Funzioni di più variabili: derivate, estremi e funzione implicita

Presentiamo il calcolo differenziale per funzioni di più variabili studiando derivate parziali, direzionali e gradiente, differenziabilità, derivate seconde e matrice hessiana. Applichiamo poi questi strumenti al problema della ricerca dei massimi e minimi per una funzione in più variabili, sia nel caso libero che nel caso vincolato. Si affronta inoltre lo studio delle funzioni implicite, presentando i teoremi del Dini.

Autori: Luigi De Masi, Andrea Gentile.

Revisori: Valerio Brunetti.

Un problema notevole nell’ambito della matematica pura e applicata è sicuramente l’ottimizzazione: che si tratti del tragitto più breve da percorrere per raggiungere una meta, della scelta più economica in un processo produttivo o del modo migliore per allocare delle risorse, l’ottimizzazione riveste un ruolo chiave in molti aspetti della scienza e anche della vita quotidiana. Tutti questi problemi sono accomunati dalla presenza di una funzione che si vuole massimizzare o minimizzare (a seconda che essa corrisponda rispettivamente a un profitto o un costo).

Tale problema conduce allo studio del cosiddetto calcolo differenziale, già affrontato nel caso di una variabile in [11] e [15] e che svilupperemo in più dimensioni in questa dispensa.

Una volta introdotto il concetto di derivata in più dimensioni e osservate le analogie e le differenze con il caso unidimensionale, esporremo la teoria relativa allo studio degli estremi di una funzione in termini di “derivata prima” e “seconda”.

A seguire, utilizzando gli strumenti del calcolo in più variabili, ci interesseremo al problema di descrivere il sottoinsieme dei punti del piano tali che , dove è una funzione di due variabili, come grafico del tipo o . Una tale funzione viene detta funzione implicita e la risposta a tale domanda sarà contenuta nel cosiddetto teorema del Dini.

Utilizzeremo poi tale strumento per studiare il problema dell’ottimizzazione vincolata, ossia la ricerca di massimi e minimi di una funzione sull’insieme dei punti che soddisfano un vincolo del tipo .

L’articolo è organizzato come segue:

• Nella sezione 1 introdurremo i concetti di derivabilità e differenziabilità di una funzione e i relativi risultati.

 

• Nella sezione 2 presentiamo le derivate seconde per funzioni di più variabili.

 

• Nella sezione 3 vedremo come approssimare una funzione attraverso un polinomio grazie allo sviluppo di Taylor.

 

• Nella sezione 4 studiamo il problema di determinare il massimo e il minimo di una funzione di più variabili sull’intero suo dominio.

 

• Nella sezione 5 introdurremo e studieremo il problema precedentemente anticipato della funzione implicita.

 

• Nella sezione 6 affronteremo lo studio dei problemi di ottimizzazione vincolata.

Rimandiamo alla dispensa “Funzioni di più variabili – 1” [12] per le nozioni riguardanti la topologia e i limiti di cui faremo uso in questo secondo volume della dispensa.

Consideriamo una funzione , un punto e immaginiamo di fissare così da poter definire la funzione (di una variabile)

In buona sostanza, anziché vedere come funzione di variabili, stiamo pensando come funzione di una variabile e “parametri” fissati

Poiché è una funzione reale di variabile reale, ha senso valutarne la derivata (se esiste), ovvero il limite del rapporto incrementale in :

In forma più compatta, possiamo utilizzare i vettori , , \dots, della base canonica di per scrivere

giungendo così alla seguente definizione.

Segnaliamo che, per indicare le derivate parziali di , vengono anche utilizzate le notazioni

mentre il gradiente è anche denotato col simbolo . Segnaliamo inoltre che nei casi o , poiché le variabili sono spesso indicate con , e , si scriverà talvolta al posto di .

Siccome la derivata parziale è definita esattamente come la derivata di una funzione di variabile reale, risulta molto semplice comprendere il concetto geometrico dietro la definizione. Infatti fissare coordinate equivale a considerare la retta parallela al vettore della base canonica relativo alla coordinata lasciata libera e passante per il punto in esame: data la restrizione di a tale retta, la derivata parziale -esima di è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di tale funzione di una sola variabile, come illustrato in figura 1.

Figura 1: retta tangente al grafico della funzione, la cui proiezione sul piano orizzontale è parallela all’asse .

Una conseguenza della definizione è che, nel calcolo effettivo di una derivata parziale rispetto a occorre applicare le regole di derivazione del caso scalare considerando le altre variabili come costanti, come chiarito dal seguente esempio.

Esempio 2. Data la funzione definita come

calcoliamone le derivate parziali in e il gradiente in un punto generico di .

Come abbiamo anticipato, per calcolare la derivata parziale in , supponiamo che la sia costante e dunque costante sarà anche il fattore ; pertanto la derivata parziale rispetto a di coincide con la derivata classica della funzione , dove è una costante. In definitiva

in quanto la derivata della funzione coincide con la funzione stessa. Dunque . Per calcolare la derivata parziale di rispetto a , supponiamo invece che sia una costante e dunque occorre derivare la funzione , dove appunto . Poiché la derivata del coseno è l’opposto del seno, si ha

e dunque . Dalle espressioni generali delle derivate parziali ottenute, si ha quindi

Esempio 3. Verifichiamo che la funzione definita da

è derivabile in e calcoliamone il gradiente. Per calcolare la derivata parziale rispetto a , consideriamo la costante e dunque occorre calcolare la derivata della funzione , dove è appunto costante. Dai teoremi per la derivazione di funzioni in una variabile si ha quindi

D’altra parte, la derivata rispetto a della funzione si ottiene considerando la come una costante, ossia derivando la funzione di una variabile , che fornisce

Ne consegue che il gradiente di vale

Sottolineiamo come, poggiandosi interamente sulla definizione di derivata classica, la derivata parziale eredita tutte le proprietà della derivata di una variabile. In particolare continuano a valere tutte le formule per le derivate di somma, prodotto, rapporto e funzione composta e le derivate delle funzioni elementari, come riassunto nella seguente proposizione.

Dimostrazione. Definendo le funzioni di una variabile e , le derivate parziali di e delle relative combinazioni corrispondono alle derivate classiche di e relative combinazioni, alle quali è possibile applicare tutte le classiche regole di derivazione.

Come già chiarito, la derivata parziale -esima di una funzione in un punto corrisponde alla derivata della funzione di una variabile ottenuta valutando la funzione su una retta parallela all’-esimo asse coordinato. Poiché per un punto passano infinite rette, risulta naturale estendere la nozione di derivabilità di una funzione in più variabili relativamente a qualsiasi retta passante per il punto considerato.

Precisamente, data una funzione , un punto e un vettore (solitamente scelto di norma unitaria), possiamo definire la funzione

(6)

ossia la restrizione della funzione alla retta passante per e parallela al vettore . Poiché è una funzione della sola variabile , è possibile considerare la sua derivata, che intuitivamente ci fornirà il “tasso di crescita” di in , rispetto alla direzione :

Ciò giustifica la seguente definizione.

Oltre alla notazione da noi presentata, la derivata direzionale può essere anche indicata da

La nozione di derivata direzionale generalizza quella di derivata parziale: è evidente dalla definizione che la derivata direzionale nel caso in cui sia uno dei vettori della base canonica è proprio una derivata parziale data dalla definizione 1.

Osservazione 6. La derivata direzionale di in è -omogenea rispetto al vettore : ciò vuol dire che, da , si può ricavare per ogni e più precisamente vale

Se , ciò segue immediatamente dalla definizione di derivata direzionale. Se invece , mediante un cambio di variabili si ottiene

Vediamo alcuni esempi di calcolo di derivate direzionali.

Esempio 7. Calcoliamo la derivata direzionale della funzione definita da

lungo la direzione nel punto .

Calcoleremo la derivata richiesta in due modi equivalenti: prima calcolando esplicitamente la funzione definita in (6) e derivandola in , e poi calcolando direttamente il limite dalla definizione 5.

• La funzione in questo caso risulta essere data da

  

  Tale funzione è derivabile e, dalle regole di derivazione per funzioni di una variabile, si ha

  

 

• Calcoliamo invece ora il limite del rapporto incrementale dato dalla definizione 5:

  

Esempio 8. Data definita da

calcoliamo la derivata di lungo la direzione nel punto .

In questo caso condurremo il calcolo scrivendo esplicitamente la funzione e derivandola mediante le regole di derivazione per funzioni di una sola variabile, in quanto l’altro metodo risulta meno agevole (come è ragionevole aspettarsi, dato che consiste nel calcolare la derivata di mediante la definizione come limite del rapporto incrementale). La funzione risulta essere definita da

Pertanto, dalle regole di derivazione per funzioni di una variabile, si ha

Come abbiamo visto nel precedente paragrafo, la derivabilità in una direzione è una proprietà di regolarità della funzione, ossia corrisponde all’esistenza della retta tangente al grafico della funzione in una data direzione. In analogia con le funzioni di una variabile, è naturale chiedersi se la derivabilità di una funzione in alcune direzioni implichi la sua continuità. Purtroppo ciò è falso, come evidenziato dai seguenti esempi.

Esempio 9. Sia la funzione definita da

e studiamone la derivabilità e la continuità in . Poiché è nulla sui due assi coordinati, si ha

Osserviamo però che non è continua in , in quanto ad esempio, lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante di equazione , si ha

La funzione dell’esempio precedente non è continua in quanto la sua restrizione alla retta non è continua. Poiché le funzioni di una variabile devono essere continue affinché siano derivabili, ciò prova che la funzione appena trattata non è derivabile nella direzione . Ci si può dunque chiedere se, invece, l’esistenza di tutte le derivate direzionali in un punto garantisca la continuità della funzione. Anche questo è falso, come indicato dal prossimo esempio.

Esempio 10. Data definita come

verifichiamo che tutte le derivate direzionali calcolate in sono nulle. Infatti, per ogni , si ha

che è nullo sia se , sia se . La funzione non è però continua in ed è addirittura illimitata in un intorno di tale punto. Infatti, considerando la curva , si ha

I precedenti esempi dimostrano che la sola derivabilità della funzione non consente di ottenere informazioni sulla sua continuità, come invece accade per le funzioni di una variabile. La ragione è che la derivabilità direzionale è equivalente alla derivabilità della restrizione della funzione alle rette passanti per il punto; analogamente al caso dei limiti in più variabili, il solo studio della funzione lungo rette non ne caratterizza il comportamento nell’intorno del punto considerato.

Quale concetto potrebbe quindi essere una più appropriata nozione di differenziabilità di in un punto? Per funzioni di una variabile, la derivabilità in un punto può essere equivalentemente formulata richiedendo che

oppure, nel linguaggio degli -piccoli, che esista tale che

Ovviamente, a posteriori, un tale è unico e vale . Ciò motiva la seguente definizione.

Ricordiamo che il concetto di -piccolo può essere facilmente formulato per funzioni di più variabili: date e dato un punto di accumulazione di , si dice che è un piccolo di per se

(9)

e in tal caso si scrive . Chiaramente la definizione implica che sia un punto di accumulazione per l’insieme , affinché il limite del rapporto sia ben definito. Intuitivamente, dunque, per se è “trascurabile” rispetto a al limite per .

L’intuizione dietro al concetto di differenziabilità è richiedere che la funzione sia approssimabile, nell’intorno di da una funzione affine: infatti, come nel caso di funzioni di una variabile, la mappa è affine, cioè il suo grafico è una retta; nel caso di funzioni di più variabili, il grafico della mappa è costituito da un iperpiano. La nozione di differenziabilità richiede quindi che esista una funzione affine che approssimi il grafico di in un intorno di e che l’errore commesso approssimando con sia “trascurabile” rispetto alla distanza del punto da .

Inoltre, come la retta di equazione passa per il punto e risulta tangente al grafico di in tale punto, anche il grafico della funzione affine passa per il punto ed è tangente al grafico di in questo punto.

Esempio 12. Verifichiamo che la funzione definita come

è differenziabile in ogni punto . A tal fine, scriviamo il rapporto della definizione 11 per un generico vettore , che sceglieremo durante il calcolo nella maniera più opportuna.

Osserviamo che che tende a per . Quindi, affinché il limite sia nullo, come richiesto dalla definizione, basta scegliere e ; in questo modo i termini di primo grado in si annullano e il limite risulta nullo:

Ne segue che è differenziabile in e il vettore corrispondente a tale punto è .

Come illustrato dal precedente esempio, nello studio della differenziabilità di una funzione non appare molto semplice individuare il vettore e sarebbe di grande aiuto una sua caratterizzazione.

Abbiamo visto che, nel caso di funzioni di una variabile, il “vettore” della definizione di differenziabilità è unico e coincide con la derivata di in . Risulta naturale chiedersi se tale vettore ammetta una caratterizzazione simile per funzioni di più variabili. L’osservazione fondamentale a tale riguardo è che, se è differenziabile, in particolare la definizione deve valere restringendola agli assi coordinati; se l’incremento della funzione è parallelo a un asse, ossia se , dalla definizione segue abbastanza facilmente che , ossia che le componenti del vettore sono proprio le derivate parziali di . Dunque, l’unica possibile scelta per il vettore è il gradiente della funzione nel punto in cui si vuole studiare la differenziabilità.

Ciò è chiarito dalla seguente proposizione; essa inoltre dimostra che la differenziabilità di una funzione ne implica la continuità e la derivabilità in ogni direzione, permettendo di concludere che la differenziabilità è la “corretta” estensione al caso multidimensionale della derivabilità per funzioni di una variabile.

Dimostrazione. Dalla differenziabilità di in , esiste tale che

(11)

Poiché la funzione lineare tende ovviamente a per e tende a per in virtù della definizione di -piccolo, si ha

ossia è continua in .

Proviamo ora che è derivabile in e che . Infatti, grazie al teorema di restrizione a curve [12, teorema 3.5], la relazione (11) vale a maggior ragione restringendosi alle rette passanti per e parallele a un vettore ; in altre parole, se , con , deve aversi

che equivale a

Dalla definizione di derivata per funzioni di una variabile, questa uguaglianza significa che la funzione è derivabile in e la sua derivata in tale punto è pari al numero reale . Dalla definizione di derivata direzionale, segue quindi che è derivabile nella direzione e che si ha

Scegliendo in tale relazione , ossia considerando i versori degli assi coordinati, si ottiene per ogni , ossia la derivata parziale -esima di coincide con la -esima componente del vettore . Ciò implica che è proprio il gradiente di in , come volevasi dimostrare.

Osservazione 14 (direzione di massima pendenza). Grazie a (10), si vede che la direzione data dal gradiente di una funzione è quella di massima crescita della funzione . Infatti, dato un vettore , il suo prodotto scalare per un vettore è pari a

dove è l’angolo individuato dai due vettori nel piano bidimensionale che li contiene. Dunque, se e , le derivate direzionali di che hanno valore massimo sono quelle per cui è parallelo a .

Somme, prodotti e quozienti di funzioni differenziabili sono a loro volta differenziabili, quando definiti, come chiarito dalla prossima proposizione.

Dimostrazione. Poiché sono differenziabili in , in virtù della proposizione 13 esse sono derivabili e continue in tale punto. Dunque dalle proprietà delle funzioni continue e dalla proposizione 4, sappiamo che anche , e (se definito) sono continue e derivabili in e conosciamo inoltre le espressioni soddisfatte dai loro gradienti.

• Per la somma, si ha

  

  dove nel primo passaggio abbiamo usato la disuguaglianza triangolare.

 

• Per il prodotto, osserviamo che la continuità di in può essere scritta come per . Dunque possiamo aggiungere e sottrarre al numeratore della quantità che dobbiamo stimare per ottenere

  (12)

  dove la seconda uguaglianza segue dalla continuità di in per la quale , mentre la terza uguaglianza segue dalla differenziabilità di e in e dal fatto che, per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e dalle proprietà degli -piccoli, si ha

  

  Poiché è continua in , è limitata in un intorno di tale punto, dunque l’ultimo membro di (12) è un , come volevasi dimostrare.

 

• Per il quoziente, è sufficiente dimostrare che la funzione è differenziabile in , in quanto la frazione è il prodotto di per essa. Si ha

  

  dove la seconda uguaglianza deriva dalla differenziabilità di in in quanto

  

  dove ; la terza uguaglianza deriva dal fatto che è continua in grazie alla proposizione 13 e quindi e la quarta uguaglianza segue dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e dalle proprietà degli -piccoli, similmente al prodotto.

Vediamo ora alcuni esempi di studio della differenziabilità di una funzione.

Esempio 16. Studiamo la continuità, la derivabilità e la differenziabilità nell’origine della funzione definita come

Iniziamo con il calcolo delle derivate parziali.

Dato che la funzione è identicamente nulla sugli assi coordinati, le sue derivate parziali nell’origine sono entrambe nulle:

Dunque la funzione è derivabile nell’origine. Osserviamo però che, sulle rette passanti per l’origine, la funzione ha limite diverso: se si ha

Dato che tale limite non è nullo se , il limite della funzione in non esiste e dunque la funzione non è continua nell’origine. Per la proposizione 13, essa non è dunque neppure differenziabile in tale punto.

Esempio 17. Studiamo la continuità, la derivabilità e la differenziabilità nel punto della funzione definita come

L’intuizione ci suggerisce che questa funzione è in realtà molto regolare, perciò cerchiamo di far vedere che essa è differenziabile, così sapremo che essa è continua in virtù della proposizione 13.

Iniziamo col calcolare il gradiente in tale punto:

Verifichiamo la differenziabilità in :

dove nella seconda uguaglianza abbiamo svolto i passaggi, nella terza abbiamo usato lo sviluppo di Taylor al primo ordine della funzione esponenziale e nell’ultima il fatto che grazie alla disuguaglianza . Per il teorema dei carabinieri, la funzione è differenziabile, e quindi anche continua.

Abbiamo visto che, anche se una funzione è derivabile, in generale non è differenziabile. Negli esempi di funzioni “regolari” che abbiamo esaminato, abbiamo però sempre ottenuto la differenziabilità. Ci si può quindi chiedere se qualche regolarità della funzione in esame ne implichi la differenziabilità. Questa intuizione si concretizza nel seguente risultato.

Dimostrazione. Per semplicità di scrittura, scriviamo la dimostrazione in dimensione , ma l’idea è esattamente la stessa anche nel caso generale.

Siccome è derivabile in un intorno di , esiste tale che essa lo è nel quadrato . Scriviamo il numeratore del rapporto da studiare, per ottenere la differenziabilità, aggiungendo e sottraendo :

Per l’ipotesi di derivabilità parziale nel quadrato , la funzione (di una variabile) è derivabile e la sua derivata coincide con ; analogamente, per ogni la funzione (di una variabile) è derivabile e la sua derivata coincide con . Dunque tali funzioni sono anche continue e a esse possiamo applicare il teorema di Lagrange; nell’ipotesi e (gli altri casi sono analoghi), otteniamo che esistono e tali che

Questo consente di scrivere

dove nell’ultimo passaggio abbiamo usato la disuguaglianza triangolare e il fatto che

Dividendo tutto per si ottiene

Poiché per si ha e (tali punti appartengono rispettivamente agli intervalli e ), per la continuità delle derivate parziali l’ultimo membro della precedente disuguaglianza tende a per . Il teorema dei carabinieri assicura allora che la funzione è differenziabile.

Usando il precedente risultato, si verifica immediatamente che le funzioni degli esempi 12 ed 17 sono differenziabili senza dover applicare la definizione, in quanto le rispettive derivate parziali sono funzioni continue. Inoltre esso prova che tutte le composizioni di funzioni regolari (esponenziali, potenze positive, logaritmi, funzioni trigonometriche) sono differenziabili all’interno dei rispettivi domini di definizione.

Osserviamo inoltre come non sia possibile invertire il teorema 18, ossia una funzione differenziabile non possiede in generale derivate continue, come chiarito dal seguente classico esempio.

Esempio 19. Consideriamo la funzione definita da

Mostriamo che tale funzione è differenziabile (per funzioni di una variabile ciò equivale alla derivabilità) ma la sua derivata è discontinua nell’origine. Per i punti diversi da si ha infatti

Proviamo che è derivabile in calcolando il limite del rapporto incrementale:

dove l’ultima uguaglianza deriva dal fatto che il seno è limitato, mentre la funzione tende a . Dunque , ma la derivata è discontinua in , infatti il limite

non esiste, in quanto il primo addendo ha limite nullo, essendo il prodotto di una funzione infinitesima per una limitata, mentre il secondo addendo non ha limite per .

In questa sezione mostriamo alcuni esercizi sulle nozioni esposte finora. Premettiamo le seguenti utili disuguaglianze, per la cui dimostrazione rimandiamo a [12, proposizione 3.52].

Presentiamo ora gli esercizi.

Svolgimento. La funzione è somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni aventi derivate parziali continue in , dunque è differenziabile in tale insieme in virtù del teorema del differenziale totale 18. Grazie alla proposizione 13, ciò vuol dire che è anche continua e derivabile in tutte le direzioni in ogni punto di . Rimane dunque solo da studiare la regolarità di nell’origine.

Al fine di formarci un’intuizione, osserviamo che, nel quoziente che definisce , vi è il prodotto che si comporta come un termine di secondo grado, e il fattore che, in virtù del fatto che per , si comporta come . Dunque anche dividendo l’espressione di per , come richiesto nella definizione di differenziabilità, che è intuitivamente un termine di primo grado, il numeratore tende a zero più velocemente del denominatore. Ciò suggerisce che sia differenziabile nell’origine con derivate parziali nulle. Dimostriamolo.

Osserviamo che la funzione è identicamente nulla sugli assi coordinati, quindi è derivabile parzialmente e le sue derivate parziali sono entrambe nulle:

Dunque si ha

dove nel secondo passaggio abbiamo usato il fatto che e similmente per , mentre nel terzo passaggio abbiamo usato lo sviluppo di Taylor del seno e poi le proprietà degli -piccoli. Alternativamente allo sviluppo di Taylor, si poteva anche usare la disuguaglianza con .

Dalla differenziabilità di in , la proposizione 13 implica la sua continuità e derivabilità in ogni direzione. La stessa proposizione fornisce anche per ogni direzione .

Svolgimento. La funzione è quoziente e composizione di funzioni con derivate parziali continue in , pertanto è differenziabile in tale insieme per il teorema del differenziale totale 18. La proposizione 13 implica allora la continuità e la derivabilità direzionale in tale insieme. Rimane quindi da studiare la sola regolarità di nell’origine.

L’intuizione ci dice che , ossia un termine di quarto grado, mentre il denominatore è intuitivamente un termine di terzo grado. Per tali ragioni, possiamo immaginare che la funzione sia continua in ma non differenziabile in tale punto.

dove il secondo passaggio deriva dallo sviluppo , mentre il terzo deriva dalla disuguaglianza e e dalle proprietà degli -piccoli, in quanto . Avendo maggiorato il modulo della funzione con una funzione infinitesima, il teorema del confronto implica che , e quindi la funzione è continua nell’origine.

Proviamo ora che non è differenziabile nell’origine: a tal fine, osserveremo che essa non è derivabile in alcuna direzione diversa da quella degli assi. Infatti, per abbiamo

che non esiste se in quanto i limiti destro e sinistro assumono segni opposti. La proposizione 13 implica allora che la funzione non è differenziabile nell’origine.

Svolgimento. La funzione è prodotto, quoziente e composizione di funzioni con derivate parziali continue in , dunque è differenziabile, derivabile direzionalmente e continua in tale insieme. Studiamo ora nell’origine.

Al numeratore i fattori e si stimano, asintoticamente, con e , dunque il numeratore si comporta intuitivamente come un termine di terzo grado, mentre il denominatore come uno di secondo grado. Ciò suggerisce l’intuizione che la funzione sia continua in , ma non differenziabile in tale punto.

Cominciamo verificando la continuità della funzione utilizzando le diseguaglianze in (15) e (17):

Quando quest’ultimo termine tende a zero, dunque la funzione è continua nell’origine in virtù del teorema del confronto. Alternativamente, era possibile anche usare le stime asintotiche e e poi stimare dall’alto con e con .

Poiché il numeratore della frazione è identicamente nullo se o , le derivate parziali nell’origine sono entrambe nulle. Osserviamo poi che, se , si ha

Dunque è derivabile in tutte le direzioni nell’origine, grazie anche all’omogeneità delle derivate direzionali. Si ha però , in quanto mentre se non è parallelo agli assi coordinati. La relazione (10) implica che non è differenziabile nell’origine.

Svolgimento. Osserviamo che delle stime ragionevoli per i fattori al numeratore sono e . Per la continuità la stima del fattore è sufficiente in caso in quanto l’altro fattore è infinitesimo. Per la differenziabilità è necessario invece che in modo da semplificare il fattore al denominatore e ottenere comunque un risultato infinitesimo. Tale analisi euristica rivela che una adeguata suddivisione dei casi sia e .

• Caso . Affermiamo che la funzione è continua, infatti

  

  e quindi il limite di in è nullo per il teorema del confronto. La funzione è identicamente nulla sugli assi coordinati, quindi le derivate parziali di sono entrambe nulle nell’origine. Osserviamo però che, ad esempio, la derivata direzionale nella direzione non esiste, in quanto

  

  Ciò dimostra anche, in virtù della proposizione 13, che non è differenziabile nell’origine.

 

• Caso . Osserviamo direttamente che la funzione è differenziabile, in quanto

  

  dove la stima deriva appunto da e , mentre l’ultima affermazione deriva da . Ciò dimostra anche che le derivate parziali di nell’origine sono nulle e che la funzione è continua in tale punto.

In questa sezione vogliamo dare un significato alla differenziabilità per funzioni a valori vettoriali e quindi studiare la differenziabilità di funzioni composte di più variabili. La naturale estensione del concetto di differenziabilità è data qui di seguito.

Chiaramente la definizione appena data generalizza quella di funzione differenziabile a valori scalari, in quanto in tal caso la matrice jacobiana è il vettore riga gradiente della funzione, ossia la matrice avente una riga e colonne, ciascuna data dalle derivate parziali della funzione.

Con questa definizione alla mano, possiamo studiare la differenziabilità delle funzioni composte. Per funzioni reali di variabili reali, la composizione di funzioni derivabili è derivabile e vale la famosa regola della catena, che afferma che la derivata della composizione è pari al prodotto delle derivate delle funzioni componenti. Anche per funzioni di più variabili vale un risultato simile, in cui però il prodotto delle derivate è sostituito dal prodotto righe per colonne delle matrici jacobiane delle funzioni componenti.

Dimostrazione. Per si ha

dove nella seconda uguaglianza abbiamo usato la differenziabilità di in , nella terza abbiamo usato la differenziabilità di in , mentre la quarta è una conseguenza dei seguenti fatti:

dove la costante dipende dalla norma di ciascun vettore riga di , grazie alla disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.

Come esempio, vediamo un’applicazione notevole di tale teorema, in cui le dimensioni e sono pari a .

Esempio 27. Consideriamo una curva differenziabile in ciascun punto dell’intervallo e una funzione differenziabile ovunque. Allora risulta ben definita la composizione , che è una funzione reale di variabile reale. Il teorema 26 assicura allora che la funzione è derivabile in ogni punto di e si ha

dove è il gradiente di inteso come vettore riga di , mentre è il vettore tangente alla curva in , ossia il vettore colonna di le cui componenti sono le derivate delle componenti della funzione . Chiaramente il prodotto righe per colonne di queste due matrici è ben definito, ed è una matrice , ossia lo scalare

ossia il prodotto scalare tra il gradiente di e il vettore tangente alla curva .

In questa sezione esaminiamo la possibilità di generalizzare il famoso teorema di Lagrange a funzioni di più variabili. Un risultato positivo è che esso è valido per funzioni scalari di più variabili.

Dimostrazione. Consideriamo la parametrizzazione del segmento congiungente e data da

Tale curva è differenziabile in e quindi, in virtù del teorema di differenziazione delle funzioni composte 26, la funzione composta è derivabile in . Di conseguenza, a essa si può applicare il classico teorema di Lagrange per funzioni reali di variabile reale, che fornisce l’esistenza di tale che

dove l’equivalenza segue dalla definizione di e dall’espressione della derivata della composizione data dal teorema 26, come già calcolato nell’esempio 27. Chiamando e osservando che , si ottiene la tesi.

Osserviamo che il risultato non è più valido per funzioni a valori vettoriali. Infatti, nonostante esso si possa applicare a ciascuna componente della funzione in esame, il punto fornito dal teorema dipenderebbe dalla particolare componente considerata e, in generale, tali punti non coincidono.

Il teorema di Lagrange consente di provare che le funzioni con gradiente nullo sono costanti “a tratti”, ossia sono costanti su ciascun insieme connesso contenuto nel dominio. Rimandando a [12] per maggiori dettagli, ricordiamo che un insieme si dice connesso se, dati due insiemi aperti in tali che

allora uno tra e deve essere vuoto.

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che è differenziabile in grazie al teorema del differenziale totale 18, in quanto le derivate parziali, ovunque nulle in , sono continue. Dunque in particolare è continua in grazie alla proposizione 13.

Fissiamo poi e consideriamo gli insiemi

Chiaramente gli insiemi e sono disgiunti e vale .

• L’insieme è la controimmagine tramite dell’insieme , che è aperto in . Grazie alla caratterizzazione delle funzioni continue secondo cui la controimmagine di aperti è aperta nel dominio (si veda [1, teorema 4.3]), si ha che è un sottoinsieme aperto di .

 

• D’altra parte, anche risulta aperto. Infatti, consideriamo , ossia tale che , e dimostriamo che esiste tale che la palla . Sappiamo che una tale palla contenuta in esiste in quanto è aperto, e proviamo che in tale palla si ha ; infatti, fissiamo e applichiamo il teorema di Lagrange 28 ai punti : il segmento che li congiunge è ovviamente contenuto nella palla e quindi la relazione (18), insieme al fatto che per ogni , implica che . Abbiamo quindi provato che per ogni e questo dimostra che , cioè che è aperto. In particolare è aperto in .

Poiché sia che sono aperti in e è connesso, uno di essi deve essere vuoto. Poiché non è vuoto in quanto contiene , ne segue che e quindi è costantemente pari a .

Così come è possibile definire la derivata seconda di una funzione reale di variabile reale, in questa sezione trattiamo le derivate di ordine superiore per funzioni in più variabili. Siccome ogni derivata è una funzione di più variabili, è naturale studiarne la derivabilità.

Sottolineiamo che con la notazione intendiamo , ossia la derivata parziale -esima della funzione ; ciò si traduce, nella pratica, nel dover derivare prima rispetto alla variabile e poi derivare ulteriormente, rispetto a , la funzione ottenuta.

Notiamo che la -esima riga della matrice hessiana è costituita dal gradiente di . Osserviamo che, in letteratura, è possibile reperire altre notazioni per le derivate seconde e per la matrice hessiana:

La traccia della matrice hessiana riveste un ruolo particolarmente rilevante in molti contesti (matematica, fisica, ingegneria) ed è nota come Laplaciano di ,

(20)

Vediamo subito alcuni esempi.

Esempio 31. Determiniamo le derivate seconde e la matrice hessiana della funzione definita come

Cominciamo calcolando le derivate parziali:

così da calcolare le derivate seconde

Perciò la matrice hessiana è data da

Esempio 32. Sia la funzione definita come

Calcoliamo la sua matrice hessiana. Come prima calcoliamo preliminarmente le derivate parziali,

così da poter calcolare le derivate seconde

dunque

Esempio 33. Sia definita come

Calcoliamo la sua matrice hessiana cominciando dalle derivate prime

così, per ogni , le derivate seconde sono

Pertanto

In questi esempi la matrice hessiana è simmetrica, ossia per ogni coppia di indici . Ciò è dovuto alla regolarità delle funzioni in gioco, come chiarito dal seguente teorema.

Dimostrazione. Siccome il teorema riguarda la possibilità di scambiare l’ordine di 2 derivate, non lede la generalità supporre che . Infatti se è sufficiente lavorare solamente sulle due variabili interessate dalle derivate.

Assumiamo dunque e fissiamo il punto . L’idea è quella di definire due funzioni ausiliarie di una variabile (rispettivamente la e la ) che coincidano ovunque e su cui sia possibile sfruttare il teorema di Lagrange. Dato che le derivate parziali sono definite nella palla , esiste tale che . Osserviamo che possiamo scrivere la differenza in due modi distinti:

Riarrangiando i termini del primo e dell’ultimo membro, otteniamo

Definendo le funzioni e come

possiamo scrivere la precedente uguaglianza come

Le funzioni sono derivabili nel loro dominio, quindi possiamo applicare il teorema di Lagrange ad ambo i membri della precedente identità per ottenere l’esistenza di compreso tra e e compreso tra tali che

Poiché per ipotesi la funzione è derivabile parzialmente rispetto a e la funzione è derivabile parzialmente rispetto a , possiamo applicare nuovamente il teorema di Lagrange a ciascuno dei membri della precedente uguaglianza per avere l’esistenza di tra e e l’esistenza di tra e tali che

Dunque, se scegliamo e , da tale identità segue . Facendo tendere , anche e tendono a in quanto ciascuna delle componenti è compresa rispettivamente tra e e tra e . Grazie alla continuità di e in , segue che

Il teorema di Schwarz si può riformulare in termini della matrice hessiana. Infatti, alla luce del teorema, possiamo dire che la matrice hessiana di una funzione avente derivate seconde continue è simmetrica.

Evidenziamo come la sola derivabilità (due volte) della funzione non sia sufficiente a garantire che le derivate seconde miste siano uguali, come mostrato dal seguente controesempio.

Esempio 35. Consideriamo la funzione definita da

(22)

Calcoliamo le sue derivate prime:

Verifichiamo che, nell’origine, le derivate seconde miste non coincidono:

Osserviamo però che la funzione possiede entrambe le derivate miste ovunque, poiché essa è quoziente di funzioni infinitamente derivabili, con derivate continue, tali che il denominatore non si annulla in ; in tale insieme le derivate miste coincidono in virtù del teorema di Schwarz.

In maniera analoga a quanto effettuato con le derivate seconde, è possibile definire le derivate di ordine 3 come derivate parziali delle derivate seconde della funzione, e così via. Osserviamo che il teorema di Schwarz è applicabile anche alle funzioni derivate parziali; pertanto, ammesso che la funzione derivata parziale in esame soddisfi le ipotesi di tale teorema, anche le derivate di ordine superiore miste coincidono. Concludiamo quindi la sezione con un’importante definizione che riguarda la derivabilità di una funzione e la continuità delle sue derivate parziali.

A titolo di esempio, il teorema del differenziale totale 18 afferma che una funzione di classe in un aperto è ivi differenziabile. Inoltre, il teorema di Schwarz 34 afferma che, per una funzione di classe su un aperto, le derivate seconde miste coincidono, oppure, equivalentemente, che la matrice hessiana della funzione è ovunque simmetrica.

Si noti come, dal teorema del differenziale totale, la continuità delle derivate di ordine implichi la continuità delle derivate di ordine inferiore.

Una volta sviluppata la teoria per le derivate prime e seconde, vogliamo generalizzare alle funzioni di più variabili un importantissimo strumento sia nella teoria che nelle applicazioni, ossia la formula di Taylor.

Tale formula consente di stimare una funzione regolare, in un intorno di un fissato punto, con un polinomio i cui coefficienti dipendono dal valore della funzione e delle sue derivate nel punto in questione, a patto di commettere un certo “errore”. Tale errore, per una funzione di classe , può essere ottenuto in maniera esatta, mediante l’uso della derivata di ordine più alto della funzione, nel qual caso si avrà la formula di Taylor con resto in forma di Lagrange, che ricordiamo qui di seguito per una funzione di una variabile:

(23)

dove è un punto compreso tra e . Oppure l’errore nell’approssimazione con un polinomio può essere stimato asintoticamente, nel qual caso si otterrà la formula di Taylor con resto di Peano, che ricordiamo qui per funzioni di una variabile:

dove il simbolo di -piccolo è stato definito in (9). Per approfondimenti riguardo a questi strumenti nell’analisi di funzioni di una variabile, rimandiamo a [9].

Dimostrazione. Definiamo la funzione , composizione della parametrizzazione del segmento congiungente e con la funzione . Precisamente, se è definita da per , si ha , ovvero

Dal teorema di differenziazione delle funzioni composte 26 e dall’ipotesi segue che , pertanto a essa si può applicare la formula di Taylor con resto di Lagrange al secondo ordine e avere che esiste tale che

Calcoliamo ora le derivate e . Grazie al teorema 26 vale

Ponendo si ottiene . Deriviamo ora ulteriormente l’espressione di :

dove si è sfruttato che la riga -esima della matrice hessiana è proprio il gradiente delle funzione e quindi la sommatoria si può scrivere come prodotto scalare tra il vettore e il vettore ottenuto come prodotto righe per colonne di e , ossia in altre parole la forma quadratica associata a . Da tali formule per e segue immediatamente la tesi.

La formula di Taylor consente quindi di scrivere esattamente il valore di come un polinomio di secondo grado nelle componenti di in cui i coefficienti dei termini di secondo grado sono le componenti della matrice hessiana di calcolata in un punto sul segmento congiungente e . Assumendo che sia di classe , è ragionevole aspettarsi che la matrice hessiana in tale punto (la cui esistenza è dimostrata ma non è chiaro come ricavarlo) non sia molto diversa da . Volendo sostituire appunto i coefficienti con le componenti di quest’ultima matrice, si commetterebbe un errore che, però, è un infinitesimo ordine superiore a , come chiarito dalla seguente formula di Taylor con resto in forma di Peano.

Dimostrazione. Dato che e è aperto, esiste per il quale è possibile applicare la formula di Taylor con resto di Lagrange data dal teorema 37 a ogni tale che . Fissato , per la continuità di , esiste tale che

(26)

Chiamando , per ogni valgono entrambe le proprietà di sopra e quindi esiste tale che

(27)

Rimane solo da provare che l’ultimo addendo è . A tal fine, scrivendo il prodotto righe per colonne e il prodotto scalare componente per componente, si ha

dove la prima disuguaglianza segue dalla disuguaglianza triangolare, mentre per la seconda abbiamo usato (26), abbiamo stimato ciascun e abbiamo considerato che vi sono termini nel prodotto.

Dunque, a patto di scegliere abbastanza piccolo, l’ultimo addendo in (27) è più piccolo di . Per l’arbitrarità di e la definizione di limite, ciò vuol dire proprio che esso è , che è quanto si voleva provare.

Come risulta chiaro dall’enunciato del teorema, la formula di Taylor con resto di Peano rinuncia alla scrittura esatta della funzione nel punto in luogo di una stima asintotica, rispetto a , dell’errore commesso. Il vantaggio è però che essa richiede la sola conoscenza della funzione e delle sue derivate in . Ricordiamo che il polinomio del secondo grado che compare nella (25), ossia

(28)

viene detto polinomio di Taylor di ordine 2 di centrato in .

Segnaliamo inoltre che, come nel caso unidimensionale, è possibile procedere oltre l’ordine 2, così da giungere a un polinomio di Taylor di grado superiore che approssimerà la funzione in modo migliore. Siccome la trattazione è totalmente analoga e fa uso di derivate successive alla seconda, che quindi richiedono una maggiore complessità di scrittura, non riportiamo gli enunciati di tali teoremi.

Una delle domande più interessanti da porsi quando si studia una funzione riguarda l’esistenza (e la successiva ricerca) dei suoi estremi, ossia dei punti di massimo o minimo (anche relativi) della funzione. In questo paragrafo vogliamo interessarci della ricerca di tali estremi e, soprattutto, determinare condizioni necessarie e sufficienti al fine di trovarli.

Cominciamo definendo formalmente cosa sono questi estremi liberi.

Nel seguito utilizzeremo il termine estremi per indicare sia massimi che minimi e il termine punti estremali per riferirci sia ai punti di massimo che di minimo.

Osservazione 40. Notiamo che un punto di massimo/minimo assoluto è chiaramente anche un punto di massimo/minimo relativo, scegliendo qualsiasi . Inoltre ogni estremo relativo di è un estremo assoluto di nel dominio .

Osserviamo che, mentre gli eventuali massimo e minimo di una funzione sono unici, i punti in cui tali valori sono assunti in generale non lo sono.

Uno strumento utile nella ricerca degli estremi per funzioni continue è il teorema di Weierstrass, [12, teorema 4.5], che afferma che tali funzioni ammettono sempre massimi e minimi se il loro dominio è un insieme compatto, ossia chiuso e limitato. Ovviamente il teorema non è di grande aiuto nel caso di domini non compatti e inoltre esso asserisce la sola esistenza di tali massimo e minimo (e quindi di punti di massimo e di minimo), ma non fornisce alcun modo pratico per determinarli.

A tale scopo, se la funzione è derivabile nel suo dominio, una condizione necessaria affinché un punto interno a esso sia di massimo o minimo relativo è fornita dal seguente teorema di Fermat.

Dimostrazione. Assumiamo che sia di minimo relativo, in quanto l’altro caso è analogo. Risultano definite, in un intorno di , le funzioni date da per . L’ipotesi che sia derivabile parzialmente in tale punto equivale, per definizione di derivata parziale, al fatto che tutte le funzioni siano derivabili in e . Dato che ognuna delle funzioni possiede un minimo relativo per , il classico teorema di Fermat per funzioni reali di variabile reale asserisce quindi e ciò quindi implica .

In virtù del precedente teorema, per determinare gli estremi relativi (e quindi anche assoluti) all’interno del dominio, è sufficiente cercare tra i punti a gradiente nullo. Per tali importanti punti viene usata la seguente definizione.

Esempio 43. Sia la funzione definita come

Il grafico di è un paraboloide, ovvero la rotazione di una parabola intorno all’asse , come mostrato in figura 2.

Figura 2: grafico di .

La funzione è derivabile ovunque, pertanto qualsiasi punto di massimo o minimo relativo deve essere critico in virtù del teorema di Fermat 41. Calcolando le derivate parziali di abbiamo

che si annulla solo per . In altre parole, l’unico punto critico della funzione è l’origine. Purtroppo il teorema di Fermat non fornisce ulteriori informazioni sul punto (e in generale non può farlo, come mostrano gli esempi e la discussione seguenti), pertanto occorre stabilire la natura di tale punto critico per altre vie. In questo specifico caso, però, possiamo affermare che l’origine è un punto di minimo assoluto per , in quanto e, poiché l’espressione di è una somma di quadrati, deve aversi

Studiando ad esempio per , si vede facilmente che .

Come per funzioni di una variabile, l’implicazione inversa del teorema di Fermat è falsa, ovvero esistono punti critici che non sono né di massimo né di minimo, come mostra il seguente esempio.

Esempio 44. Sia la funzione definita come

Anche questa funzione è derivabile in e si ha

che si annulla se e solo se . Anche in questo caso, quindi, l’origine è il solo punto critico della funzione. Esso però non è né di massimo né di minimo relativo, come evidenziato dalla figura 3.

Figura 3: grafico di .

Si ha ma è strettamente positivo per mentre è strettamente negativo per . Ciò prova che in ogni intorno dell’origine la funzione assume sia valori strettamente maggiori che strettamente minori di e dunque l’origine non è né di minimo, né di massimo relativo. Un punto siffatto viene detto di sella.

Come chiarito dal precedente esempio, il solo studio delle derivate prime di una funzione non è sufficiente a classificare i punti di massimo e minimo e distinguerli dai punti critici che non sono né di massimo né di minimo, ossia di sella.

Nel caso di funzioni di una variabile, alcune condizioni necessarie o sufficienti all’essere dei punti di massimo o minimo venivano dal segno della derivata seconda nei punti critici. Sulla falsariga di questo modello, è ragionevole aspettarsi che delle informazioni relative al segno delle derivate seconde di una funzione in più variabili possano fornire dati più precisi sulla natura dei punti critici. A tal fine, e analogamente al caso delle funzioni di una variabile, lo strumento fondamentale risulta la formula di Taylor con resto di Peano, che fornisce un’approssimazione della funzione in un intorno di in termini del gradiente e della matrice hessiana: se , essa assume la forma

(34)

Dato che il termine è trascurabile rispetto a per sufficientemente piccolo, risulta evidente che il segno della differenza dipende, in un intorno di , dalla sola positività della quantità associata alla matrice hessiana di in .

Risulta quindi chiara l’importanza di classificare le matrici in base al segno di tale quantità al variare del vettore .

Ovviamente le matrici definite sono anche semidefinite, ma il viceversa in generale è falso in quanto per una matrice semidefinita può esistere un vettore che rende nulla la forma quadratica.

Osserviamo inoltre come esistono matrici che sono sia semidefinite positive che semidefinite negative, senza essere nulle: ad esempio la matrice , che corrisponde a una rotazione di ,

è tale che per ogni , infatti

Vediamo altri esempi al riguardo.

Esempio 46.

• La matrice identità

  

  è definita positiva in quanto

  

 

• Invece la matrice

  

  è definita negativa poiché, se , si ha

  

 

• La matrice

  

  è invece indefinita, in quanto

  

 

• La matrice

  

  è semidefinita positiva, ma non definita positiva, poiché

  

 

• Infine, la matrice

  

  è semidefinita negativa, ma non definita negativa, dato che

  

In generale, per matrici diagonali, è molto semplice stabilire il loro segno, in quanto esse sono definite positive se e solo se tutti gli elementi della diagonale sono positivi, sono definite negative se tutti sono negativi, sono semidefinite se gli elementi della diagonale hanno segno costante o sono nulli; sono infine indefinite se vi sono elementi sulla diagonale con segno opposto.

Da (34) risulta evidente che il segno della matrice hessiana fornisce delle condizioni sufficienti a stabilire il carattere di un punto critico, come stabilito dalla seguente proposizione.

Dimostrazione. Poiché la funzione

è continua e la sfera unitaria è un insieme compatto in quanto chiuso e limitato, il teorema di Weierstrass assicura che esistono massimo e minimo di tale funzione su questo insieme:

1. Se è definita positiva, allora in quanto, altrimenti, esisterebbe un vettore con e tale che , contro la positività della matrice.

   Grazie alla linearità del prodotto righe per colonne e del prodotto scalare, si può dividere e moltiplicare per e ottenere

   

   dove la disuguaglianza segue dal fatto che in quanto tal vettore ha norma . Dalla formula di Taylor con resto di Peano, abbiamo

   (35)

   Dalla definizione di -piccolo, esiste tale che e l’addendo ha modulo minore di se . Applicando tale stima a (35) segue

   

   Ciò prova che in un intorno di la funzione assume valori strettamente maggiori di e quindi è un punto di minimo relativo stretto.

 

2. In maniera analoga, ragionando su , si dimostra che implica che è un punto di massimo relativo stretto.

 

3. Se la matrice è indefinita, si ha e (altrimenti, se ad esempio valesse invece , essa sarebbe semidefinita positiva). Dunque esiste un vettore tale che e un vettore tale che .

   Fissiamo ora ; per definizione di -piccolo, esiste tale che il termine nella formula di Taylor con resto di Peano ha modulo strettamente minore di se . Dalla formula di Taylor con resto di Peano segue quindi

   

   cioè la restrizione di alla retta passante per e parallela a ha un massimo locale. Analogamente, si ha

   

   ovvero la restrizione di alla retta passante per e parallela a ha un minimo locale. Di conseguenza, il punto non è né di massimo, né di minimo locale per .

Osservazione 48 (condizioni necessarie del secondo ordine). Si supponga che sia un punto stazionario di una funzione di classe ; con gli stessi argomenti della proposizione 47, si ricava:

• affinché sia di minimo relativo, è necessario che in quanto, se invece esistesse tale che , allora la restrizione di alla retta passante per e parallela a avrebbe un massimo stretto per ;

 

• similmente, affinché sia di massimo relativo, è necessario che .

Se la matrice hessiana è solo semidefinita ma non definita, non è in generale possibile affermare che il punto è di massimo, di minimo, o di sella senza studiare la particolare funzione in esame. Il motivo di tale lacuna è spiegato dalla formula di Taylor: se il termine del secondo ordine è nullo per qualche direzione , allora il segno di dipende dal segno dell’, che non è appunto determinabile a partire dalle derivate seconde della funzione.

Esempio 49. Sia definita come

Figura 4: grafico di .

Si verifica facilmente che e quindi in particolare la formula di Taylor con resto di Peano fornisce

La matrice hessiana è dunque semidefinita positiva e negativa, ma l’origine è un punto di sella. Infatti, in ogni intorno di tale punto, la funzione assume valori negativi, ad esempio per e , e positivi, per e .

Altri esempi del genere sono dati dalle funzioni definite da , in cui le matrici hessiane in sono rispettivamente semidefinita positiva e semidefinita negativa, ma il punto è di sella.

Al fine di determinare il carattere dei punti critici di una funzione di classe , risulta quindi di fondamentale importanza stabilire il segno della matrice hessiana che, ricordiamo, in tal caso è simmetrica in virtù del teorema di Schwarz 34. A tal fine presentiamo due metodi: il primo di essi usa il segno degli autovalori, mentre il secondo si basa sul segno di determinanti di particolari sottomatrici.

Ricordiamo che un vettore si dice autovettore di una matrice se per qualche . Un tale si dice autovalore di . Ad esempio, per una matrice diagonale, gli autovalori sono gli elementi della diagonale principale e gli autovettori sono quelli della base canonica.

Grazie al teorema spettrale [1, teorema 15.8] una matrice simmetrica è diagonalizzabile, e precisamente esiste una base ortonormale di autovettori. Detta in altri termini, esistono delle nuove coordinate ortonormali rispetto alle quali l’applicazione lineare, definita in coordinate canoniche dalla matrice , assume invece la forma diagonale

dove quindi sono gli autovalori di . Ne segue che, in queste nuove coordinate, la forma quadratica definita in coordinate canoniche dalla matrice assume invece la forma particolarmente semplice

Da tale scrittura è immediato dedurre il segno della matrice simmetrica da quello dei suoi autovalori: abbiamo cioè dimostrato la seguente proposizione.

Dunque, il segno degli autovalori di una matrice simmetrica stabilisce il segno della matrice. Dato che gli autovalori di una matrice si determinano come radici del polinomio caratteristico , si può abbastanza agevolmente dimostrare che, per una matrice , la traccia , ossia la somma degli elementi della diagonale principale, è pari alla somma degli autovalori, mentre il determinante è pari al prodotto degli autovalori.

Osservazione 51 (segno di una matrice simmetrica ). Tali considerazioni consentono facilmente di determinare il segno di una matrice simmetrica . Infatti:

• Se , i due autovalori di hanno lo stesso segno, dunque la matrice è definita positiva o negativa. Se , allora essa è definita positiva in quanto , altrimenti è definita negativa.

 

• Se , allora i due autovalori di hanno segno discorde, e quindi la matrice è indefinita.

 

• Se , la matrice possiede almeno un autovalore nullo e quindi è semidefinita. Poiché la traccia è la somma degli autovalori, se , allora la matrice è semidefinita positiva; se invece , allora è semidefinita negativa. Se infine la traccia è nulla, vuol dire che possiede due autovalori nulli e pertanto deve essere la matrice nulla.

Un altro strumento per la determinazione del segno di una matrice simmetrica consiste nel calcolare i determinanti dei cosiddetti minori di nord-ovest di , che sono le sottomatrici di ottenute considerando le prime righe e colonne di , e i minori principali di , ossia i determinanti delle sottomatrici di ottenute considerando lo stesso sottoinsieme di indici per le righe e le colonne.

Si veda [5, teorema 3.19] per la dimostrazione dei punti 1, 2 e 5, e questo link per i punti 3 e 4.

In questa sezione mostriamo alcuni esercizi sulla determinazione dei punti di estremo per funzioni in più variabili. Prima di passare alla presentazione degli esercizi, riepiloghiamo alcuni passaggi comuni che sfruttano i teoremi dimostrati nelle precedenti sezioni. Consideriamo quindi una funzione di classe , e supponiamo di voler determinare i suoi estremi in .

1. La prima domanda da porsi riguarda l’esistenza degli estremi e dei punti di massimo e minimo. Il teorema di Weierstrass garantisce l’esistenza di punti di massimo e minimo assoluti sotto l’ipotesi che sia compatto. Nei casi in cui tale risultato non sia applicabile, occorre usare altri metodi, spesso lavorando caso per caso, al fine di studiare la limitatezza della funzione e l’eventuale esistenza di punti di estremo.

 

2. Grazie al teorema di Fermat 41, i punti di massimo/minimo relativo all’interno di sono da ricercare tra i punti critici di , ossia quei punti in cui le derivate parziali del primo ordine sono tutte nulle. Sottolineiamo che tale risultato è valido solo all’interno del dominio: nei punti di frontiera le derivate potrebbero anche non essere definite, oppure non essere nulle.

 

3. Per studiare la natura dei punti critici interni, tentiamo di utilizzare il criterio dato dalla proposizione 47 studiando il segno della matrice hessiana di , ad esempio mediante il segno dei suoi autovalori (proposizione 50 e osservazione 51) o usando il criterio di Sylvester (proposizione 52). Se la matrice hessiana è solo semidefinita, ma non definita, tali risultati non consentono di dedurre la natura del punto critico, che va determinata con altri metodi, ad esempio studiando il segno della funzione in un intorno del punto critico, o il segno delle derivate prime. Per una esaustiva raccolta di esercizi svolti su tale importante argomento, rimandiamo il lettore a Esercizi su punti stazionari con determinante hessiano nullo.

 

4. Determinare eventuali punti di massimo e minimo sulla frontiera di , ai quali il teorema di Fermat non si applica, e per farlo vi sono principalmente due strade.

   Un primo metodo consiste nel parametrizzare il bordo e studiare la funzione ristretta alla frontiera come funzione di variabili.

   Un secondo metodo consiste nell’utilizzare la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange, che introdurremo nella sezione 6.

Svolgimento. La funzione da studiare è di classe . Siccome il dominio di non è un insieme compatto, non possiamo applicare il teorema di Weierstrass. Osserviamo però che, se poniamo , si ha

da cui , pertanto non possiede minimo assoluto. Per studiare l’estremo superiore di osserviamo invece che, per ogni , si ha e quindi

Dato che il primo addendo è non positivo, si ha . Osservando che , ne segue che possiede massimo assoluto e che .

Senza basarsi su quest’ultima osservazione, si può notare che la disuguaglianza di sopra implica per . Dunque, poiché , segue che l’estremo superiore di su è lo stesso che nella palla chiusa ; dato che tale insieme è compatto, in esso possiamo applicare il teorema di Weierstrass e dedurne che quindi possiede massimo assoluto. Per il teorema di Fermat, i corrispondenti punti di massimo assoluto devono essere punti critici di .

Determiniamo tali punti critici risolvendo il sistema

(38)

• Se , la prima equazione è soddisfatta e la seconda equivale a

  

  pertanto come punti critici abbiamo , e .

 

• Se , la seconda equazione è soddisfatta e la prima equivale a

  

  da cui abbiamo i punti critici , e .

 

• Se invece e , possiamo dividere la prima equazione per e la seconda per , ottenendo il sistema equivalente

  

  dove l’equivalenza segue dal riarrangiare i termini della prima equazione e dividere per la seconda equazione. Tale sistema è ovviamente impossibile (una stessa quantità non può essere contemporaneamente pari a e a ) e quindi non vi sono ulteriori punti critici.

Concludiamo che i punti critici di sono

Procediamo valutando le derivate seconde nel generico punto :

Calcolando la matrice hessiana nei punti critici troviamo

Le matrici in questione sono tutte diagonali e quindi i rispettivi autovalori sono gli elementi su ciascuna diagonale principale. Dal segno di tali autovalori, la proposizione 50 assicura che è definita positiva in , indefinita nei punti , mentre è definita negativa in . Grazie alla proposizione 47, è un punto di minimo relativo, i punti sono di sella, mentre i punti sono di massimo relativo per .

Per quanto detto all’inizio, tra e vi deve essere almeno un punto di massimo assoluto per : grazie alla parità della funzione, concludiamo che entrambi lo sono e quindi

Svolgimento. Osserviamo innanzitutto che la funzione non possiede massimo né minimo assoluti poiché essa non è limitata né superiormente né inferiormente, siccome

Stabiliamo l’eventuale presenza di punti di estremo relativo notando che è di classe . In virtù del teorema di Fermat, tali punti vanno quindi ricercati tra i punti critici di , ossia le soluzioni di

Dunque tutti i punti del tipo , al variare di , sono critici. In altre parole, i punti critici sono tutti e soli quelli della retta .

Per comprendere la loro natura procediamo calcolando la matrice hessiana della funzione. Ricordiamo che il teorema di Schwarz 34 assicura siccome la funzione è di classe :

Calcolando la matrice sui punti della retta troviamo

Dato che il determinante della matrice hessiana è nullo per ogni , essa possiede almeno un autovalore nullo e quindi è semidefinita, grazie ad esempio all’osservazione 51. Ne segue che la proposizione 47 non consente di stabilire la natura dei punti critici in esame.

A tal fine, ci basiamo sul segno assunto dalla funzione. Notiamo infatti che per ogni ; segnaliamo come, poiché per ogni , il segno di sia determinato da quello di . Pertanto, come rappresentato in figura 5, si ha

Figura 5: la retta di punti critici . In verde le aree in cui assume valori positivi, in rosso quelle in cui assume valori negativi e in blu le rette e su cui si annulla. Ciò consente di determinare agevolmente la natura dei punti critici di .

Fissiamo dunque e distinguiamo 3 casi.

• Il punto è di minimo relativo se , in quanto e in un intorno di tale punto la funzione assume solo valori positivi o nulli.

 

• Il punto è di massimo relativo se , in quanto e in un intorno di tale punto la funzione assume solo valori negativi o nulli.

 

• Il punto è di sella in quanto, in ogni intorno di tale punto, assume sia valori minori che maggiori di .

Svolgimento. La funzione è di classe . Osserviamo subito che la funzione non possiede massimo e minimo assoluti in quanto è illimitata: infatti si ha

da cui e .

In virtù del teorema di Fermat 41, i punti di massimo e minimo relativi vanno cercati tra i punti critici di , che determiniamo risolvendo il sistema

(39)

La seconda equazione è soddisfatta se e solo se , condizione che implica la validità anche della prima equazione. Pertanto i punti critici sono quelli della forma , con .

Al fine di determinare la natura di tali punti critici, tentiamo di applicare la proposizione 47 e calcoliamo quindi le derivate seconde di nel generico punto :

Valutando la matrice hessiana sui punti troviamo

che ha determinante nullo per ogni . Essendo la matrice hessiana solo semidefinita, ma non definita, la proposizione 47 non fornisce informazioni sulla natura dei punti critici, che va determinata con altri metodi. È possibile, a tal fine, fissare e studiare il segno della differenza

(40)

per in un intorno di . Osserviamo che la differenza è nulla per e invece il fattore è positivo per , pertanto il segno della differenza dipende esclusivamente dal fattore , il cui segno rappresentiamo in figura 6.

Figura 6: segno di ; in celeste l’area in cui tale espressione è positiva, in bianco invece l’area in cui .

Ciò consente agevolmente di determinare la natura del punto critico classificando tre casi.

• Se , allora ; dal teorema della permanenza del segno, segue che tale quantità rimane positiva in un intorno di , dunque la differenza (40) assume valori positivi o nulli nello stesso intorno, pertanto il punto è di minimo relativo.

 

• Se , con un ragionamento analogo si vede che è un punto di massimo relativo.

 

• Se invece , in ogni intorno di la differenza (40) assume sia valori positivi (ad esempio per ) che negativi (per ). Ne deduciamo che l’origine è un punto di sella.

Svolgimento. Osserviamo subito che la funzione non è limitata superiormente, infatti ad esempio

da cui . D’altra parte, la funzione è limitata inferiormente, infatti vale

Poiché l’espressione di è data dalla somma di due quadrati, si ha nell’intero dominio. Inoltre si annulla se e solo se ambo i quadrati si annullano, ovvero

da cui l’unico punto di minimo assoluto è e .

Determiniamo ora gli estremi relativi di ; dato che la funzione da studiare è di classe , i punti di massimo e minimo relativo vanno ricercati tra i punti stazionari di , grazie al teorema di Fermat 41:

(41)

La seconda equazione è soddisfatta se e solo se ; sostituendo nella prima si ottiene , ossia . Inserendo di nuovo nella seconda si ricava . In definitiva, l’unico punto critico di è , che sappiamo già essere di minimo assoluto.

Svolgimento. Osserviamo che la funzione non possiede massimo e minimo assoluti in in quanto

da cui e .

Invece, poiché la funzione è di classe e il quadrato è compatto poiché chiuso e limitato, possiede massimo e minimo assoluti in tale insieme.

• Punti di estremo relativo in . Calcoliamo il gradiente di e cerchiamo i punti critici di :

  (42)

  La seconda equazione è soddisfatta se e solo se

  

  Se , la prima equazione diventa , da cui troviamo i punti critici . Se invece , sostituendo nella prima equazione abbiamo , che è impossibile. Pertanto i punti critici di sono e .

  Per determinarne la natura, applichiamo la proposizione 47:

  

  La matrice hessiana nei punti critici vale quindi

  

  e in entrambi i casi il determinante è negativo; ne segue che gli autovalori delle matrici hessiane hanno segno discorde e quindi è indefinita per la proposizione 50. La proposizione 47 assicura quindi che i punti critici di sono di sella.

 

• Punti di estremo nel quadrato . Poiché gli unici punti critici di si trovano sul bordo del quadrato, il teorema di Fermat assicura che i punti di estremo assoluto di in , che esistono grazie al teorema di Weierstrass, si trovano sul bordo di tale insieme.

  Al fine di determinare tali punti, studiamo la funzione ristretta a ciascuno dei quattro segmenti che compongono il bordo del quadrato, rappresentandone la monotonia nella figura 7.

  – la derivata della restrizione di al segmento verticale destro è pari alla derivata parziale rispetto a in tali punti:

  

  da cui segue che la funzione è crescente rispetto a sul segmento e decrescente rispetto a su .

  – Analogamente, la derivata della restrizione di al segmento verticale sinistro è pari alla derivata parziale rispetto a in tali punti:

  

  da cui segue che la funzione è crescente rispetto a sul segmento e decrescente rispetto a su .

  – La derivata della restrizione di al segmento orizzontale superiore è pari alla derivata parziale rispetto a in tali punti:

  

  da cui segue che la funzione è crescente rispetto a sul segmento e decrescente rispetto a su .

  – La derivata della restrizione di al segmento orizzontale inferiore è pari alla derivata parziale rispetto a in tali punti:

  

  da cui segue che la funzione è crescente rispetto a sul segmento e decrescente rispetto a su .

  

  

  Figura 7: monotonia della funzione ristretta al bordo del quadrato: le frecce indicano le direzioni rispetto a cui la funzione è crescente.

  

  Calcoliamo i valori che la funzione assume nei punti che la monotonia appena determinata individua come possibili punti di estremo relativo e assoluto:

  

  Poiché tra tali punti devono essere presenti quelli di estremo assoluto, che sappiamo esistere, dal confronto dei valori otteniamo che il punto è di minimo assoluto, mentre è di massimo assoluto e quindi

  

  Classifichiamo quindi gli altri punti evidenziati per capire se si tratta di estremi relativi per la restrizione di al quadrato.

  – Dalla monotonia appena ottenuta, segue che i vertici e non sono né di massimo né di minimo relativo per .

  – I punti , invece, sono di sella per su , ma ciò non implica a priori che lo siano in qualunque sottoinsieme. In questo specifico caso, però, la matrice hessiana in tali punti è indefinita e ciò implica che, per ciascuno di tali punti, esistono due direzioni indipendenti su cui la forma quadratica assume segni opposti; in altre parole, esistono due rette passanti per il punto su cui la funzione assume rispettivamente un minimo locale stretto e un massimo locale stretto. Le direzioni di queste due rette sono date dagli autovettori di e sarebbe agevole determinarle; ciò non è però necessario in quanto, per la geometria del quadrato, sappiamo che tali rette lo intersecano e quindi questi punti sono di sella anche per la restrizione di al quadrato.

  Alternativamente, ad esempio per il punto , si può osservare che

  

  invece, si ha , che assume valori negativi per i punti con , appartenenti al quadrato. In maniera analoga si può ragionare per il punto .

  – Dimostriamo che il punto è di massimo relativo per la restrizione di al quadrato. Infatti, osserviamo innanzitutto che in un intorno di , dunque la funzione è crescente rispetto a sui segmenti verticali in questo intorno. Dunque

  

  dove la seconda disuguaglianza segue dalla monotonia di sul segmento orizzontale .

  – Poiché , ne segue che il punto è di minimo relativo per la restrizione di al quadrato .

  

  Esercizio 57 . Sia la funzione definita come

  

  Determinare i suoi estremi relativi e assoluti.

  

  Svolgimento. La funzione non è limitata né superiormente né inferiormente in quanto, ad esempio

  

  da cui segue che non possiede massimo né minimo assoluti.

  Per determinare gli estremi relativi di , osserviamo che essa è di classe e quindi questi vanno ricercati tra i suoi punti critici, grazie al teorema di Fermat:

  

  Dalla prima equazione ricaviamo che necessariamente (poiché l’esponenziale non è mai nullo), da cui sostituendo nella seconda ricaviamo

  

  pertanto abbiamo l’unico punto critico . Al fine di determinarne la natura, proviamo ad applicare la proposizione 47 e perciò calcoliamo le derivate seconde della funzione:

  

  Dunque la matrice hessiana nel punto critico vale

  

  che ha determinante nullo e quindi essa è solo semidefinita, ma non definita. Pertanto, la proposizione 47 non consente di stabilire la natura del punto critico in esame. Osserviamo però che gli autovalori di sono e , quindi la matrice hessiana è semidefinita positiva e pertanto il punto può essere solo di minimo relativo o di sella, per l’osservazione 48.

  D’altra parte, è l’autovettore di relativo all’autovalore . Provando a studiare la funzione sulla retta nella direzione passante per , di equazione , si ha

  

  Dunque la restrizione di alla retta in questione ha un punto di massimo relativo stretto per . Ne segue che non può essere di minimo relativo per e quindi esso deve essere di sella.

  Un altro metodo, sostanzialmente equivalente, per stabilire la natura di consiste nello studio della restrizione di a due curve passanti per e provare che la differenza possiede segni discordi.

  Sulla retta si ha

  

  e, se è sufficientemente piccolo e non nullo, allora , perciò la precedente quantità è strettamente positiva. Dunque la restrizione di alla retta possiede un minimo locale stretto.

  Considerando però la curva che passa per il punto , si ha

  

  che, in maniera analoga a quanto detto prima, è negativo per sufficientemente piccolo e non nullo. Quindi, sulla curva in questione, possiede un massimo locale stretto. Si conclude che il punto non è né di massimo né di minimo relativo per .

In questa sezione vogliamo affrontare un problema molto interessante e rilevante nelle applicazioni. Prendendo a esempio quanto visto in [12] sulla determinazione dell’insieme di definizione di una funzione, ci si è ritrovati molte volte a dover stabilire la forma di sottoinsiemi del piano i cui punti soddisfano equazioni del tipo

con funzione definita in un certo insieme . Come nomenclatura, tale espressione viene anche detta equazione implicita in quanto non è esplicitata una condizione su o che consenta di determinare una variabile a partire dall’altra ma solamente una relazione che devono entrambe verificare.

Come anticipato, il luogo dei punti che verifica una tale equazione non è a priori noto ma occorrerà adottare delle tecniche \emph{ad hoc} per essere in grado di esplicitare una delle due variabili in funzione dell’altra. Vogliamo qui studiare quali sono le condizioni che consentono di descrivere il luogo dei punti per cui mediante il grafico di una funzione . Riformulato in altri termini, data l’equazione e un certo punto per cui

vogliamo determinare sotto quali condizioni esista una funzione definita in un intorno di tale che

ossia per cui, nell’insieme dei punti che soddisfano , la variabile si possa esprimere in termini dell’altra in un intorno di .

Attraverso alcuni esempi, cerchiamo euristicamente di capire quali sono le condizioni che deve verificare affinché sia possibile una tale operazione.

• Consideriamo una funzione derivabile; il grafico di tale funzione può essere considerato come l’insieme descritto dall’equazione implicita

  

  Chiaramente in questo caso la è già scritta in modo tale che si possa scrivere la in funzione della . Riportiamo che (supponendo regolare).

 

• Un altro esempio di equazione implicita è quella che descrive la circonferenza di raggio :

  

  Sappiamo da [12] che è possibile esprimere le semicirconferenze superiore e inferiore come grafici in cui è in funzione di . Non è possibile esprimere l’intera circonferenza come grafico di una funzione e, precisamente, ciò non è possibile in nessun intorno dei punti e : il problema è che a ciascun corrisponderebbero due valori per (figura 8).

  

  

  Figura 8: la circonferenza di raggio non può essere scritta come grafico di in funzione di in un intorno del punto .

  

  Analogamente, se vogliamo invece esprimere in funzione di , ciò può essere fatto a patto di considerare la semicirconferenza destra o sinistra. Riportiamo anche in questo caso l’espressione del gradiente di : .

 

• Se consideriamo

  

  il luogo dei punti che verificano tale condizione è costituito dall’unione delle due rette e , rappresentate in figura 9.

  

  

  Figura 9: il luogo dei punti del piano tali che .

  

  Risulta possibile scrivere in termini di o viceversa in un intorno sufficientemente piccolo di ciascun punto, eccetto che per l’origine. L’espressione del gradiente della funzione risulta .

Analizziamo i precedenti esempi: per potere esprimere i punti dell’insieme come grafico di una funzione della variabile in un intorno del punto , è necessario che la retta , con sufficientemente vicino a , intersechi il luogo in un solo punto. Se l’intersezione non è unica, allora vi sono due punti e tali che , perciò la funzione non può essere strettamente monotona. Se è sufficientemente regolare, ciò significa che si annulla almeno in qualche punto (per il teorema di Lagrange). Al contrario, se non si annullasse mai, tale eventualità non potrebbe verificarsi. Ne segue che la possibilità di scrivere il luogo dei punti tali che come grafico di una funzione della variabile è legata all’invertibilità della funzione , ossia al fatto che la derivata parziale non si annulli. Ciò è chiarito dal seguente teorema.

Dimostrazione. Si tratta di mostrare che tale funzione esiste, è unica, è continua, è derivabile con derivata espressa dalla (45) e che tale derivata è continua e possiede le proprietà di regolarità richieste. Senza perdita di generalità possiamo assumere , in quanto per il caso generale basta applicare il risultato alla funzione .

• Cominciamo mostrando che una siffatta funzione esiste. Per prima cosa notiamo che, senza ledere la generalità, possiamo supporre , in quanto il caso in cui tale derivata sia negativa è analogo. Poiché , esiste un intorno di in cui mantiene lo stesso segno: esiste cioè un intorno rettangolare del tipo tale che

  

  Definiamo la funzione

  

  Poiché è strettamente positiva nell’intorno scelto, è una funzione strettamente crescente e, siccome , necessariamente si ha

  

  ossia

  

  Siccome è continua, anche le sue restrizioni alla rette e (figura 10) lo sono, per cui esiste tale che

  (46)

  

  

  Figura 10: l’intorno rettangolare .

  

  A questo punto, per ogni , possiamo considerare la retta verticale passante per e notare che

  

  perciò per il teorema degli zeri ([12]) esiste un tale che (figura 11)

  

  

  

  Figura 11: La retta verticale passante per .

  

  Possiamo perciò definire la funzione

  (47)

  Dalla definizione stessa segue che

  

  Abbiamo dunque provato l’esistenza di una funzione , come richiesto.

 

• Tale è inoltre unica, in quanto, per ogni , la funzione è strettamente crescente in quanto in tutto l’intorno rettangolare di . Ne segue che, per ogni , esiste uno e un solo tale che . Tale coincide quindi con la quantità prima definita. Ciò prova (44).

 

• Proviamo ora che è continua: supponiamo che e dimostriamo che ; se, per assurdo, ciò fosse falso, esisterebbe e una sottosuccessione (che indichiamo con lo stesso indice) tale che

  (48)

  Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, la successione possiede un’estratta convergente; a meno di selezionare questa sottosuccessione, possiamo quindi supporre che . Poiché per ogni e dato che la successione , la continuità di assicura

  

  Da , (44) implicherebbe , che però contraddice (48). In altre parole abbiamo dimostrato che, se , allora . Per il teorema ponte, ciò implica che è continua in .

 

• Sia e dimostriamo che è derivabile in . Per ogni , il segmento congiungente e è contenuto nel rettangolo , pertanto possiamo applicare il teorema di Lagrange 28 alla funzione , ottenendo che esiste un punto su tale segmento tale che

  

  Sviluppando il prodotto scalare si ottiene

  

  dove la divisione per è lecita in quanto e la divisione per lo è in quanto sappiamo che tale derivata non si annulla in tutto il rettangolo. Passando al limite per , il punto , trovandosi sul segmento congiungente e , tende a . Per la continuità delle derivate parziali di , si ha

  

  ossia (45).

 

• Come ultima cosa rimane da provare che nell’ipotesi che , ma in virtù della formula (45), sappiamo che la derivata di si scrive come rapporto di e che sono di classe e in tutto il rettangolo. Pertanto anche , e quindi .

Abbiamo enunciato il teorema del Dini per determinare una funzione ma ovviamente il teorema si può riformulare invertendo i ruoli di e , e la sua dimostrazione è totalmente analoga a quella di 58.

Osservazione 59. Notiamo che, “a posteriori”, l’espressione di è l’unica possibile. Infatti, assumendo che sia derivabile, allora possiamo derivare l’espressione

rispetto a , che può essere vista come la composizione . In virtù del teorema di derivazione delle funzioni composte 26 si ottiene

cioè la (45).

Vediamo alcuni esempi di applicazione del teorema del Dini.

Svolgimento. Innanzitutto il punto soddisfa . Inoltre è di classe nel suo dominio e vale

Ne segue

Dunque siamo nelle ipotesi del teorema del Dini sia per la variabile che per la variabile , e pertanto sappiamo che esistono e due funzioni e tali che l’insieme dei punti del piano soddisfacenti si scrivono nella forma e ; più precisamente

Si ha inoltre

Come intuitivamente ci si può aspettare, vale negli insiemi in cui tali funzioni sono entrambe definite, in quanto associa a l’unico nell’intorno rettangolare di tale che . D’altra parte, associa a tale l’unico tale che .

Svolgimento. Dato che e è di classe , al fine di applicare il teorema del Dini occorre solo calcolare le derivate parziali di e verificare se esse si annullano:

da cui

Dato che la sola derivata parziale rispetto a non è nulla, ne segue che il teorema 58 consente di esprimere i punti dell’insieme in cui come grafico della variabile in funzione della : esistono cioè e una funzione tale che

La derivata di tale funzione in è data dalla formula 45:

Come abbiamo visto in questi esempi, il teorema del Dini può essere utilizzato per stabilire se nell’intorno di un certo punto sia possibile esprimere il luogo dei punti tali che

(49)

come insieme delle coppie o nell’intorno di un punto o, in termini più formali, se sia possibile scrivere localmente l’insieme (49) come grafico di una funzione. Le equazioni della forma (49) sono particolarmente rilevanti e studiate, e gli insiemi costituiti dalle loro soluzioni sono detti insiemi di livello di .

Il teorema del Dini afferma quindi che, se il gradiente di non è nullo in un punto , allora l’insieme di livello descritto da è localmente il grafico di una funzione della variabile o , a seconda di quale derivata parziale di sia diversa da .

I punti in cui dunque sono detti punti regolari per e, se è tale che l’insieme di livello contiene solo punti regolari, si dice valore regolare per . Altrimenti esso si dice valore critico.

Il teorema del Dini è valido anche per funzioni scalari dipendenti da più di due variabili: data , sotto alcune condizioni i punti di che soddisfano

possono essere descritti dal grafico di una funzione di variabili.

Nel seguente teorema scriveremo il generico elemento come .

Dimostrazione. L’argomento è totalmente analogo a quello del teorema 58: si determina un intorno rettangolare di in cui abbia segno costante e, per ciascun , si osserva che la funzione è strettamente crescente e continua, e assume segni opposti in ; da ciò esiste un unico punto tale che . In maniera del tutto analoga si verifica che tale funzione è continua e derivabile e che le sue derivate parziali soddisfano la relazione (50). La regolarità di segue facilmente dall’espressione 50 e dalla regolarità di .

Anche questa versione del teorema della funzione implicita può essere riformulata in termini di insiemi di livello: Data di classe l’insieme di livello è localmente esprimibile come grafico di una funzione di variabili nell’intorno dei punti in cui la derivata parziale di rispetto all’altra variabile è diversa da .

Poiché in tal caso il grafico di è una superficie se (o ipersuperficie se ), gli insiemi di livello di vengono anche chiamati superfici di livello.

La versione più generale del teorema della funzione implicita che presentiamo riguarda il caso in cui , ossia in cui è una funzione a valori vettoriali tale che . In questo caso, lo scopo consiste scrivere l’insieme in cui , come funzione di variabili, nell’intorno di un determinato punto. Non presentiamo la dimostrazione poiché fa uso di nozioni che esulano dallo scopo di questo articolo, ma rimandiamo a [3] o [16] per una trattazione completa.

Osservazione 64. Se le condizioni richieste nei teoremi 58 e 62 risultano geometricamente intuitive, la condizione richiesta in 63 riguardo un particolare determinante della matrice jacobiana potrebbe apparire di non così diretta comprensione.

Se scriviamo le equazioni implicite di quest’ultimo teorema nel caso in cui sia una funzione lineare e , avremo un sistema lineare del tipo

Poiché la matrice jacobiana della funzione coincide con la matrice del sistema lineare, il teorema del Dini per i sistemi asserisce, in questo particolare caso, una proprietà dei sistemi lineari che è già nota dall’algebra lineare: se la sottomatrice formata dalle colonne relative alle variabili è invertibile, allora per ogni scelta di , esiste una e una sola -upla che risolve il sistema lineare. Il teorema della funzione implicita può essere quindi pensato come una versione non lineare di questa proprietà, grazie al fatto che una funzione di classe è bene approssimabile dalla funzione lineare determinata dalla sua matrice jacobiana.

Ci si potrebbe chiedere se la condizione sulla derivata sia una condizione equivalente all’esistenza di una funzione implicita.

La risposta è negativa: la condizione non è necessaria per l’esistenza di una funzione implicita come chiarito dal seguente esempio.

Esempio 65. Consideriamo la funzione definita come

Chiaramente il luogo degli zeri di tale funzione è l’insieme

ossia la retta di equazione , che può quindi essere descritto come grafico rispetto alla variabile o alla variabile . Eppure non è possibile applicare il teorema del Dini a tale funzione in in quanto entrambe le derivate parziali di sono nulle nell’origine.

Sottolineiamo come il precedente esempio appartenga in realtà a una casistica molto più ampia: in effetti si può notare come altri non sia che il quadrato di , funzione a cui invece può essere applicato il teorema del Dini (è una funzione che definisce un sistema lineare) e i luoghi degli zeri di e coincidano. Infatti, data una qualsiasi funzione su cui si possa applicare il teorema del Dini, semplicemente considerando la funzione , tale funzione definisce lo stesso luogo degli zeri ma non verifica le ipotesi del teorema 58.

Osservazione 66. Come abbiamo più volte sottolineato, il teorema del Dini fornisce condizioni sufficienti affinché un’equazione definisca una funzione implicita che ne descriva l’insieme degli zeri localmente, ossia in un intorno di un punto .

Come visto anche nella dimostrazione, l’intorno in cui tale operazione sia possibile dipende sostanzialmente dagli intorni in cui le sottomatrici opportune della matrice jacobiana di siano invertibili.

Si supponga di voler invertire una funzione , di classe , in un intorno del punto . L’esistenza di una funzione inversa è equivalente a richiedere che l’equazione

possieda un’unica soluzione per ogni scelta di in un intorno di . Tale unica soluzione può essere quindi vista come una funzione della variabile . Grazie al teorema del Dini, sappiamo che l’insieme delle soluzioni di può essere localmente scritto come grafico delle variabili se la matrice jacobiana è invertibile. Questa considerazione costituisce l’idea per la dimostrazione del seguente teorema.

Dimostrazione. Definiamo la funzione come

e analizziamo l’equazione implicita

Poiché per ipotesi la matrice è invertibile, si può applicare il teorema della funzione implicita 63 a per ottenere l’esistenza di un intorno di e un intorno di e di una funzione tale che l’insieme delle soluzioni di in è costituito da tutti e soli i punti del tipo con .

In altre parole, ciò significa che con e se e solo se , e cioè

ovvero è l’inversa della funzione tra e . Inoltre, da (53), segue che

dove abbiamo usato e . La regolarità di segue dal fatto che, dalla precedente espressione, se è di classe , allora è di classe .

L’invertibilità fornita dal precedente teorema vale solo localmente, come chiarito dal seguente esempio.

Esempio 68. Sia la funzione definita da

La matrice jacobiana di vale

il cui determinante vale

Il teorema 67 assicura quindi che è localmente invertibile in ogni punto. Non è però possibile determinare un’inversa globale in quanto la funzione è periodica in di periodo .

Se , la condizione che sia non nulla in ogni punto assicura però che essa sia globalmente invertibile, come indicato dal seguente risultato.

Dimostrazione. Il fatto che non si annulla mai e la continuità di assicura che è strettamente monotona e quindi iniettiva. Essa è inoltre chiaramente suriettiva sul codominio . Dunque essa è globalmente invertibile; la sua inversa ovviamente coincide con le inverse locali di fornite dal teorema 67 e quindi ne possiede le proprietà di regolarità da esso stabilite.

Chiaramente, come tutti i teoremi di questa sezione, il precedente risultato non fornisce alcun metodo pratico per determinare la funzione inversa ma ne garantisce solamente l’esistenza.

Si consideri il problema di massimizzare o minimizzare una funzione differenziabile sull’insieme degli zeri di una determinata funzione di classe , ossia l’insieme dei punti tali che . Questo problema viene detto dei massimi e minimi vincolati.

In virtù del teorema della funzione implicita, nei punti in cui tale insieme di livello è localmente scrivibile come grafico di variabili; intuitivamente parlando, ci si aspetta che il generico insieme di livello della funzione “abbia dimensione “. Ne segue che, negli eventuali punti di tale insieme di livello che siano di estremo per la restrizione di a tale insieme, non è in generale possibile applicare il teorema di Fermat; in altre parole, un punto di massimo o minimo per sul vincolo non è in generale un punto critico di .

Si consideri però un tale punto di minimo in cui .

L’idea fondamentale è che, se è di minimo per la restrizione di a , allora esso deve essere di minimo per , dove è una qualunque curva passante per il cui sostegno è contenuto in . Precisamente, per qualunque curva di classe e tale che , la funzione ha un minimo per . Se e sono differenziabili, allora lo è e la sua derivata deve annullarsi in ; per la regola della catena (teorema 26) si ha

Figura 12: i gradienti di e di in devono essere ortogonali all’insieme di livello. Se non è nullo, allora il gradiente di deve essere parallelo a esso.

Dunque il gradiente deve essere ortogonale ai vettori tangenti di tutte le curve contenute in e passanti per , come rappresentato in figura 12.

D’altra parte, su una curva la cui immagine sia contenuta in , si ha per ogni , ovvero è costante; differenziando di nuovo mediante la regola della catena, si ottiene

Dunque anche è ortogonale a tutti i vettori tangenti delle curve contenute in .

Per il teorema della funzione implicita, se , in un intorno di l’insieme si scrive come grafico di variabili, ad esempio ; le curve definite da

per , dove e il vettore è il vettore privato dell’ultima componente, hanno vettori tangenti , che sono indipendenti. Ne segue che è, a meno di multipli, l’unico vettore ortogonale a tutte le curve a valori in e passanti per .

La conclusione che occorre ricavarne è quindi che, affinché sia un punto di minimo o massimo per la restrizione di a , è necessario che sia un multiplo di . Abbiamo cioè dimostrato il seguente teorema.

Osservazione 71 (lagrangiana). Scrivendo esplicitamente le componenti del gradiente di e di , il teorema dei moltiplicatori di Lagrange si può riformulare dicendo che, affinché un punto per il quale siano valide le ipotesi sia di massimo o di minimo relativo per sul vincolo , esso deve soddisfare le equazioni

Se definiamo la funzione di variabili , tali condizioni si sintetizzano dicendo che deve essere un punto critico di . La funzione è detta lagrangiana.

Assumiamo ora invece che con , ossia che l’insieme su cui si vuole minimizzare o massimizzare la funzione sia l’intersezione di vincoli distinti, ciascuno dato da una componente della funzione . Se vogliamo applicare il teorema della funzione implicita all’insieme , occorre ipotizzare che la matrice jacobiana abbia rango massimo, ovvero . Vale infatti il seguente teorema.

Dimostrazione. Se è un punto di massimo o minimo per tale problema, come nella dimostrazione del teorema precedente, allora per ogni curva differenziabile a valori in tale che deve aversi

(59)

ossia deve essere ortogonale a tutte le curve siffatte. Per tali curve si ha, come prima, e quindi nuovamente

dove rappresenta ora la matrice jacobiana di . Ne segue quindi che il vettore tangente a ciascuna curva in deve essere ortogonale al gradiente di ciascuna delle componenti di .

Dato che la matrice jacobiana ha rango massimo, i gradienti delle componenti di sono linearmente indipendenti. Allora, per il teorema della funzione implicita per i sistemi 63, l’insieme si può localmente scrivere come grafico di variabili, ossia esiste tale che i punti di in un intorno di sono ottenuti da . Come prima, le curve ottenute da hanno tangenti indipendenti.

In definitiva, l’ipotesi che abbia rango massimo implica che le righe di generano l’intero sottospazio dei vettori di ortogonali ai vettori tangenti di tutte le curve a valori in e passanti per . Poiché da (59) si ha che , il vettore si scrive come combinazione lineare delle righe di , ossia la tesi.

Una strategia per la determinazione dei punti di estremo di soggetta al vincolo consiste dunque nel determinare, tra i punti in cui abbia rango massimo, quelli per cui sia linearmente dipendente dalle righe di , e confrontare con i punti in cui non ha rango massimo.

Esempio 73. Determiniamo il massimo e il minimo della funzione definita da sull’insieme dei punti del piano appartenenti alla circonferenza di centro l’origine e raggio . Dato che tale circonferenza ha equazione , essa può essere pensata come l’insieme degli zeri della funzione .

La funzione è di classe e la circonferenza è un insieme compatto, dunque il massimo e il minimo di su tale insieme esistono in virtù del teorema di Weierstrass. Per ricercarli, tentiamo di applicare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

La funzione è di classe e si ha

che si annulla se e solo se , che però non appartiene alla circonferenza. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange 70 assicura quindi che i punti di massimo e minimo assoluto sono da ricercare tra i punti in cui il gradiente di è parallelo al gradiente di : vogliamo quindi che esista tale che

in quanto un multiplo del vettore vale se e solo se le sue componenti sono uguali e non nulle; dato che il vincolo impone , ciò giustifica l’equivalenza tra i sistemi. Sostituendo la prima equazione nella seconda, si trova che i punti che soddisfano questo sistema sono solo e . Dato che deve esistere almeno un punto di minimo e uno di massimo per , questi punti sono quelli richiesti. Dal segno di segue che è di massimo assoluto per sulla circonferenza, mentre è di minimo assoluto, e

Come si può notare nel precedente esempio, il teorema dei moltiplicatori di Lagrange non consente di stabilire l’esistenza del massimo o del minimo di una funzione soggetta a un vincolo, ma solo di determinare i punti di massimo e minimo sapendo a priori che essi esistono. Vediamo un altro esempio.

Esempio 74. Determiniamo gli eventuali massimo e minimo assoluti della funzione definita da

sull’insieme

Per prima cosa dobbiamo stabilire se tali massimo e minimo di su esistono. Al fine di utilizzare il teorema di Weierstrass, occorre dimostrare che è un insieme compatto, in quanto è ovvio che è una funzione di classe . Osserviamo che, aggiungendo e sottraendo , un punto appartiene a se e solo se

che è l’equazione di un ellisse, che è un insieme compatto. Dunque, per il teorema di Weierstrass, il massimo e il minimo di su esistono e per ricercarli usiamo il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Definendo , questa funzione è di classe e

che si annulla se e solo se , che però non appartiene a in quanto

Ne segue che il massimo e il minimo assoluti di su soddisfano la tesi del teorema 70: cerchiamo quindi i punti che, per qualche , soddisfano

Osserviamo che , altrimenti si avrebbe , che però non risolve l’ultima equazione. Dunque, moltiplicando il primo membro della prima equazione per il secondo membro della seconda e viceversa e poi semplificando il fattore , si ottiene

che, sostituendo nell’ultima equazione del sistema, fornisce

Inserendo ambo le soluzioni nell’ultima equazione del sistema si ha quindi

Ne segue che i possibili punti di massimo e minimo assoluti per su sono della forma o . Calcolando la funzione in questi punti si ha

Dato che tali valori coincidono a due a due, segue che il massimo e il minimo di su sono rispettivamente