Una funzione liscia ma non analitica in alcun punto

Autori: .

Revisori: .

Esiste una funzione liscia ma non analitica in alcun punto? Una funzione si dice analitica se è pari alla somma di una serie di potenze in un intervallo. Poiché la somma di una serie di potenze è infinitamente derivabile, una funzione analitica è derivabile infinite volte nel suo intervallo di definizione: essa è cioè una funzione liscia, detta anche di classe . In particolare una funzione analitica coincide con la sua serie di Taylor.

Risulta naturale chiedersi se valga il viceversa: una funzione liscia è analitica? In altre parole, se una funzione derivabile infinite volte in un intervallo sia effettivamente pari alla sua serie di Taylor in qualche punto di tale intervallo.

È abbastanza semplice produrre un esempio di funzione liscia ma non analitica in un punto: che non coincida, cioè, con la sua serie di Taylor in un fissato punto, e una tale funzione viene esibita nel classico esempio 3. Ma questa funzione è analitica in . È quindi naturale chiedersi se sia possibile ottenere una funzione liscia in ma non analitica in nessun punto.

La risposta è affermativa e una funzione siffatta viene mostrata nell’esempio 4.