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Composizione di funzioni e funzione inversa

Funzioni elementari

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Autori e revisori

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Autori: Roberto Castorrini, Luigi De Masi, Jacopo Garofali.

Revisori: Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Davide La Manna, Matteo Talluri, Sara Sottile.


 
 

Introduzione

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I concetti di composizione di funzioni e di funzione inversa, intimamente legati, sono molto importanti nella teoria delle funzioni.

La nozione di composizione formalizza l’idea di applicare due o più funzioni “in sequenza”, ossia applicare la seconda usando come input l’output della prima. Il concetto di funzione inversa, invece, serve a formalizzare l’idea di una funzione che “annulli” le operazioni eseguite da una funzione f, fornendo cioè gli input di f a partire dai suoi output.

In questo articolo descriviamo nel dettaglio questi importanti argomenti, fornendo esempi e spiegandone le proprietà.


 
 

Composizione di funzioni

Quando l’immagine di una funzione coincide con il (o, più in generale, è un sottoinsieme del) dominio di un’altra funzione, è possibile definire l’operazione di composizione di funzioni, indicata con il simbolo \circ, nel modo seguente.

Definizione 1. Siano E,F,G tre insiemi, f:E\to F e g:F\to G due funzioni.
La funzione composta

\[ g\circ f : E \to G \]

è definita da

(1) \begin{equation*} (g \circ f )(x)\coloneqq g(f(x))\qquad \forall\, x \in E. \end{equation*}

\[\quad\]

Possiamo schematizzare la definizione di funzione composta appena data con il seguente diagramma.

In generale, laddove possibile, possiamo comporre n\in \mathbb{N} funzioni.

Per esempio, date n funzioni \{f_i:E\to E\}_{i=1}^n1, è ben definita la composizione

\[ f_n\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_1: E\to E. \]

Osservazione 2. È chiaro dalla definizione che l’operazione di composizione g \circ f
è ben definita se e solo se {\rm Im}(f) \subseteq {\rm Dom }(g). Definiamo ora una particolare funzione che gioca il ruolo di elemento neutro per l’operazione di composizione, cf. proposizione 4.

Definizione 3. Dato un insieme E, si chiama identità di E o funzione identica su E la funzione \operatorname{Id}_E: E \to E definita da

(2) \begin{equation*} \operatorname{Id}_E(x)\coloneqq x \qquad \forall x \in E. \end{equation*}

\[\quad\]

Figura 1: grafico della funzione {\rm Id}_{\mathbb{R}}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, ovvero il luogo dei punti (x,y)\in \mathbb{R}^2 tali che y=x. Tale grafico rappresenta la retta bisettrice del primo e terzo quadrante.

Proposizione 4. (proprietà della composizione). La composizione di funzioni definita da (1) gode della proprietà associativa: date f,g,h: E \to \mathbb{R}, si ha

(3) \begin{equation*} (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h). \end{equation*}

Tuttavia, essa non gode della proprietà commutativa.
L’elemento neutro è dato dalla funzione identica, definita da (2):

(4) \begin{equation*} f \circ \operatorname{Id}_E=f \quad \mbox{e} \quad \operatorname{Id}_F\circ f=f. \end{equation*}

\[\quad\]

La dimostrazione dell’associatività della composizione e dell’elemento neutro è un semplice esercizio di scrittura e viene lasciato al lettore.
Osserviamo che, in virtù dell’uguaglianza (3), possiamo utilizzare il simbolo h \circ g \circ f per indicare la composizione delle tre funzioni h,g,f (altrimenti occorrerebbe specificare con le parentesi quale composizione effettuare per prima).

Dimostriamo che l’operazione di composizione non è commutativa con il prossimo esempio.

Esempio 5. Consideriamo le funzioni f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+_0 e g:\mathbb{R}^+_0\to \mathbb{R} date da

\[f(x)=x^2+2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \quad g(x)=\sqrt x\qquad \forall x \in \mathbb{R}_0^+.\]

Osserviamo che è ben definita la composizione h=g\circ f: \mathbb{R}^+\to \mathbb{R} ed è data da

\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+2)=\sqrt{x^2+ 2}. \]

Notiamo inoltre che è ben definita anche f\circ g: \mathbb{R}^+_0 \to \mathbb{R}^+_0, ed è data da

\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt x)=(\sqrt x)^2+2=|x|+2=x+2, \]

dove l’ultima uguaglianza deriva dal fatto che x\geq 0 poiché {\rm Dom}( f) = \mathbb{R}^+_0.

Notiamo che g\circ f \neq f\circ g.

Esempio 6. Date le funzioni f:\mathbb{R}^+_0 \to \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definite da

(5) \begin{equation*} f(x)=\sqrt x\qquad \forall x \in \mathbb{R}_0^+, \quad g(x)=-x \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \end{equation*}

la composizione g \circ f \colon x \in \mathbb{R}_0^+ \mapsto -\sqrt x \in \mathbb{R} è ben definita, mentre f\circ g non lo è, visto che

(6) \begin{equation*} {\rm Im} (g )= \mathbb{R} \nsubseteq {\rm Dom} (f) = \mathbb{R}^+_0, \end{equation*}

Se però restringiamo il dominio di g all’insieme \mathbb{R}^-_0, cioè consideriamo la funzione g_1 \colon \mathbb{R}^-_0 \to \mathbb{R}^+_0 definita da g_1(x)=-x, la composizione f\circ g_1 \colon \mathbb{R}^-_0 \to \mathbb{R} risulta ben definita e pari a

(7) \begin{equation*} (f \circ g_1)(x) = \sqrt{-x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}^-_0. \end{equation*}

 
 

  1. Notare che, per semplicità, abbiamo preso il dominio di tutte le funzioni uguale al codominio; tuttavia basterebbe che il codominio della funzione f_{i-1} sia contenuto nel dominio di f_i, per ogni i=2,..,n. ↩

    2.  
     

    Funzione inversa

    Definiamo ora un’importante classe di funzioni, quelle invertibili.

    Definizione 7 (invertibilità). Siano E,F due insiemi. Una funzione f:E\to F si dice invertibile se esiste una funzione g:F\to E tale che

    (8) \begin{equation*} g \circ f = \operatorname{Id}_E \quad \mbox{e} \quad f \circ g =\operatorname{Id}_F. \end{equation*}

    Una funzione g che soddisfa l’equazione di sinistra nella (8) si chiama una inversa a sinistra di f, mentre una funzione g che soddisfa l’equazione di destra nella (8) si chiama una inversa a destra di f.

    \[\quad\]

    Notiamo che possiamo riformulare la definizione precedente dicendo che una funzione f è invertibile se esiste una funzione g che è una inversa sia a destra che a sinistra.

    Proposizione 8. (proprietà della funzione inversa). Sia f:E\to F una funzione invertibile. Allora, valgono le seguenti proprietà:

    \[\quad\]

    • Unicità. Se f ammette un’inversa a sinistra g_1 e un’inversa a destra g_2, allora g_1=g_2 e f è invertibile. In particolare, la funzione g data dalla definizione 7, se esiste, è unica e viene detta funzione inversa di f. Essa si denota con f^{-1};

      •  

    • Proprietà involutiva. Se f:E\to F è invertibile, allora anche f^{-1}:F \to E lo è e vale (f^{-1})^{-1}=f;

      •  

    • Inversa della composizione. Se f:E\to F e g:F\to G sono invertibili, allora g\circ f è invertibile e si ha (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.

    \[\quad\]

    Dimostrazione.

    • Unicità.
      Supponiamo che esista un’inversa a sinistra g_1 e un’inversa a destra g_2. Dunque, vale

      (9) \begin{equation*} g_1 \circ f= \operatorname{Id}_E \quad \mbox{e} \quad f \circ g_2 = \operatorname{Id}_F \end{equation*}

      Consideriamo l’equazione di sinistra in (9). In essa, componiamo a destra ambo i membri con g_2 (il che è lecito poiché il dominio di g_1\circ f coincide con il codominio di g_2) e utilizziamo la (4), così da ottenere

      (10) \begin{equation*} (g_1 \circ f) \circ g_2=\operatorname{Id}_E \circ\, g_2= g_2. \end{equation*}

      D’altra parte, utilizzando in (10) l’associatività della composizione, cf. (3), l’equazione di destra in (9), e infine la (4), otteniamo

      (11) \begin{equation*} (g_1 \circ f) \circ g_2= g_1 \circ (f \circ g_2) = g_1 \circ {\rm Id}_F= g_1 \end{equation*}

      che implica, paragonando (10) e (11),

      \[ g_1=g_2. \]

      Si noti che, in particolare, se esistono due funzioni g, \tilde g \colon F \to E che soddisfano (8), allora si ha necessariamente g=\tilde g. Infatti, g è, in particolare, un’inversa a sinistra di f, e \tilde g è, in particolare, un’inversa a destra di f. Possiamo parlare dunque della funzione inversa di f riferendoci, se esiste, all’unica funzione g che soddisfa (8).

      •  

    • Proprietà involutiva.
      Scambiando i ruoli di f e g nella definizione 7, si vede immediatamente che f è l’inversa di f^{-1}. Per l’unicità appena dimostrata, l’inversa di f^{-1} è unica; siccome entrambe le funzioni f e (f^{-1})^{-1} sono inverse di f^{-1}, devono coincidere;

      •  

    • Inversa della composizione. Per l’associatività della composizione, cf. (3),
      si ha

      \[(f^{-1}\circ g^{-1})\circ (g\circ f)= (f^{-1}\circ (g^{-1}\circ g))\circ f= ( f^{-1}\circ ({\rm Id}_F))\circ f=f^{-1}\circ f={\rm Id}_E,\]

      ovvero f^{-1}\circ g^{-1} è un’inversa a sinistra di g\circ f. Analogamente, si prova che è un’inversa a destra.

    Lemma 9. Siano f:E \to F e g: F \to E due funzioni. Allora, g è l’inversa di f se e solo se soddisfa

    (12) \begin{equation*} y=f(x) \iff x=g(y) \quad \forall x\in E,\;y\in F. \end{equation*}

    \[\quad\]

    Dimostrazione. Se g soddisfa (12), allora

    \[(f\circ g)(y)=f(g(y))=f(x)=y \qquad \forall y\in F,\]

    e

    \[(g\circ f )(x)=g(f(x))=g(y)=x \qquad \forall x\in E,\]

    dunque g è l’inversa di f. Viceversa, se g è l’inversa di f, dall’equazione (8) otteniamo che

    \[\forall x \in E \qquad y=f(x) \iff g(y)=g(f(x))=x,\]

    e analogamente

    \[\forall y \in F \qquad x=g(y) \iff f(x)=f(g(y))=y.\]

    Tale osservazione si traduce un metodo pratico per determinare la funzione inversa, se esiste, di una funzione f: basta risolvere l’equazione

    \[y=f(x)\]

    rispetto a x \in E.

    Esempio 10 (esempio di funzione invertibile). Sia f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione definita da

    (13) \begin{equation*} f(x) = 5x - 2 \qquad \forall x \in \mathbb{R}. \end{equation*}

    Verifichiamo che essa è invertibile e calcoliamo la sua inversa. In virtù del lemma 9, per ogni y \in \mathbb{R} occorre risolvere l’equazione nella variabile x

    (14) \begin{equation*} y=f(x) = 5x -2. \end{equation*}

    Si ha quindi

    (15) \begin{equation*} x = \frac{y+2}{5}. \end{equation*}

    Chiamando g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} la funzione definita da

    (16) \begin{equation*} g(y) = \frac{y+2}{5} \qquad \forall y \in \mathbb{R}, \end{equation*}

    si ha

    (17) \begin{equation*} \begin{gathered} g(f(x))=g(5x-2) =\frac{(5x-2)+2}{5} = x \qquad \forall x \in \mathbb{R}, \\ f(g(y)) = f\Big( \frac{y+2}{5} \Big) = 5\Big( \frac{y+2}{5} \Big)-2 = y \qquad \forall y \in \mathbb{R}. \end{gathered} \end{equation*}

    Dunque f è invertibile e g=f^{-1}.
     

    Esercizio 11 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Mostrare che, se

    \[f \colon E \subseteq \mathbb{R} \to F \subseteq \mathbb{R}\]

    è invertibile, allora il grafico della funzione inversa f^{-1} è simmetrico a quello di f rispetto alla retta bisettrice y=x.

    \[\quad\]

    Suggerimento: si consideri un punto arbitrario P=(x, f(x))\in \Gamma_f e si noti che la proprietà di simmetria voluta consiste nel verificare che

    \[\forall x \in E, \; \forall y \in F \qquad (x,y) \in \Gamma_f \; \iff \; (y,x) \in \Gamma_{f^{-1}}.\]

    Utilizzare infine la proprietà (12). Per una visualizzazione di tale proprietà, si veda ad esempio la figura 2.
    Notiamo che se una funzione f: E \to F è biettiva, allora

    \[\forall \,y \in F \quad \exists \,! \, x \in E \; : \; f(x)=y,\]

    ovvero è possibile definire la funzione che associa a y \in F l’unico x \in E tale che f(x)=y. La funzione così definita risulta essere l’inversa di f, come mostra
    nel dettaglio la prossima proposizione.

    Proposizione 12 (Condizione equivalente all’invertibilità). Siano E,F due insiemi tale che E sia non vuoto, e sia f:E\to F una funzione. Allora,

    \[\quad\]

    1. la funzione f ammette un’inversa a sinistra se e solo se è iniettiva;

      2.  

    2. la funzione f ammette un’inversa a destra se e solo se è suriettiva;

      3.  

    3. la funzione f è invertibile se e solo se è biettiva.

    \[\quad\]

    Dimostrazione. Notiamo che, poiché abbiamo supposto E non vuoto, si ha necessariamente che F è non vuoto2.

    \[\quad\]

    1. Sia g un’inversa a sinistra di f, ovvero g \circ f={\rm Id}_E. Allora, dati x,y \in E tali che f(x)=f(y), applicando g a entrambi membri otteniamo

      \[g(f(x))=g(f(y)),\]

      ovvero x=y, dunque f è iniettiva.

      Supponiamo ora che f sia iniettiva e costruiamo un’inversa a sinistra come segue. Fissiamo un elemento x_0 \in E qualunque. Sia y \in F e supponiamo che y non sia immagine di alcun x \in E, i.e. y \notin f(E). In questo caso poniamo g(y)\coloneqq x_0. Se, invece, esiste x \in E tale che y=f(x), poniamo g(y)\coloneqq x. Per l’iniettività di f, tale x è unico e dunque g associa ad ogni y \in f(E), l’unico elemento x\in E tale che y=f(x); in altri termini, definiamo

      \[g(y) \coloneqq \begin{cases} x_0, & \mbox{ se } f^{-1}(y) =\emptyset;\\ x, & \mbox{ se } f^{-1}(y)=\left\{ x \right\}. \end{cases}\]

      Per costruzione, abbiamo

      \[g(f(x))=g(y)=x\qquad \forall x \in E,\]

      dunque g è un’inversa a sinistra di f.

      2.  

    2. Sia g un’inversa a destra di f, ovvero f \circ g={\rm Id}_F. Allora, poiché per ogni y \in F abbiamo che

      \[f(g(y))=y,\]

      si ha y\in f(E). Concludiamo che f è suriettiva.
      Supponiamo ora f suriettiva e costruiamo un’inversa a destra come segue. Sia y \in F e scegliamo un elemento x \in E tale che f(x)=y. Notiamo che l’esistenza di tale elemento è garantita dalla suriettività di f. Definiamo
      g(y)\coloneqq x. Per costruzione, abbiamo

      \[f(g(y))=f(x)=y\qquad \forall y \in F,\]

      dunque g è un’inversa a destra di f.

      3.  

    3. Se f è invertibile, per definizione esiste una funzione g che è un’inversa di f sia a sinistra che a destra. Allora, per quanto appena visto, f è contemporaneamente iniettiva e suriettiva, ovvero biettiva. Viceversa, se è biettiva, abbiamo visto che f ammette un’inversa a sinistra g_1 e un’inversa a destra g_2, e si ha necessariamente g_1=g_2, cf. punto 1. della proposizione 8.

    Esempio 13 La funzione

    \[f:\mathbb{R}_0^+\to \mathbb{R}_0^+, \; f(x)=x^2\]

    è invertibile, in quanto è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. La funzione inversa può essere calcolata esplicitamente usando la definizione. Infatti, si ha

    \[ x\in \mathbb{R}_0^+ \;\wedge\; y=f(x)\quad \iff \quad x=f^{-1}(y). \]

    Dato che

    \[ x \geq 0\; \wedge\; y=x^2\quad \iff\quad x=\sqrt y, \]

    segue che la funzione inversa è

    \[f^{-1}:\mathbb{R}_0^+\to \mathbb{R}_0^+,\;f^{-1} (x)=\sqrt x.\]

    \[\quad\]

    Figura 2: Grafico della funzione f:\mathbb{R}_0^+\to \mathbb{R}_0^+, \; f(x)=x^2 (in blu) ristretta ad \mathbb{R}^+ e della sua inversa g:\mathbb{R}_0^+\to \mathbb{R}_0^+, \; g(x)=\sqrt x (in verde). In figura 1 è mostrata anche la simmetria dei due grafici rispetto alla retta y=x (tratteggiata in rosso), cf. esercizio 2.5.

     
     

    1. Ciò segue dalla definizione di funzione. Notiamo che il caso E vuoto è banale. ↩