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Integrali doppi con coordinate polari

Teoria Funzioni di piĆ¹ variabili

Home Ā» Integrali doppi con coordinate polari

 
 

Autori e revisori

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Introduzione

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Le coordinate polari risultato spesso utili nel calcolo di integrali doppi, soprattutto nei casi in cui il dominio di integrazione e/o la funzione integranda abbiano delle simmetrie di tipo circolare.

In questo articolo, dopo un breve richiamo alla formula di cambio di variabili negli integrali doppi, presentiamo il cambio di variabili in coordinate polari e, successivamente, lo illustriamo mediante un gran numero di figure ed esempi svolti. Concludiamo presentando un accenno alle coordinate ellittiche.


 
 

Cambio di variabili

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In questa sezione ricordiamo la formula di cambio di variabili, analoga della formula dā€™integrazione per sostituzione giĆ  nota per funzioni di una variabile.

Ricordiamo che un sottoinsieme del piano si dice di classe C^1 se la sua frontiera ĆØ costituita da un’unione finita di curve di classe C^1 disgiunte. PiĆ¹ formalmente, \mathcal D \subset \mathbb R^2 ĆØ di classe C^1 se per ogni P_0=(x_0,y_0) \in \partial \mathcal D esiste r>0 e una funzione \gamma: \mathbb R \to \mathbb R di classe C^1 tale che

\[\mathcal D \cap B(P_0, r) = \{ (x,y) \in B(P_0, r) \, : \, y \geq \gamma (x) \} \quad \text{oppure} \quad \mathcal{D} \cap B(P_0,r) = \{(x,y) \in B(P_0,r) \colon x \geq \gamma(y)\} ,\]

dove con B(P_0, r)=\{ (x,y) \, : \, \Vert (x,y) -(x_0,y_0) \Vert \leq r\} indichiamo la palla di centro P_0 e raggio r.

Figura 1: trasformazione del dominio \mathcal T.

\[\quad\]

Teorema 1 (cambio di variabili). Siano \mathcal D, \mathcal T \subset \mathbb R^2 domini di classe C^1 e sia \Phi: \mathcal T \to \mathcal D una funzione biunivoca e di classe C^1 con inversa C^1, tale che

\[\Phi : (u,v) \in \mathcal T \mapsto(x,y)\in \mathcal D ,\]

dove \Phi(u,v)= (\phi_1(u,v), \phi_2(u,v)), cioĆØ

\[\begin{cases} x=\phi_1(u,v) \\ y=\phi_2 (u,v) . \end{cases}\]

Allora, per ogni f: \mathcal D \to \mathbb R integrabile, si ha

\[\iint_{\mathcal D} f(x,y) \, dxdy= \iint_{\mathcal T=\Phi^{-1}(\mathcal D) }f(\phi_1(u,v), \phi_2 (u,v)) \vert \det J_\Phi (u,v) \vert \, dudv,\]

dove

(1) \begin{equation*} J_\Phi (u,v): = \left ( \begin{array}{cc} \dfrac{\partial \phi_1(u,v)}{\partial u} & \dfrac{\partial \phi_1 (u,v)}{\partial v} \\ \dfrac{\partial \phi_2(u,v)}{\partial u} & \dfrac{\partial \phi_2(u,v)}{\partial v} \\ \end{array} \right ). \end{equation*}

\[\quad\]

La matrice J_\Phi (u,v) che compare nel teorema di cambiamento di variabili ĆØ detta matrice jacobiana della trasformazione \Phi. Il fatto che, nell’integrale a destra, compaia il modulo del determinante di tale matrice si giustifica perchĆ© la trasformazione \Phi tra i domini \mathcal{T} e \mathcal{D} dilata le aree e quindi ciĆ² va tenuto in conto quando si calcola l’integrale. Il modulo del determinante jacobiano in (x,y) ĆØ proprio il “fattore infinitesimale di dilatazione” di \Phi nel punto (x,y). Infatti, se \Phi fosse una funzione affine, un vettore v nel dominio verrebbe trasformato proprio in J_\Phi v; da ciĆ² segue che un rettangolo in \mathcal{T} diventerebbe un parallelogramma, di area pari a |\det J \Phi|, come illustrato in figura 2.

\[\quad\]

Figura 2: trasformazione di un rettangolo attraverso una funzione \Phi affine.


 
 

Coordinate polari negli integrali doppi

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