Convessità, monotonia e segno delle derivate

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Come sono legati convessità, monotonia e segno delle derivate di una funzione? La convessità di una funzione è caratterizzata dalla monotonia dei suoi rapporti incrementali, che sono crescenti. Passando al limite questa informazione, si ottiene che, per una funzione convessa, la sua derivata prima è crescente, e ciò suggerisce che allora la sua derivata seconda debba essere non-negativa. Queste intuizioni sono corrette ed è possibile verificare che si tratta di caratterizzazioni della convessità.

In questo articolo dimostriamo quindi che una funzione derivabile due volte è convessa se e solo se la sua derivata seconda è non negativa, passando per il fatto che una funzione derivabile è convessa se e solo se la sua derivata prima è crescente.