Criteri del rapporto e della radice per il raggio di convergenza

Revisori: .

I criteri della radice e del rapporto sono molto utili a tale scopo, in virtù del fatto che il termine generale di una serie di potenze è del tipo : applicare uno dei due criteri al termine generale della serie si riconduce dunque ad applicarlo ai coefficienti .

In questo articolo mostriamo che questo procedimento può essere reso generale: forniamo cioè delle versioni del criterio del rapporto e della radice volti alla determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze, che illustriamo con alcuni esempi svolti.

Come complemento, mostriamo poi una versione più generale del criterio della radice, che fa uso del concetto di “limite superiore”, e facciamo vedere che una tale generalizzazione non esiste per il criterio del rapporto, completando il confronto tra i due criteri.

Riportiamo un riassunto del teorema 2.3 di Serie di potenze – Teoria, che definisce anche il raggio di convergenza.

Teorema 1 (raggio di convergenza). Data una serie di potenze, esiste , detto raggio di convergenza della serie, che soddisfa le seguenti proprietà:

1. la serie di potenze converge totalmente, e quindi uniformemente e puntualmente, in ogni intervallo del tipo con ;

 

2. la serie di potenze non converge in nessun punto tale che e il termine generale della serie è illimitato per ogni tale che .

In particolare, l’insieme di convergenza puntuale della serie di potenze è un intervallo (che può essere indipendentemente aperto o chiuso a sinistra e/o a destra) di estremi e .

Osserviamo che tale raggio di convergenza può anche essere nullo, nel qual caso la serie converge solo per , o infinito, caso nel quale la serie converge per ogni .