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Esercizi sul teorema della divergenza

Teorema della divergenza

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Sommario

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La presente dispensa raccoglie alcuni esercizi pensati per consolidare la comprensione del teorema della divergenza e la sua applicazione per il calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Chiara Gambicchia, Matteo Scianna.


 
 

Notazioni

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\hat{x},\hat{y},\hat{z}    Versori degli assi;
v\cdot w    Prodotto scalare;
\hat{n}    Versore normale;
div\vec F    Divergenza del campo \vec F;
\frac{\partial}{\partial x}    Derivata parziale rispetto alla variabile x;
\iint_{\Sigma }\vec{F}\cdot \hat{n}\, d \sigma    Flusso del campo \vec F attraverso la superficie \Sigma, orientata secondo \hat n.


 
 

Introduzione

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In questa dispensa troverete una serie di esercizi sul flusso di campi vettoriali attraverso superfici pensati per essere risolti tramite il teorema della divergenza. L’obiettivo è quello di metabolizzarne bene l’enunciato e comprenderne l’utilità pratica, mostrando come in alcuni casi applicare il teorema della divergenza renda lo svolgimento dell’esercizio molto più rapido e fluido. Gli esercizi proposti non sono ordinati per difficoltà ma sono suddivisi in base alla superficie fornita dal testo e dunque in base all’applicazione più o meno diretta del teorema, in questo ordine:

\[\quad\]

  • ellissoidi;

    •  

  • superfici cilindriche o pseudo-cilindriche;

    •  

  • paraboloidi e superfici coniche;

    •  

  • superfici poligonali.

 
 

Richiami di teoria

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Richiamiamo alcune nozioni di teoria che saranno utili durante lo svolgimento degli esercizi.

\[\quad\]

Definizione 1. Un sottoinsieme S\subset\mathbb{R}^3 si dice superficie regolare se per ogni p\in S esistono un aperto U\subset\mathbb{R}^2 e una mappa di classe C^1

\[ \gamma:U\longrightarrow \mathbb{R}^3 \]

tali che:

\[\quad\]

  1. \gamma è un’immersione, ovvero \frac{\partial\gamma}{\partial u} e \frac{\partial\gamma}{\partial v} sono linearmente indipendenti;

    2.  

  2. \gamma è un omeomorfismo tra U e \gamma(U), dove \gamma(U) è un intorno di p in S con la topologia di sottospazio.

In tal caso \gamma si dice parametrizzazione regolare di S attorno a p.

\[\quad\]

Prima della prossima definizione, ricordiamo che una superficie \Sigma si dice orientabile se esiste una scelta continua \hat{n}(x,y,z) di versori normali lungo \Sigma, che viene detta orientazione. Intuitivamente, un’orientazione esiste se possiamo distinguere le due “facce” della superficie, per esempio una faccia interna ed una esterna, o una faccia superiore ed una inferiore.

\[\quad\]

Definizione 2. Sia \Sigma\subset\mathbb{R}^3 una superficie regolare orientabile, con orientazione \hat n. Sia \vec F un campo vettoriale di classe C^1 in un intorno aperto di \Sigma. Per ogni parametrizzazione regolare compatibile con l’orientazione

\[ \vec \gamma:\mathcal{S}\subset\mathbb{R}^2 \to \Sigma,\qquad \frac{\partial\vec \gamma}{\partial\theta}(\theta,\rho)\wedge\frac{\partial\vec \gamma}{\partial\rho}(\theta,\rho)\neq 0, \]

il flusso di \vec F attraverso \Sigma nel verso di \hat n si definisce come

\[ \iint_\Sigma \vec F\cdot \hat n \, d\sigma \;:=\; \iint_{\mathcal{S}} \vec F\!\big(\vec \gamma(\theta,\rho)\big)\cdot \left(\frac{\partial\vec \gamma}{\partial\theta}(\theta,\rho)\wedge\frac{\partial\vec \gamma}{\partial\rho}(\theta,\rho)\right)\, d\theta\,d\rho. \]

Qui d\sigma=\big\lVert \frac{\partial\gamma}{\partial\theta}\wedge\frac{\partial\gamma}{\partial\rho}\big\rVert\,d\theta\,d\rho è detto elemento di area, e

\[ \hat n\,d\sigma \;=\; \left(\frac{\partial\gamma}{\partial\theta}\wedge\frac{\partial\gamma}{\partial\rho}\right)\,d\theta\,d\rho \]

è detto vettore area orientato.

\[\quad\]

Osservazione 3. La definizione appena data è ben posta, cioè non dipende dalla parametrizzazione scelta per la superficie. Infatti l’integrale in questione è invariante per diffeomorfismi che preservano l’orientazione.

Ricordiamo ora il concetto di divergenza di un campo vettoriale.

\[\quad\]

Definizione 4. Sia \vec F(x,y,z) un campo vettoriale C^1 da un aperto \Omega di \mathbb{R}^3 a valori in \mathbb{R}^3. In coordinate cartesiane, detti \hat{x},\hat{y} e \hat{z} i versori degli assi, la divergenza di un campo vettoriale \vec{F}(x,y,z) = (F_x , F_y,F_z) è la funzione scalare div\vec{F} definita da:

\[\text{div} \vec{F}(x,y,z) = \dfrac {\partial F_{x}}{\partial x}(x,y,z)+\dfrac {\partial F_{y}}{\partial y}(x,y,z)+\dfrac {\partial F_{z}}{\partial z}(x,y,z)\]

per ogni (x,y,z)\in \Omega.

\[\quad\]

A questo punto siamo pronti per enunciare il teorema della divergenza, argomento principale di questa dispensa.

Teorema 5 (teorema della divergenza). Sia \Omega \subset \mathbb{R}^3 un aperto non vuoto e \vec{F}:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^3 un campo vettoriale di classe \mathcal{C}^1 in \Omega con \vec{F}(x,y,z)=(F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)). Sia \Gamma un dominio limitato tale che la chiusura di \Gamma sia contenuta in \Omega e sia \hat{n} il versore normale esterno alla superficie \Sigma=\partial \Gamma. Allora vale la seguente identità:

(1) \begin{equation*} \!\!\! \iiint_{\Gamma} \mathrm{div}\vec{F}dxdydz=\iint_{\partial \Gamma}\vec{F}\cdot \hat{n}\,d\sigma. \end{equation*}

\[\quad\]

In forma discorsiva, il teorema afferma che il flusso di un campo vettoriale, uscente da una superficie chiusa, uguaglia l’integrale della divergenza del campo nella regione racchiusa dalla superficie stessa.

Una parametrizzazione spesso utilizzata per svolgere integrali multipli è quella data dalle coordinate sferiche, rappresentate in figura 1 e definite come segue.

\[\quad\]

Proposizione 6. In \mathbb{R}^3, le coordinate sferiche soddisfano le seguenti relazioni rispetto alle coordinate cartesiane:

\[\begin{cases} x= \rho \sin \phi \cos \theta\\ y= \rho \sin \phi \sin \theta\\ z= \rho \cos \phi \end{cases} \hspace{2cm} \rho\in[0,+\infty],\,\,\theta\in [0,2\pi],\,\,\phi\in [0,\pi],\]

dove \rho è la distanza dall’origine, \theta è l’angolo azimutale e \phi è l’angolo polare.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: coordinate sferiche.

\[\quad\]

NOTA: Tecnicamente parlando, questa non è una parametrizzazione nel senso della definizione 1, perché non è iniettiva ai poli nord e sud (corrispondenti ai valori di \phi=0 e \phi=\pi). Tuttavia, la consideriamo come parametrizzazione, essendo tali singolarità trascurabili. A essere precisi, per parametrizzare la sfera, bisognerebbe parametrizzare i due emisferi separatamente e poi “incollare” le due mappe in modo liscio, ma questo va oltre gli obiettivi di questa dispensa.

Prima di lasciarvi agli esercizi della dispensa, svolgiamo qui un conto che ricorrerà spesso, ed è quindi utile avere “a portata di mano”.

Osservazione 7. In generale, per un ellissoide E con superficie di equazione

\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1,\]

il volume risulta pari a

\[V=\dfrac{4}{3}\pi abc.\]

Infatti il diffeomorfismo

\[ \begin{cases} \tilde x= a^{-1}\,x\\ \tilde y= b^{-1}\,y\\ \tilde z= c^{-1}\, z \end{cases} \]

che ha Jacobiano della trasformazione inversa J=abc, mappa l’ellissoide E nella sfera B_1 di equazione

\[ \tilde{x}^2+\tilde{y}^2+\tilde{z}^2=1. \]

Dunque

\[\iiint_E 1\,dxdydz=abc\iiint_{B_1} 1\,d\tilde{x}d\tilde{y}d\tilde{z}=abc\cdot \mathrm{Vol}(B_1)=\frac{4}{3}\pi abc.\]


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Dato il campo vettoriale \vec{F}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3

\[\vec{F}(x,y,z)=\left(2x^2z^3-2(x^3+z^3)y^2-2y\sin x,(y^2+z^2)\cos x+2y(1-2xz^3),z+2x^2y^2(3z-1) \right),\]

calcolare

\[\iint_\Sigma \vec{F}\cdot \hat{n}\,d\sigma,\]

dove \Sigma è la superficie chiusa di equazioni parametriche

\begin{equation*} \begin{cases} x=3\cos\phi\sin\theta,\\ y=3\sin\phi\sin\theta, \hspace{2cm} \mbox{con} \,\, 0\le\phi\le2\pi \,\, \mbox{e}\,\, 0\le\theta\le\pi\\ z=3\cos\theta, \end{cases} \end{equation*}

e \hat{n} è la normale uscente.

Svolgimento.

Dalla parametrizzazione data dal testo possiamo osservare che \Sigma è la superficie di una sfera di equazione cartesiana

\[x^2+y^2+z^2=9\]

che è una superficie chiusa rappresentata in figura 2.

Figura 2: superficie \Sigma, corrispondente a una sfera di raggio 3 con normale orientata verso l’esterno.

\[\quad\]

Inoltre, \vec{F} è di classe \mathcal{C}^1 nel suo dominio, che è \mathbb{R}^3 . Chiamiamo

\[\begin{aligned} &F_1(x,y,z)=2x^2z^3-2(x^3+z^3)y^2-2y\sin x,\\ &F_2(x,y,z)=(y^2+z^2)\cos x+2y(1-2x z^3),\\ &F_3(x,y,z)=z+2x^2y^2(3z-1) \end{aligned}\]

e calcoliamo le componenti di \text{div} \vec{F}:

\[\begin{aligned} &\dfrac{\partial F_1}{\partial x}(x,y,z)=4x z^3-6x^2 y^2-2y\cos x,\\ &\dfrac{\partial F_2}{\partial y}(x,y,z)=2y\cos x+2(1-2xz^3),\\ &\dfrac{\partial F_3}{\partial z}(x,y,z)=1+6x^2y^2. \end{aligned}\]

Sommandole si ottiene

\[\mathrm{div}\vec{F}(x,y,z)=4x z^3-6x^2 y^2-2y\cos x+2y\cos x+2-4xz^3+1+6x^2y^2=3,\]

da cui

\[\iint_\Sigma \vec{F}\cdot \hat{n}\,d\sigma=\iiint_\Gamma \mathrm{div}\vec{F}\,dx dy dz=\iiint_\Gamma 3 \, dx dy dz\]

dove \Gamma=\left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x^2+y^2+z^2\leq 9\right\}.

Ricordiamo che il volume di una sfera di raggio R è V=\frac{4}{3}\pi R^3, quindi

\[\iint_\Sigma \vec{F}\cdot \hat{n}\,d\sigma=\iiint_\Gamma \text{div}\vec{F}\,dxdydz=\iiint_\Gamma 3dxdydz=3\cdot \dfrac{4}{3}\pi\cdot 27=108\pi.\]

In conclusione

\[\boxcolorato{analisi}{\displaystyle \iint_\Sigma \vec{F}\cdot \hat{n}\,d\sigma=108\pi. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia R>0 fissato e sia \Gamma_R \subset \mathbb{R}^3 la palla (o sfera piena) di raggio R centrata in (0,0,0). Poniamo \Sigma=\partial \Gamma_R la superficie di \Gamma_R e si consideri \hat{n} la normale a \Sigma uscente da \Gamma_R. Calcolare il flusso del campo vettoriale \vec{F}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3

\[\vec{F}(x,y,z)=(xe^y,\,2-e^y,\,z^2-3z)\]

attraverso \Sigma.

Svolgimento.

Rappresentiamo graficamente \Gamma_R in figura 3.

\[\quad\]

Figura 3: sfera di raggio R, con normale uscente.

\[\quad\]

Essendo \Sigma una superficie chiusa, possiamo applicare direttamente il teorema della divergenza, che ci dà

\[\iint_{\Sigma}\vec F \cdot \hat{n}d\sigma=\iiint_{\Gamma_R}\text{div}\vec{F}(x,y,z)dxdydz.\]

Calcoliamo div\vec{F}:

\[\text{div}\vec{F}(x,y,z)=\dfrac{\partial}{\partial x}(xe^y)+\dfrac{\partial}{\partial y}(2-e^y)+\dfrac{\partial}{\partial z}(z^2-3z)=e^y-e^y+2z-3=2z-3.\]

e parametrizziamo \Gamma_R applicando le coordinate sferiche

\[\begin{cases} x=\rho\cos\theta \sin\phi ,\\ y=\rho\sin\theta \sin \phi, \\ z=\rho\cos\phi , \end{cases}\]

dove \theta\in[0,2\pi], \phi\in[0,\pi], \rho\in[0,R] e dxdydz=\rho^2\sin\phi \,d\rho d\theta d\phi. Abbiamo dunque

\[\begin{aligned} \iiint_{\Gamma_R} (2z-3)dxdydz&= \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi\, d\phi \int_0^R (2\rho \cos \phi -3)\rho^2 \sin \phi\, d\rho=\\ &=2\pi \int_0^\pi d\phi \int_0^R (2\rho^3\cos \phi \sin \phi -3\rho^2\sin \phi)\,d\rho=\\ &=2\pi \int_0^\pi \left(\dfrac{R^4}{4}\sin (2\phi)-R^3 \sin \phi \right)\,d\phi=\\ &\overset{*}{=}2\pi R^3 \cos \phi \bigg\vert_{\phi=0}^\pi=\\ &=-4\pi R^3, \end{aligned}\]

dove, nel passaggio * abbiamo usato il fatto che \sin(2\phi) ha integrale nullo sul periodo \pi. Quindi concludiamo che

\[\boxcolorato{analisi}{\displaystyle \iint_{\Sigma}\vec F \cdot \hat{n}d\sigma=-4\pi R^3. }\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il flusso uscente del campo

\[ \vec F(x,y,z)=(x^{3},\,y^{3},\,z^{3}) \]

attraverso la superficie della sfera unitaria

\[ \Sigma=\{(x,y,z)\in\mathbb R^{3} : x^{2}+y^{2}+z^{2}= 1\}. \]

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