Connettivi logici e tavole di verità

Autori: Matteo Liberatori.

Revisori: Valerio Brunetti, Jacopo Garofali.

	Negazione di una proposizione;
	Congiunzione “e” tra proposizioni;
	Disgiunzione “o” tra proposizioni;
⇒	Implicazione tra proposizioni;
⇔	Equivalenza tra proposizioni.

La logica proposizionale è lo studio delle proposizioni e dei loro legami. Per proposizione si intende, in ambito logico, un enunciato la cui veridicità possa essere oggettivamente stabilita. Esempi di proposizioni oggetto di indagine logica sono sta piovendo, domani uscirò a fare una passeggiata, Il cane è giallo, è un numero razionale, mentre frasi come “Turandot è una bella opera lirica” non rientra in tale categoria.

Le proposizioni sono legate, nella logica così come nel linguaggio parlato, da connettivi che consentono di combinarle in nuove proposizioni, ugualmente o maggiormente complesse, così da poter esprimere una grande varietà di concetti e significati: il cane è giallo e oggi c’è il sole; compro una pizza o vado al cinema; se piove allora non esco a fare una passeggiata.

• Quale significato possiedono questi connettivi e le proposizioni con esso formati?
• Cosa sono le tavole di verità e come si usano?
• Quali sono le tavole di verità della negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione ed equivalenza?

Questo argomento fondamentale della logica è alla base dello studio di qualsiasi branca della matematica: in questo breve e chiaro articolo ne spieghiamo i dettagli.

La negazione è l’unico operatore logico unario, ossia che agisce su una singola proposizione .

Ad esempio, la negazione della proposizione : sta piovendo è : non sta piovendo. Ovviamente è vera se e solo se è falsa e viceversa. La tavola di verità della negazione fornisce quindi la verità della proposizione in base alla verità della proposizione .

Figura 1: tavola di verità dell’operatore negazione; la lettera “V” indica una proposizione vera, mentre la lettera “F” indica una proposizione falsa.

La congiunzione è la traduzione logica della congiunzione linguistica e e serve per unire due proposizioni in modo che risultino entrambe vere.

Consideriamo le proposizioni : la neve è bianca e : è un numero intero. Nonostante sia vera, è falsa ( non è un numero intero). Dunque è falsa, poiché le due sue componenti non sono entrambe vere.

Ricadiamo quindi nella terza riga della tavola di verità qui sotto proposta, che infatti conferma, nella terza colonna, che sia in questo caso falsa.

Tabella 2: tavola di verità dell’operatore congiunzione.

La disgiunzione logica consente di formare una frase vera quando almeno una delle due componenti sia vera ed è la traduzione logica della congiunzione linguistica oppure.

Se, come nell’esempio precedente, abbiamo le proposizioni : la neve è bianca e : è un numero intero, allora la disgiunzione è vera, poiché lo è.

Occorre però notare che la disgiunzione ha un significato leggermente diverso da quello a volte attribuito alla congiunzione “oppure” nel linguaggio parlato, che viene invece usata con valore esclusivo: quando un genitore dice a suo figlio “mangerai il gelato oppure un lecca-lecca” esclude solitamente la possibilità che si verifichino entrambe le opzioni. Nella disgiunzione logica, invece, ciò è consentito: la proposizione compro una pizza o vado al cinema, disgiunzione di : compro una pizza e : vado al cinema, è vera anche se si verificano sia che , come mostra la tavola di verità sottostante:

Tabella 3: tavola di verità dell’operatore disgiunzione.

L’operatore logico di implicazione esprime il concetto di conseguenza logica tra proposizioni e traduce il costrutto linguistico se … allora …. A differenza della congiunzione e della disgiunzione, dunque, esso non è commutativo.

Un modo alternativo di definire l’implicazione è che essa quindi è vera se, da vera segue che anche lo è. L’implicazione è tipicamente il connettivo logico che si ha maggiore difficoltà a comprendere e gli esempi seguenti spiegheranno il perché di tale affermazione. Prima di presentarli, però, mostriamo la tavola di verità dell’implicazione:

Tabella 4: tavola di verità dell’operatore congiunzione.

Esempio 5. Consideriamo le proposizioni : è un multiplo e : è pari. L’implicazione traduce la frase se è un multiplo di allora è un numero pari, che è vera, in quanto ogni volta che la premessa è vera, anche la conseguenza lo è: tutti i multipli di sono numeri pari.

Osserviamo che, in base alla scelta del numero intero , si possono verificare i casi descritti dalla prima, seconda e quarta riga della tabella di verità.

1. Scegliendo , la premessa è vera in quanto è un multiplo di , e lo è anche la conseguenza poiché è pari.

 

2. Scegliendo , la premessa è falsa in quanto questo non è un multiplo di , ma è vera poiché è un numero pari.

 

3. Scegliendo , sia la premessa che la conseguenza sono false, in quanto questo numero non è né multiplo di né pari.

Gli ultimi due casi non contraddicono affatto la verità dell’implicazione: questa richiede soltanto che, ogni qual volta sia vera, allora deve esserlo anche , ma non afferma alcunché nei casi in cui è falsa. È bene tenere a mente che la verità dell’implicazione non è la verità della premessa o della conseguenza.

Esempio 6. Immaginiamo che una persona viva in un paese di montagna e consideriamo le proposizioni : è inverno e : tiene le catene da neve nel bagagliaio dell’auto. L’implicazione si legge come: se è inverno, allora ha le catene da neve nel bagagliaio. Secondo il codice della strada, questa dovrebbe essere vera.

Notiamo che l’implicazione pone delle condizioni solo quando è inverno, ovvero quando la premessa è vera. La frase non dice nulla su cosa metta nel bagagliaio durante l’estate, ossia se è falsa: le catene possono esserci o non esserci (ovvero può essere indifferentemente vera o falsa), ma continua a essere vera.

In altre parole, l’unico modo per rendere falsa sarebbe non avere nel bagagliaio le catene durante l’inverno.

L’equivalenza logica rappresenta il concetto di proposizioni che esprimono concetti perfettamente corrispondenti.

La tavola di verità dell’equivalenza è quindi la seguente:

Tabella 5: tavola di verità dell’operatore congiunzione.

Si può facilmente osservare, confrontando le tavole di verità, che se e solo se e .