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Esercizi di probabilità per il ripasso della maturità

Preparazione alla maturità

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Autori e revisori

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Autori: Daniele Bjørn Malesani, Valerio Brunetti, Donato Ciampa, Federico Fallucca.

Revisori: Sergio Fiorucci.


 
 

Notazioni

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A^c    Complementare dell’evento A;
n!    Fattoriale del numero naturale n, ossia il prodotto n!=n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdots 1; si definisce 0!=1;
\binom{n}{k}    Coefficiente binomiale di n su k, pari a \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!};
P(A|B)    Probabilità condizionata dell’evento A rispetto all’evento B.

 
 

Introduzione

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In questo articolo presentiamo 40 esercizi completamente risolti sul calcolo delle probabilità per il ripasso in vista dell’esame di maturità. Il calcolo delle probabilità è una branca della matematica di notevole importanza per le applicazioni, in quanto spesso il risultato di un certo evento non è prevedibile con certezza e quindi risulta necessario stimare la probabilità che si presenti un determinato esito. Per tale e altre ragioni, nella seconda prova di matematica dell’esame di maturità sono spesso presenti problemi riguardanti la probabilità.

Questa raccolta di esercizi mira a consolidare la preparazione dello studente rispetto a questo tipo di domande. I problemi sono completamente risolti e corredati di alcuni richiami teorici delle formule principali utilizzate.


 
 

Richiami di teoria

Probabilità dell'unione di eventi.

Se un evento A si verifica con probabilità P(A) e l’evento B si verifica con probabilità P(B), intuitivamente la probabilità dell’unione di A e B deve essere legata alla somma delle due probabilità.

La probabilità dell’unione di A e B coincide con la probabilità che si verifichi l’evento A oppure l’evento B. Sommando le due probabilità però stiamo considerando doppiamente probabile il verificarsi simultaneo sia di A che di B, ossia stiamo considerando doppia la probabilità che si verifichi l’intersezione A \cap B. Al fine di ottenere il valore esatto della probabilità di A \cup B, occorre quindi sottrarre dalla somma P(A)+P(B) la probabilità di tale intersezione. In formule

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B). } \end{equation*}

Con un ragionamento analogo si determina la probabilità dell’unione di tre elementi A, B, C:

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \begin{aligned} P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) \\ & \quad - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) \\ &\quad + P(A \cap B \cap C). \end{aligned} } \end{equation*}

Tale formula può essere generalizzata al caso di n eventi col cosiddetto principio di inclusione-esclusione:

(3) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \begin{aligned} P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) &= \sum_{k=1}^n P(A_k) \\ &\quad - \sum_{i,j=1,\,\,i \neq j}^{n} P(A_i \cap A_j) \\ &\quad + \dots \\ & \quad + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap \dots \cap A_n). \end{aligned} } \end{equation*}

Ricordiamo che, nel caso di esiti equiprobabili, ossia se tutti gli elementi di un certo universo si verificano con la medesima probabilità, le formule si riducono a contare gli elementi presenti in ciascun insieme, ossia P(A)= |A|/n, dove |A| indica la cardinalità di A, cioè il numero dei suoi elementi, mentre n è la cardinalità dell’universo, ossia il numero di possibili esiti di un certo esperimento.


Probabilità condizionata e teorema di Bayes.

La nozione di probabilità condizionata è estremamente importante. Essa esprime la probabilità che si verifichi un certo evento A sapendo che si è verificato un altro evento B e si indica in genere con P(A|B).

Poiché si sta assumendo che l’evento B si sia verificato, il valore della probabilità condizionata P(A|B) è pari alla probabilità che si verifichino sia A che B, ossia P(A \cap B), normalizzato rispetto alla probabilità del solo evento B, ossia diviso per P(B). In formule

(4) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. } \end{equation*}

Il teorema di Bayes è un risultato fondamentale che riguarda le probabilità condizionate tra due eventi. Più precisamente, il teorema di Bayes consiste nella relazione esistente tra la probabilità condizionata P(A|B) dell’evento A rispetto all’evento B e la probabilità condizionata P(B|A) dell’evento B rispetto all’evento A. Sappiamo come calcolare la probabilità condizionata di un evento rispetto all’altro:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \]

dove una formula si ottiene dall’altra invertendo i ruoli di A e B. Poiché in entrambe le formule compare P(A \cap B), risolvendo rispetto a tale quantità si ottengono le uguaglianze

\[ P(A | B) \cdot P(B) = P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A), \]

ossia il teorema di Bayes:

(5) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ P(A | B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}. } \end{equation*}

Quando l’evento A è parte di una serie di casi mutuamente incompatibili e la cui unione è certa, ossia

\[ A=A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n, \qquad \text{con } P(A_i \cap A_j)= 0 \,\,\,\,\forall i \neq j \quad \text{e} \quad P(A_1 \cup \cdots \cup A_n)=1, \]

allora la probabilità di B può essere scritta, per il teorema sulle probabilità totali, come

(6) \begin{equation*} P(B) = \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k), \end{equation*}

cioè la probabilità di B è pari alla somma delle probabilità che B si verifichi in ciascuno dei casi A_1,\dots, A_n, moltiplicata per la probabilità di ciascun caso. Sostituendo in (5) si ottiene la versione

(7) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ P(A | B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{\sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}. } \end{equation*}


 
 

Esercizi

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