Esercizio numero 20 sui limiti notevoli
Esercizio 20 . Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:
Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli.
Richiami teorici.
Teorema 1.
Siano , sia
un punto di accumulazione per
. Si assuma che
allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:
Se è un punto di accumulazione per
, allora si ha:
ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.
Teorema 2 – Teorema di sostituzione.
Sia e sia
. Si assuma che
Sia un intorno di
e sia
tale che
- se
,
è continua in
;
- se
, allora esiste
.
Allora,
Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:
Svolgimento.
- Effettuando la sostituzione
in virtù del teorema 2 si ha:
dove
è stato utilizzato (6) e in
è stato utilizzato il teorema 2 poiché
- Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
dove in
si è utilizzato il teorema 1, in
si sono usati (1)-(5) e in
è stato utilizzato il teorema 2 per il primo ed il secondo limite.
- Manipolando l’espressione del limite dato e ricordando che
e
, si ha:
da cui
dove in
si è utilizzato il teorema 2, in
si è utilizzato il teorema 1, e in
si è utilizzato (1)-(5) e in
è stato utilizzato il teorema 2 per il terzo limite.
- Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
dove in
si è utilizzato il teorema 1. Si osservi che, a seconda del valore che assume
, si avrà:
e quindi