Criteri del rapporto e della radice per il raggio di convergenza

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Come si usano i criteri del rapporto e della radice per calcolare il raggio di convergenza di una serie di potenze? La conoscenza del raggio di convergenza di una serie di potenze ne determina completamente il comportamento, a meno di studiarne il carattere al bordo dell’intervallo di convergenza. Risultano quindi di estrema importanza dei criteri che permettano di stabilire il raggio di convergenza di una serie di potenze.

I criteri della radice e del rapporto sono molto utili a tale scopo, in virtù del fatto che il termine generale di una serie di potenze è del tipo : applicare uno dei due criteri al termine generale della serie si riconduce dunque ad applicarlo ai coefficienti .

In questo articolo mostriamo che questo procedimento può essere reso generale: forniamo cioè delle versioni del criterio del rapporto e della radice volti alla determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze, che illustriamo con alcuni esempi svolti.

Come complemento, mostriamo poi una versione più generale del criterio della radice, che fa uso del concetto di “limite superiore”, e facciamo vedere che una tale generalizzazione non esiste per il criterio del rapporto, completando il confronto tra i due criteri.

Riportiamo un riassunto del teorema 2.3 di Serie di potenze – Teoria, che definisce anche il raggio di convergenza.

Osserviamo che tale raggio di convergenza può anche essere nullo, nel qual caso la serie converge solo per , o infinito, caso nel quale la serie converge per ogni .