Insiemi compatti in spazi euclidei

Autori: Andrea Gentile, Luigi De Masi.

Revisori: Valerio Brunetti.

Un insieme compatto è, intuitivamente parlando, un insieme i cui punti non “scappano” indefinitamente. Secondo questa idea euristica, la compattezza ha delle affinità con la chiusura, come vedremo in questo articolo. Tali nozioni non sono però equivalenti: un sottoinsieme compatto di è in particolare chiuso, ma anche limitato.

In questo articolo, dopo aver presentato la nozione di compattezza, trattiamo la caratterizzazione dei compatti di come chiusi e limitati fornita dal teorema di Heine-Borel, oltre ad alcuni esempi di questo importante concetto topologico.

In un certo senso, la compattezza sembra affine all’idea di chiusura; precisamente essa assomiglia alla caratterizzazione degli insiemi chiusi in cui si richiede che il limite della successione appartenga all’insieme, ma qui la richiesta è più forte. Confrontando questa definizione con la succitata caratterizzazione, si nota subito come nella caratterizzazione si richieda l’appartenenza del punto limite assumendo a priori la convergenza della successione. La nozione di compattezza, invece, richiede anche l’esistenza di un’estratta convergente, oltre al fatto che il limite debba appartenere all’insieme. Per essere ancora più chiari, verificare che un insieme è chiuso richiede “un solo step”: si prende una successione convergente e si fa vedere che il limite appartiene all’insieme; invece, la verifica che un insieme è compatto consiste di “due step”:

• prendere una successione qualsiasi e far vedere che essa ammette un’estratta convergente;

 

• dimostrare che il punto limite di questa estratta appartiene all’insieme.