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Funzioni di più variabili: topologia, limiti e continuità

Teoria Funzioni di più variabili

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Sommario

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Questa dispensa tratta le nozioni fondamentali del calcolo in più variabili. Dopo un capitolo introduttivo con numerosi esempi, si introduce la topologia nello spazio n-dimensionale, che conduce alla nozione di limite e, quindi, a quella di continuità.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi, Andrea Gentile.

Revisori: Valerio Brunetti.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali, non contenente lo zero;
\mathbb{N}_0    Insieme dei numeri naturali incluso lo zero;
\mathbb{Z}    Insieme dei numeri interi relativi;
\mathbb{R}    Insieme dei numeri reali;
\overline{\mathbb{R}};    Insieme dei numeri reali estesi: \overline{\mathbb{R}}= \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\};
E^c    Complementare dell’insieme E;
\lvert x \rvert    Modulo del numero x;
\| y \|    Norma del vettore y;
\langle x,y \rangle    Prodotto scalare tra i vettori x ed y;
A \times B    Prodotto cartesiano tra gli insiemi A e B;
\mathbb{R}^n    Prodotto cartesiano di \mathbb{R} con se stesso n volte;
f \colon A \to B    Funzione da A a B;
f \rvert_E    Funzione ristretta all’insieme E;
\sup E, \, \inf E    Estremo superiore ed inferiore dell’insieme E;
\max E, \, \min E    Massimo e minimo dell’insieme E;
\text{sgn}(x)    Funzione segno di x;
B_r(x)    Palla aperta centrata in x di raggio r;
\overline{B}_r(x)    Palla chiusa centrata in x di raggio r;
\overset{\circ}{E}    Interno dell’insieme E;
\overline{E}    Chiusura dell’insieme E;
\partial E    Frontiera di E;
0    Origine di \mathbb{R}^n.


 
 

Introduzione

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Tra i macrosettori della matematica, trova certamente spazio l’analisi matematica, che ha alla sua base i concetti di limite, derivata ed integrale. Lo studio di queste nozioni ha un posto di rilievo nella maggioranza delle discipline scientifiche in quanto consente di tradurre in termini matematici un’incredibile varietà di situazioni fisiche, ingegneristiche, biologiche etc. Si pensi anche solo alle varie grandezze vettoriali descritte dalla fisica o ai parametri di un sistema biologico che evolvono nel tempo.

In particolare, accanto alla teoria nel caso unidimensionale (ossia di funzioni aventi \mathbb{R} come dominio e codominio), notevole rilevanza assume il calcolo in più dimensioni poiché in molte situazioni sopracitate, variabili o immagini unidimensionali non sono sufficienti a catturare tutte le caratteristiche del fenomeno in esame, ma è necessario lavorare in uno spazio a più dimensioni.

In questo articolo si introducono gli strumenti per studiare le funzioni in più variabili per poi giungere al fondamentale concetto di limite e a quello correlato di continuità, estendendo al caso multidimensionale i risultati noti del caso unidimensionale. Quando parliamo di funzioni in più variabili, intendiamo funzioni del tipo

\[ f \colon E \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, \]

con n,m \in \mathbb{N} numeri naturali.

Come si vedrà nella trattazione, se i risultati possono essere analoghi a quelli del caso reale, vi saranno alcune differenze dovute alla diversa natura degli spazi interessati; in effetti il passaggio da una a più dimensioni arricchirà notevolmente la geometria e con essa occorrerà comprendere più a fondo alcune proprietà dello spazio.

Questa dispensa è organizzata come segue:

\[\quad\]

  • Nella sezione 1 presenteremo alcuni esempi di funzioni in più variabili in base alle dimensioni di dominio e codominio: le curve, le funzioni scalari di più variabili e le funzioni vettoriali in più variabili. Analizzeremo ciascun caso mediante numerosi esempi, grafici e spiegazioni intuitive. Per le funzioni scalari definiremo il concetto di massimo, minimo, estremo superiore e inferiore. Infine riporteremo la nozione di insieme di definizione per un’espressione f(x), ossia il massimo sottoinsieme di \mathbb{R}^n in cui l’espressione f(x) risulta ben definita e definisce effettivamente una funzione.

    •  

  • Nella sezione 2 introdurremo alcuni concetti di topologia per gli spazi euclidei a più dimensioni.

    •  

  • Nella sezione 3 introdurremo il concetto di limite e le principali proprietà di cui gode.

    •  

  • Nella sezione 4 introdurremo il concetto di continuità per funzioni in più variabili e riformuleremo in tale contesto i teoremi già noti dallo studio dell’analisi per funzioni di una variabile.

    •  

  • Nell’appendice A riportiamo alcuni complementi di topologia.

 

Funzioni in più variabili

Introduzione.

In questa sezione presentiamo alcuni esempi di funzioni in cui il dominio e/o il codominio sono sottoinsiemi di spazi a più dimensioni. Attraverso degli esempi, ci formeremo una intuizione al riguardo di questi oggetti così da affrontare con profitto lo studio delle relative proprietà formali nei capitoli seguenti.

Le curve.

Una naturale generalizzazione del concetto di funzione da \mathbb{R} in \mathbb{R} consiste nel passaggio da funzioni scalari (ossia aventi come codominio \mathbb{R}) alle funzioni vettoriali (ossia aventi come codominio \mathbb{R}^m). Una funzione \varphi \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m è detta funzione di variabile reale a valori vettoriali.

Poiché il codominio di una funzione \varphi \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m è \mathbb{R}^m, essa associa a ogni t \in A una m-upla di numeri reali (x_1(t),x_2(t),\dots,x_m(t)), e pertanto tale funzione viene usualmente scritta come

\[ \varphi(t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \\ \ldots \\ x_m(t) \end{pmatrix} , \quad \text{oppure} \quad \varphi(t) = \Bigl( x_1(t), x_2(t), \ldots, x_m(t) \Bigr) \qquad \forall t \in A. \]

Ciascuna delle m funzioni che, a t \in A, associano x_1(t), x_2(t), \ldots, x_m(t) è detta componente di \varphi. Nel caso in cui m=2 o m=3, ossia il codominio sia lo spazio euclideo bidimensionale o tridimensionale, le funzioni componenti si denotano rispettivamente con x(t),y(t) e x(t),y(t),z(t).

Qualora il dominio della funzione sia un intervallo e la funzione \varphi sia continua, essa prende il nome di curva.

Definizione 1 (curva). Sia I \subseteq \mathbb{R} un intervallo e m \in \mathbb{N}. Si dice curva una funzione \varphi \colon I \to \mathbb{R}^m che sia continua, ossia tale che le sue componenti x_i \colon I \to \mathbb{R}, date da

\[ \varphi(t)=\big(x_1(t),\dots,x_m(t)\big) \qquad \forall t \in I, \]

siano funzioni continue. L’immagine \operatorname{Im} \varphi di \varphi, ossia l’insieme dei punti dello spazio \mathbb{R}^m che sono immagine di qualche elemento t del dominio, viene detto sostegno della curva.

La definizione è estremamente chiara e facile da immaginare: una curva può essere visualizzata come la deformazione del segmento (a,b) (o semiretta o intero asse reale) in un oggetto che vive nello spazio \mathbb{R}^m. Sebbene il sostegno di una curva corrisponda alla nozione intuitiva di curva, ossia un “oggetto unidimensionale deformato in più dimensioni”, è bene tenere a mente che, matematicamente, una curva e il suo sostegno sono oggetti diversi: la curva è una funzione, mentre il sostegno della curva è solo la sua immagine. A volte, per sottolineare il fatto che ci si riferisca alla funzione nella sua interezza e non al solo sostegno della curva, la funzione \varphi viene anche detta parametrizzazione della curva.

Un utilizzo delle curve avviene in fisica, dove esse descrivono generalmente le posizioni che occupa un punto durante il suo moto (legge oraria) ed in questo contesto t denota il tempo. In questa interpretazione, il sostegno della curva è invece la traiettoria del punto.

Presentiamo di seguito alcuni esempi di curve, dei cui sostegni forniamo anche delle rappresentazioni grafiche.

Esempio 2. Consideriamo m=2, e la curva \varphi \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 definita come

\[ \varphi(t) = \Bigl( x(t),y(t) \Bigr)= \Bigl( t^2, t^3 \Bigr) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \]

Un’idea per disegnare il sostegno di una curva è quella di cercare di esprimere le componenti della curva in funzione di una sola di esse. Ovviamente la scelta di tale funzione componente avviene in base alle rispettive espressioni. In questo esempio, consideriamo la funzione y(t) e procediamo nell’inversione di tale funzione

\[ y = t^3 \iff t=\sqrt[3]{y}. \]

Avendo ottenuto t in funzione di y, e poiché x dipende da t, possiamo scrivere anche x in funzione della sola y:

\[ x(t) = t^2 \Rightarrow x(y) = (\sqrt[3]{y})^2 = \sqrt[3]{y^2}. \]

Ciò dimostra che il sostegno della curva giace sul grafico della funzione da \mathbb{R} in \mathbb{R} del tipo x=f(y), ossia in cui l’ascissa è funzione dell’ordinata. Rappresentiamo tale grafico nella figura 1.

\[\quad\]

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Figura 1: il sostegno della curva nell’esempio 2.

\[\quad\]

Sebbene questo disegno sia abbastanza esplicativo, esso rappresenta soltanto il sostegno della curva, ossia la traiettoria del piano seguita dal punto che la curva descrive. Esso però non fornisce informazioni sulla rapidità con cui tale “moto” avviene, né sul cosiddetto verso di percorrenza della curva, ossia l’“ordine” con cui viene percorso il sostegno. Nel caso in esame questa informazione può essere dedotta molto facilmente considerando l’espressione iniziale della \varphi: la funzione y è crescente in t, ossia a tempi t maggiori corrispondono ordinate maggiori; ciò vuol dire che la curva viene percorsa dal basso verso l’alto, come indicato in figura 2.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: verso di percorrenza della curva dell’esempio 2, con t_1<t_2.

Chiaramente questo andamento regolare potrebbe non verificarsi: rimanendo all’interno del sostegno, vi possono essere anche molteplici “inversioni di marcia”, di modo che il punto considerato ritorni anche più volte sui suoi passi.

Riguardo le altre proprietà di base della curva, essa non possiede un punto iniziale e finale (ci si avvicina dall’infinito e ci si allontana verso l’infinito) e non si autointerseca. Come vedremo più avanti, queste proprietà si esprimono formalmente dicendo che la curva non è chiusa ed è semplice.

Non tutti i sostegni delle curve possono essere scritti interamente come grafici in funzione di una delle componenti, come mostra l’esempio che segue.

Esempio 3. Consideriamo \varphi \colon [0,2\pi] \to \mathbb{R}^2 definita come

\[ \varphi(t)= \Bigl( \cos(t), \sin(t) \Bigr) \qquad \forall t \in [0,2\pi]. \]

Provando a invertire una delle due funzioni, ad esempio la x si potrebbe provare a scrivere

\[ t \overset{?}{=} \arccos(x), \]

ma tale uguaglianza sarebbe vera solo per t \in [0,\pi]. Inoltre, l’espressione y=\sin t \overset{?}{=} \sin (\arccos(x)) non sembra essere di grande aiuto nel visualizzare il sostegno della curva.

Come procedere dunque? Possiamo provare a sfruttare l’identità fondamentale della goniometria, secondo la quale

\[ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \iff x^2(t) + y^2(t) =1, \]

ovvero il sostegno della nostra curva è contenuto nella circonferenza goniometrica di centro l’origine e raggio 1, e t rappresenta proprio l’arco che il punto percorre su tale circonferenza. Poiché quest’ultimo parametro varia tra 0 e 2\pi, il sostegno della curva è proprio la circonferenza goniometrica rappresentata in figura 3. Il punto (1,0) è stato evidenziato per sottolineare come esso sia il punto iniziale e finale della curva, che viene percorsa in senso antiorario, come si vede dalle definizioni stesse di seno e coseno.

\[\quad\]

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Figura 3: sostegno e verso di percorrenza della curva \varphi dell’esempio 3, in cui t_1<t_2.

\[\quad\]

Come già evidenziato, il sostegno di una curva non è in grado da solo di identificare una curva: mostriamo come la circonferenza unitaria sia il sostegno di numerose curve.

Un modo molto facile per determinare altre curve che ammettono lo stesso sostegno è quello di riscalare il parametro t, ossia possiamo definire

(1) \begin{equation*} \psi \colon [0,\pi] \to \mathbb{R}^2, \qquad \psi(t) = \begin{pmatrix} \cos(2t), & \sin(2t) \end{pmatrix} \qquad \forall t \in [0,\pi] . \end{equation*}

Poiché la curva \psi parametrizza la circonferenza mediante un intervallo lungo la metà di \varphi, si può immaginare che \psi descriva il moto di un punto sulla circonferenza al doppio della velocità rispetto a quanto descritto da \varphi.

Chiaramente un risultato simile può essere ottenuto moltiplicando la variabile per qualsiasi parametro reale c>0 e, in maniera informale, possiamo dire che per 0<c<1 percorreremo la curva “a una velocità più bassa” rispetto a \varphi, mentre nel caso in cui c sia maggiore di 1, allora la circonferenza sarà percorsa “a una velocità più alta” rispetto a \varphi.

Altre curve aventi sostegno pari alla circonferenza unitaria sono quelle che la percorrono più volte, ad esempio

\[ \gamma \colon [0,4 \pi] \to \mathbb{R}^2 \qquad \gamma(t) = \big(\cos(t), \sin(t) \big) \qquad \forall t \in [0,4\pi] . \]

Poiché dalla trigonometria sappiamo che

\[ \gamma(t + 2\pi) = \gamma(t) \qquad \forall t \in [0,2\pi], \]

la curva passa più volte per gli stessi punti. Notiamo che, qualsiasi sia T>2\pi, la parametrizzazione

(2) \begin{equation*} \gamma \colon [0,T] \to \mathbb{R}^2, \qquad \gamma(t)=(\cos t, \sin t) \qquad \forall t \in [0,T], \end{equation*}

ha sostegno pari alla circonferenza unitaria, nonostante in generale essa non completi un numero intero di giri su di essa, a meno che T=2k\pi per k \in \mathbb{N}.

Definiamo ora i concetti di curve semplici e chiuse.

Definizione 4 (curve semplici e chiuse). Una curva \varphi \colon I \to \mathbb{R}^m si dice semplice se \varphi(t_1) = \varphi(t_2) solo per t_1=t_2 oppure se t_1 e t_2 sono gli estremi dell’intervallo I. Se I=[a,b], la curva si dice chiusa qualora \varphi(a) = \varphi(b).

Chiariamo meglio le due definizioni precedenti: una curva si dice semplice se non si autointerseca nei suoi punti interni. Immaginando che la curva sia la descrizione temporale del moto di un oggetto nello spazio, la curva si dice chiusa se l’oggetto ritorna al punto di partenza, formando per l’appunto un percorso chiuso.

Possiamo notare come le curve \varphi e \psi del precedente esempio siano chiuse e semplici. Per quanto riguarda invece le curve \gamma in (2), esse non sono semplici per ogni T>2\pi ed in generale esse non sono chiuse, a meno che T=2k\pi per k \in \mathbb{N}.

Oltre agli esempi già visti, una classe importante di curve è costituita dalle curve grafico.

Esempio 5. Sia f \colon I \to \mathbb{R} una funzione continua con I intervallo di \mathbb{R}. Possiamo definire la curva grafico associata a f come

\[ \varphi \colon I \to \mathbb{R}^2, \qquad \varphi(t) = \begin{pmatrix} t, & f(t) \end{pmatrix} \qquad \forall t \in I . \]

Se ad esempio f(t) = t^2, per ogni t \in [-1,1], allora essa definisce la curva

\[ \varphi \colon [-1,1] \to \mathbb{R}^2 \qquad \varphi(t) = \begin{pmatrix} t, & t^2 \end{pmatrix} \qquad \forall t \in [-1,1], \]

che graficamente (figura 4) consiste nell’arco di parabola definita dalla funzione f(x)=x^2 percorsa nel verso delle x crescenti, per -1 \leq x \leq 1.

\[\quad\]

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Figura 4: curva grafico di f(x)=x^2.

\[\quad\]

Esempio 6. Mostriamo come la circonferenza unitaria, già introdotta nell’esempio 3, possa essere scomposta nella sua metà superiore ed inferiore (figura 5) vedendo le due parti come grafici di due funzioni reali di variabile reale.

\[\quad\]

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Figura 5: la circonferenza unitaria come unione di due grafici di funzione.

\[\quad\]

Ricordando che la circonferenza è descritta dall’equazione x^2+y^2=1, possiamo ricavare y= \pm \sqrt{1-x^2}, da cui scegliendo uno o l’altro segno, si ottengono le seguenti espressioni:

\[ y = \sqrt{1-x^2} \qquad \text{ e } \qquad y = -\sqrt{1-x^2} \qquad \forall x \in [-1,1]. \]

Come visto nell’esempio 5, è possibile vedere tali grafici di funzione come curve, quindi come

\[ \begin{aligned} &\varphi_1 \colon [-1,1] \to \mathbb{R}^2 & &\varphi_1(t) = \begin{pmatrix} t, & \sqrt{1-t^2} \end{pmatrix} & &\forall t \in [-1,1] , \\ &\varphi_2 \colon [-1,1] \to \mathbb{R}^2 & &\varphi_2(t) = \begin{pmatrix} t, & -\sqrt{1-t^2} \end{pmatrix} &&\forall t \in [-1,1] . \end{aligned} \]

Sin qui abbiamo visto solamente esempi di curve in 2 dimensioni, vediamone uno in \mathbb{R}^3.

Esempio 7 (elica cilindrica). Consideriamo la curva definita come

\[ \varphi \colon [0,+\infty) \to \mathbb{R}^3, \qquad \varphi(t) = \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \\ t \end{pmatrix} . \]

Il sostegno della curva è illustrato in figura 6.

\[\quad\]

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Figura 6: elica cilindrica.

\[\quad\]

La prima cosa da notare è che la funzione è definita su tutta la semiretta positiva, dunque la curva sicuramente non potrà essere chiusa. Inoltre siccome la componente z è crescente rispetto a t, possiamo immaginare una curva che si sviluppa “andando verso l’alto”.

Passiamo ora alle componenti x ed y, che hanno un aspetto tra di loro simile. In effetti, esse sono le usuali funzioni trigonometriche che si utilizzano per descrivere la circonferenza goniometrica. Ciò significa che, mentre la componente z cresce, la proiezione del punto \varphi(t) sul piano xy descrive una circonferenza. Dunque si può immaginare che la curva descriva una sorta di scala a chiocciola infinita.

Notiamo inoltre che, come l’intuizione ci suggerisce, tale curva è iniettiva, perciò è semplice. Infatti, considerando due punti diversi, t_1 \neq t_2, avremo \varphi(t_1) \neq \varphi(t_2) poiché le rispettive componenti z sono diverse.

In virtù della sua rappresentazione grafica, tale curva viene detta elica cilindrica: infatti è chiaro dalla figura 6 ed è dovuto al fatto che la curva si avvolge sulla superficie del cilindro con asse pari all’asse z e raggio 1.

Chiudiamo la sezione con ulteriori esempi di curve note.

Esempio 8 (lemniscata di Bernoulli). Consideriamo la curva definita come

\[ \varphi \colon [0,2\pi] \to \mathbb{R}^2, \qquad \varphi(t) = \big( 2\cos(t), \sin(2t) \big) \qquad \forall t \in [0,2\pi]. \]

Il sostegno della curva è illustrato in figura 7.

\[\quad\]

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Figura 7: lemniscata di Bernoulli.

\[\quad\]

Possiamo notare alcune simmetrie della funzione in quanto

\[ \varphi(t+\pi) = \bigl( 2\cos(t+\pi),\sin \bigl( 2(t+\pi) \bigr) \bigr) = \bigl( -2\cos(t), \sin(2t) \bigr) \qquad \forall t \in [0,\pi], \]

pertanto è sufficiente studiare la curva solo in [0,\pi] in quanto la porzione avente dominio [\pi,2\pi] si ottiene come riflessione della prima rispetto all’asse verticale.

Inoltre la curva è chiusa siccome \varphi(0) = (2,0) = \varphi(2\pi) e non è semplice poiché \varphi\bigl( \frac{\pi}{2} \bigr) = \varphi \bigl( \frac{3}{2} \pi \bigr) = (0,0).

Tale curva, che ricorda il simbolo dell’infinito, viene detta lemniscata di Bernoulli.

In generale, si può tentare di disegnare il grafico della curva valutandola in alcuni punti così da avere un’idea dell’andamento della curva.

In caso di curva planare (ovvero in \mathbb{R}^2), vi è un altro modo per descriverla, ossia mediante la sua rappresentazione in coordinate polari: invece delle coordinate cartesiane \varphi(t)= (x(t),y(t)), si indica:

\[\quad\]

  • la distanza \rho(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)} del punto \varphi(t) dall’origine O degli assi;

    •  

  • l’angolo \theta(t), orientato in senso antiorario, che il segmento O\varphi(t) forma col semiasse positivo delle x.

Per la definizione rigorosa delle coordinate polari rimandiamo alla formula (15). Vediamo subito un esempio di curva espressa in coordinate polari.

Esempio 9 (cardioide). Sia a>0. Consideriamo la curva descritta in coordinate polari da

\[ \gamma \colon [0,2\pi] \to \mathbb{R}^2, \qquad \gamma(\theta) =(\rho(\theta),\theta) \qquad \forall \theta \in [0,2\pi], \]

dove la funzione \rho \colon [0,2\pi] \to \mathbb{R} è definita come

\[ \rho(\theta) = a\bigl( 1 + \cos(\theta) \bigr) \qquad \forall \theta \in [0, 2\pi]. \]

Il sostegno della curva è illustrato in figura 8.

\[\quad\]

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Figura 8: cardioide.

\[\quad\]

Teniamo a ribadire come le coordinate dell’immagine \gamma(\theta) = \bigl( \rho(\theta), \theta \bigr) siano espresse in coordinate polari, ossia che la prima coordinata \rho(\theta) rappresenta la distanza dall’origine del punto immagine, mentre la seconda \theta rappresenta l’angolo formato dal segmento O\gamma(\theta) col semiasse positivo delle x.

Segnaliamo che questa curva, alla luce del suo sostegno che ricorda un cuore, è chiamata cardioide.

Come prima cosa possiamo notare che la funzione \rho(\theta) è simmetrica rispetto al punto \theta=\pi, ossia

(3) \begin{equation*} \rho(\theta) = \rho(2 \pi - \theta) \qquad \forall \theta \in [0,\pi], \end{equation*}

pertanto è sufficiente determinare l’andamento di \gamma solamente per \theta \in [0,\pi], poi basterà rifletterla rispetto all’asse orizzontale: infatti se il punto \bigl( \rho(\theta), \theta \bigr) appartiene al grafico della curva, allora per la (3), anche il punto \bigl( \rho(\theta), 2 \pi -\theta \bigr), ossia il suo simmetrico rispetto all’asse orizzontale, vi appartiene.

Calcoliamo ora la derivata della funzione:

\[ \rho'(\theta) = -a\sin(\theta)<0 \qquad \forall \theta \in (0,\pi). \]

Ciò significa che il raggio decresce tra 0 e \pi e poi cresce tra \pi e 2 \pi, per la precedente proprietà di simmetria.

Come è possibile notare, il parametro utilizzato per descrivere la curva è l’angolo \theta stesso. Si potrebbe cioè dire che la curva è, nelle coordinate polari, il grafico di una funzione. Diamo però un’altra interpretazione di questo caso particolare, che a nostro avviso risulta interessante.

Il fatto che la curva sia parametrizzata tramite la coordinata angolare implica che essa “compia un giro” intorno all’origine in senso antiorario; inoltre, il fatto che la distanza dall’origine \rho sia funzione di \theta si può tradurre intuitivamente dicendo che la curva è costituita da un giro in senso antiorario intorno all’origine a una distanza da essa \rho(\theta) variabile con l’angolo \theta. In altre parole, la curva può essere pensata come una sorta di circonferenza deformata, cioè in cui la distanza \rho dall’origine non è fissa, ma varia al variare dell’angolo \theta. Sottolineiamo che tale caratteristica non è generale per tutte le curve espresse in coordinate polari, così come non è in generale vero che tutte le curve siano esprimibili come grafici.


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