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Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier

Teoria Serie di Fourier

Home » Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier

 
 

Autori e revisori

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Notazioni

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\mathbb{N}   insieme dei numeri naturali positivi;
\mathbb{R}   insieme dei numeri reali;
\tilde{P}_{2\pi}   spazio delle funzioni reali periodiche di periodo 2\pi, limitate e integrabili secondo Riemann;
\langle f, g \rangle   prodotto scalare nello spazio \tilde{P}_{2\pi};
f(x_0^-), f(x_0^+)   limiti rispettivamente sinistro e destro della funzione f nel punto x_0.


 
 

Introduzione

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Sotto quali condizioni si ha convergenza puntuale e uniforme della serie di Fourier

(1) \begin{equation*} a_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \left(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx) \right) \end{equation*}

di una funzione f verso f? (Si veda (2) e (3) per la definizione dei coefficienti a_k,b_k)

In questo articolo vediamo innanzitutto che, se f è una cosiddetta funzione regolare a tratti, allora la serie di Fourier di f converge puntualmente a un’opportuna regolarizzazione di f. Mostriamo poi che, se f è continua in un intervallo [a,b], allora la convergenza è uniforme in tale intervallo. Mostriamo poi delle condizioni sufficienti affinché la convergenza della serie di Fourier a f sia totale. Infine, trattiamo la nozione più naturale di convergenza per le serie di Fourier: quella in norma quadratica e ne deduciamo la famosa identità di Parseval.


 
 

Coefficienti di Fourier e funzioni regolari a tratti

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