Integrali doppi con coordinate polari

Home » Integrali doppi con coordinate polari

Autori e revisori

Leggi...

Autori: .

Revisori: .

Introduzione

Leggi...

Le coordinate polari risultato spesso utili nel calcolo di integrali doppi, soprattutto nei casi in cui il dominio di integrazione e/o la funzione integranda abbiano delle simmetrie di tipo circolare.

In questo articolo, dopo un breve richiamo alla formula di cambio di variabili negli integrali doppi, presentiamo il cambio di variabili in coordinate polari e, successivamente, lo illustriamo mediante un gran numero di figure ed esempi svolti. Concludiamo presentando un accenno alle coordinate ellittiche.

Cambio di variabili

Leggi...

In questa sezione ricordiamo la formula di cambio di variabili, analoga della formula d’integrazione per sostituzione già nota per funzioni di una variabile.

Ricordiamo che un sottoinsieme del piano si dice di classe $C^1$ se la sua frontiera è costituita da un’unione finita di curve di classe $C^1$ disgiunte. Più formalmente, $\mathcal D \subset \mathbb R^2$ è di classe $C^1$ se per ogni $P_0=(x_0,y_0) \in \partial \mathcal D$ esiste $r>0$ e una funzione $\gamma: \mathbb R \to \mathbb R$ di classe $C^1$ tale che

$\mathcal D \cap B(P_0, r) = \{ (x,y) \in B(P_0, r) \, : \, y \geq \gamma (x) \} \quad \text{oppure} \quad \mathcal{D} \cap B(P_0,r) = \{(x,y) \in B(P_0,r) \colon x \geq \gamma(y)\} ,$

dove con $B(P_0, r)=\{ (x,y) \, : \, \Vert (x,y) -(x_0,y_0) \Vert \leq r\}$ indichiamo la palla di centro $P_0$ e raggio $r$ .

Figura 1: trasformazione del dominio $\mathcal T$ .

$\quad$

Teorema 1 (cambio di variabili). Siano $\mathcal D$ , $\mathcal T \subset \mathbb R^2$ domini di classe $C^1$ e sia $\Phi: \mathcal T \to \mathcal D$ una funzione biunivoca e di classe $C^1$ con inversa $C^1$ , tale che

$\Phi : (u,v) \in \mathcal T \mapsto(x,y)\in \mathcal D ,$

dove $\Phi(u,v)= (\phi_1(u,v), \phi_2(u,v))$ , cioè

$\begin{cases} x=\phi_1(u,v) \\ y=\phi_2 (u,v) . \end{cases}$

Allora, per ogni $f: \mathcal D \to \mathbb R$ integrabile, si ha

$\iint_{\mathcal D} f(x,y) \, dxdy= \iint_{\mathcal T=\Phi^{-1}(\mathcal D) }f(\phi_1(u,v), \phi_2 (u,v)) \vert \det J_\Phi (u,v) \vert \, dudv,$

dove

(1) $\begin{equation*} J_\Phi (u,v): = \left ( \begin{array}{cc} \dfrac{\partial \phi_1(u,v)}{\partial u} & \dfrac{\partial \phi_1 (u,v)}{\partial v} \\ \dfrac{\partial \phi_2(u,v)}{\partial u} & \dfrac{\partial \phi_2(u,v)}{\partial v} \\ \end{array} \right ). \end{equation*}$

$\quad$

La matrice $J_\Phi (u,v)$ che compare nel teorema di cambiamento di variabili è detta matrice jacobiana della trasformazione $\Phi$ . Il fatto che, nell’integrale a destra, compaia il modulo del determinante di tale matrice si giustifica perché la trasformazione $\Phi$ tra i domini $\mathcal{T}$ e $\mathcal{D}$ dilata le aree e quindi ciò va tenuto in conto quando si calcola l’integrale. Il modulo del determinante jacobiano in $(x,y)$ è proprio il “fattore infinitesimale di dilatazione” di $\Phi$ nel punto $(x,y)$ . Infatti, se $\Phi$ fosse una funzione affine, un vettore $v$ nel dominio verrebbe trasformato proprio in $J_\Phi v$ ; da ciò segue che un rettangolo in $\mathcal{T}$ diventerebbe un parallelogramma, di area pari a $|\det J \Phi|$ , come illustrato in figura 2.