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Raggio di convergenza di una serie di potenze

Teoria Serie di potenze

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Autori e revisori

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Introduzione

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Cosa sono una serie di potenze e il suo raggio di convergenza. Una serie di potenze di centro x_0 \in \mathbb{R} è una particolare serie di funzioni della forma

\[ \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k, \]

che formalizza quindi l’idea intuitiva di polinomio di grado infinito. Come i polinomi, anche le serie di potenze possiedono proprietà speciali: la più importante è il fatto che la serie di potenze converge in un intervallo centrato in x_0, avente estremi x_0-\rho e x_0+\rho, mentre non converge al di fuori di questo intervallo. Questo valore \rho viene perciò detto raggio di convergenza della serie.

In questo articolo, dopo aver definito le serie di potenze, spieghiamo perché esse convergono nell’intervallo descritto sopra, fornendo la dimostrazione precisa di questo fatto e descrivendo il tipo di convergenza. Forniamo poi alcuni esempi di calcolo del raggio di convergenza e mostriamo infine che, agli estremi dell’intervallo di convergenza, ossia nei punti x_0\pm \rho, serie di potenze diverse possono assumere comportamenti diversi.


 
 

Cos’è una serie di potenze

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Le serie di potenze sono particolari serie di funzioni, in cui le funzioni f_k termini generali della serie sono del tipo a_k(x-x_0)^k. Poniamo cioè la seguente definizione.

Definizione 1 (serie di potenze). Sia x_0 \in \mathbb{R} e sia \{a_k\}_{k=0}^{+\infty} una successione di numeri reali. Si dice serie di potenze di centro x_0 e coefficienti a_k la serie di funzioni definita da

(1) \begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(x-x_0)^k. \end{equation*}

\[\quad\]

Il termine generale di una serie di potenze è dunque costituito da un multiplo di una potenza del binomio x-x_0. La somma parziale n-esima di tale serie di potenze è quindi il polinomio centrato in x_0

(2) \begin{equation*} S_n(x) = \sum_{k=0}^{n} a_k(x-x_0)^k = a_0 + a_1(x-x_0) + \dots + a_n(x-x_0)^n, \end{equation*}

di grado al più pari a n. Un caso particolarmente rilevante si ha quando x_0=0 in cui la serie di potenze assume la forma

(3) \begin{equation*} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k. \end{equation*}

Tali considerazioni motivano l’intuizione di come le serie di potenze possano essere considerate dei “polinomi di grado infinito”.


 
 

Cos’è il raggio di convergenza

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