(a+b)=0. \end{cases}$

Notiamo che l’ultima equazione quadratica si scompone come $(x-a-b)(x+b)$ e quindi il sistema è equivalente a

$\begin{cases} y=a-x\\ x=a+b \vee x=-b \end{cases} \iff \begin{cases} y=-b\\ x=a+b \end{cases} \vee \begin{cases} y=a+b\\ x=-b. \end{cases}$

Pertanto le soluzioni di (54) sono

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}=\left\{(a+b,-b) , (-b, a+b) \right\}. }$

Esercizio 115 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Per quali valori del parametro reale $k$ la retta di equazione $y = kx$ interseca la parabola di equazione $y = (x-1)^2$ ?

Svolgimento.

Per stabilire se ci sono intersezioni tra le due curve, risolviamo l’equazione:

$kx = (x-1)^2 \implies x^2 - (k+2)x +1 = 0.$

Si tratta di un’equazione di secondo grado, che ha come discriminante:

$\Delta = (k+2)^2 - 4 = k^2 + 4k.$

Esiste almeno una soluzione se $\Delta \geq 0$ , cio\`e se $k\leq -4$ oppure $k \geq 0$ . La risposta è quindi

$\boxcolorato{superiori}{k \leq -4 \vee k \geq 0.}$

Esercizio 116 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$-\sqrt{x-7}+\dfrac{x}{\sqrt{x-7}}=\dfrac{7}{\sqrt{x-7}}.$

Svolgimento.

Svolgiamo i calcoli:

$-\sqrt{x-7}+\dfrac{x}{\sqrt{x-7}}=\dfrac{7}{\sqrt{x-7}} \iff -x+7 +x=7 \iff 7=7.$

Osservando che la condizione di esistenza dell’equazione è $x \in \left(7,+\infty\right)$ , si deduce che la soluzione $\mathcal{S}$ dell’equazione è

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S}= \left(7,+\infty\right). }$

Esercizio 117 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$\sqrt{1 - x^2} = 2x + |x|.$

Svolgimento.

Utilizzando le regole generali, si ottiene:

$\sqrt{1 - x^2} = 2x + |x| \iff \begin{cases} 1 - x^2 = (2x + |x|)^2 \\ 2x + |x| \geq 0 \\ 1 - x^2 \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 1 - x^2 = 9x^2 \\ x \geq 0 \\ |x| \leq 1 \end{cases} \vee \begin{cases} 1 - x^2 = x^2 \\ x \geq 0 \\ |x| \leq 1. \end{cases}$

Il secondo sistema è ovviamente impossibile, mentre il primo fornisce le soluzioni $x_{1,2} = \pm\sqrt{10}/10$ . Di queste, la sola soluzione positiva appartiene all’intervallo $[0,1]$ , pertanto l’equazione ammette la soluzione

$\boxcolorato{superiori}{ x_{1,2} = \frac{\sqrt{10}}{10}. }$

Esercizio 118 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il sistema

$\begin{cases} \sqrt{x - 1} + \sqrt{|x| + 1} = \sqrt{|x + 2|} \\ \sqrt{1 + \sqrt{|x|}} = \sqrt{\frac{1}{x+1}}. \end{cases}$

Svolgimento.

Per risolvere il sistema è conveniente risolvere separatamente le due equazioni:

$\sqrt{x - 1} + \sqrt{|x| + 1} = \sqrt{|x + 2|} \implies \begin{cases} x \geq 1 \\ 2\sqrt{(x - 1)(|x| + 1)} = |x + 2| - x - |x| \end{cases}$

Si osserva che, grazie alla prima condizione ( $x \geq 1$ ), si ha $x \geq 0$ e $x+2 \geq 0$ , ed è possibile semplificare il sistema nel seguente modo:

$\begin{aligned} \begin{cases} x \geq 1 \\ 2\sqrt{x^2 - 1} = x + 2 - x -x \end{cases} & \iff \begin{cases} x \geq 1 \\ 4(x^2 - 1) = 4 - 4x + x^2\\ 2-x \geq 0 \end{cases} \\ &\iff \begin{cases} 1 \leq x \leq 2\\ 3x^2 + 4x - 8 = 0 \end{cases} \end{aligned}$

L’equazione finale ammette una soluzione positiva ed una negativa (termine noto negativo). Prendendo in considerazione solo quella positiva (per la condizione $x \geq 1$ ), si ha:

$x = \frac{-4 + \sqrt{112}}{6}.$

Perché sia soluzione, essa deve appartenere all’intervallo $[1, 2]$ , che è vero in quanto

$1 \leq \frac{-4 + \sqrt{112}}{6} \leq 2 \iff 100 \leq 112 \leq 256.$

Risolviamo ora l’altra equazione:

$\begin{aligned} \sqrt{1 + \sqrt{|x|}} = \sqrt{\frac{1}{x + 1}} & \iff \begin{cases} 1 + \sqrt{|x|} = \frac{1}{x + 1} \\ x \geq -1 \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} \sqrt{|x|} = -\frac{x}{x + 1} \\ x > -1. \end{cases} \end{aligned}$

Affinché la prima equazione sia soddisfatta è necessario che il membro di destra sia non negativo e, affinché ciò accada, è necessario che $-1<x \leq 0$ . Imponendo tale condizione ed elevando entrambi i membri al quadrato si ha

$\begin{aligned} \begin{cases} |x| = \frac{x^2}{(x + 1)^2} \\ x \leq 0 \\ x > -1 \end{cases} & \iff \begin{cases} -x(x + 1)^2 - x^2 = 0 \\ -1 < x \leq 0 \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} x(x^2+2x+1+x)=0\\ -1 < x \leq 0 \end{cases} \\ & \iff x = 0 \vee x = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}. \end{aligned}$

Le soluzioni delle due equazioni differiscono, per cui il sistema risulta impossibile.

Esercizio 119 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Determinare tutti le soluzioni $b \in \mathbb{R}$ dell’equazione $\sqrt{(b+1)^2}=b+1$ .

Svolgimento.

La radice di un quadrato è il valore assoluto dell’argomento, dunque l’equazione è equivalente a $\vert b+1\vert =b+1$ . Per definizione di valore assoluto, $\vert b+1\vert$ è $b+1$ se e solo se $b+1\geq 0$ , che è equivalente a $b\geq -1$ . La soluzione è dunque

$\boxcolorato{superiori}{b \geq -1.}$

Esercizio 120 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione irrazionale:

(57) $\begin{equation*} 2\sqrt[3]{x^2} + 5\sqrt[3]{x}=33 \end{equation*}$

Svolgimento.

La condizione di esistenza è $x \in \mathbb{R}$ . Dunque, ponendo $t=\sqrt[3]{x}$ , possiamo riscrivere (57) come

$2t^2 + 5t-33=0,$

da cui

$t = -\dfrac{11}{2} \; \vee \; t =3.$

Pertanto

$\begin{aligned} \sqrt[3]{x} = -\dfrac{11}{2} & \iff x = - \dfrac{1331}{8} \quad \vee\\ \vee \quad \sqrt[3]{x} = 3 & \iff x = 27. \end{aligned}$

Dunque

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S} = \left\{ - \dfrac{1331}{8}, 27 \right\}. }$

Esercizio 121 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione irrazionale:

$\sqrt[12]{x^7}+\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{x} = 1.$

Svolgimento.

Determiniamo la condizione di esistenza:

$x \in [0,+\infty].$

Abbiamo

$\begin{aligned} \sqrt[12]{x^7}+\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{x} = 1 & \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt[12]{x^4} \cdot \sqrt[12]{x^3}+\sqrt[4]{x}-\sqrt[3]{x} - 1=0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} - \sqrt[3]{x}-1=0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt[4]{x} \left(\sqrt[3]{x}+1\right) - \left(\sqrt[3]{x}+1\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \left(\sqrt[3]{x}+1\right) \cdot \left(\sqrt[4]{x}-1\right)=0, \end{aligned}$

da cui otteniamo

$\sqrt[3]{x}+1 = 0 \quad \vee \quad \sqrt[4]{x}-1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=-1 \quad \vee \quad x = 1.$

Si osserva che per la condizione di esistenza $x=1$ è accettabile e $x=-1$ non lo è. Pertanto la soluzione dell’equazione è unica:

$\boxcolorato{superiori}{ \mathcal{S} = \left\{ 1 \right\}. }$

Esercizio 122 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\sqrt{\sqrt{x^2 - 4} + x} \geq 1.$

Svolgimento.

Si ha

$\begin{aligned} \sqrt{\sqrt{x^2 - 4} + x} \geq 1 &\iff \begin{cases} x^2 - 4 \geq 0 \\ \sqrt{x^2 - 4} + x \geq 1 \end{cases} \\ &\iff \begin{cases} |x| \geq 2 \\ x^2 - 4 \geq 1-2x+x^2\\ 1-x \geq 0 \end{cases} \vee \begin{cases} |x| \geq 2 \\ 1-x \leq 0 \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} |x| \geq 2 \\ 2x \geq 5\\ x \leq 1 \end{cases} \vee \begin{cases} |x| \geq 2 \\ x \geq 1. \end{cases} \end{aligned}$

Si osservi che, alla prima equivalenza, nel sistema abbiamo omesso la condizione di esistenza $\sqrt{x^2 - 4} + x \geq 0$ del radicale, in quanto essa è già implicata dalla seconda disequazione del sistema. Dai calcoli precedenti segue quindi che le soluzioni della disequazione sono

$\boxcolorato{superiori}{x \geq 2.}$

Esercizio 123 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la disequazione

$\sqrt{3x - 2} < 2x - 1.$

Svolgimento.

Per risolvere $\sqrt{3x - 2} < 2x - 1$ , seguiamo questi passaggi:

$\quad$

La radice quadrata impone la condizione $3x - 2 \geq 0$ , quindi $x \geq \frac{2}{3}$ .

Risolviamo la disequazione $\sqrt{3x - 2} < 2x - 1$ elevando al quadrato (che è possibile fare perché $x\geq \frac{2}{3}\geq \frac{1}{2}$ e quindi $2x-1\geq 0$ )
$3x - 2 < (2x - 1)^2 \quad \iff \quad 3x - 2 < 4x^2 - 4x + 1$

Portando tutto a destra:

$0 < 4x^2 - 7x + 3$

Le soluzioni di questa disequazione di secondo grado sono $x<\frac{3}{4} \vee x>1$ .

Intersecando l’insieme delle soluzioni con l’insieme dei valori $x$ per cui $x\geq\frac{2}{3}$ , otteniamo che la disequazione è valida per

$\boxcolorato{superiori}{\frac{2}{3} \leq x < \frac{3}{4} \quad \vee \quad x>1.}$

Esercizio 124 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . L’età media tra i partecipanti ad un concorso è di 19 anni. Se l’età media degli uomini è di 24 anni e quella delle donne 18, qual è il rapporto fra il numero di donne ed il numero di uomini?

Svolgimento.

Sia $N_m$ il numero di uomini ed $N_f$ il numero di donne. Sia $S_m$ e $S_f$ le somme delle età degli uomini e delle donne rispettivemente. Allora si ha

$19=\frac{S_m+S_f}{N_m+N_f}, \qquad 24=\frac{S_m}{N_m}, \qquad \makebox{e} \qquad 18=\frac{S_f}{N_f}.$

Quindi

$19(N_m+N_f)=24N_m+18N_f,$

da cui $N_f=5N_m$ . Dunque il numero di donne è pari a $5$ volte quello degli uomini.