Cos’è una serie di Fourier

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	insieme dei numeri naturali positivi;
	insieme dei numeri reali;
	prodotto scalare nello spazio vettoriale ;
	spazio delle funzioni reali periodiche di periodo , limitate e integrabili secondo Riemann.

Cos’è una serie di Fourier? Nello spazio euclideo ogni vettore è pari alla somma delle sue proiezioni rispetto a una base ortonormale , ossia , dove indica appunto il prodotto scalare classico. Risulta naturale chiedersi se questa idea si possa applicare a spazi più generali, ad esempio a spazi di funzioni periodiche. Si può vedere che le funzioni , al variare di formano l’analogo di una base ortonormale per le funzioni -periodiche; sotto alcune condizioni, inoltre, una generica funzione -periodica si scrive come una somma (infinita) delle sue proiezioni rispetto a tale base. Tale somma infinita prende il nome di serie di Fourier della funzione .

L’idea fondamentale è quindi che le “combinazioni lineari infinite” delle funzioni forniscono ogni ragionevole funzione periodica, ossia che le funzioni periodiche possono essere decomposte in componenti sinusoidali.

In questo articolo esploriamo questa idea, rendendola rigorosa attraverso la definizione formale di serie di Fourier, illustrandola poi con alcuni esempi e grafici.