Criterio della serie per integrali impropri

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Introduzione

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Il criterio della serie per gli integrali impropri, o generalizzati, esprime il legame profondo che esiste tra serie numeriche e integrali impropri all’infinito. Infatti, se la funzione integranda $f \colon [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ è debolmente decrescente, la serie $\sum_{k=0}^{+\infty} f(k)$ e l’integrale improprio $\int_0^+\infty f(x)\,dx$ hanno lo stesso carattere. Tale legame può essere spiegato alla luce della figura 1, che mostra come l’integrale possa essere stimato, dall’alto e dal basso, da due serie che differiscono per il solo termine iniziale.

In questo articolo forniamo l’enunciato del criterio, la sua dimostrazione e alcuni esempi di utilizzo. Esplicitiamo poi un’altra caratteristica che accomuna serie e integrali: il fatto che, per una funzione $f$ integrabile in senso improprio in $[a,+\infty)$ , l’unico valore possibile per il limite $\lim_{x \to +\infty}f(x)$ è lo $0$ . Tale proprietà è la controparte della condizione sul termine generale una serie numerica convergente, ossia che esso debba avere limite nullo. Vedremo però, grazie agli integrali di Fresnel, che non è necessario che $\lim_{x \to +\infty}f(x)=0$ affinché l’integrale di $f$ converga.

$\quad$

Figura 1: il grafico mostra la relazione tra la somma parziale della serie e l’integrale della funzione $f(x)$ su un intervallo $[n_0, m]$ . I rettangoli rappresentano i termini della serie, confrontati con l’area sotto la curva della funzione decrescente $f(x)$ .