Problemi risolti di Matematica e Fisica Equazioni differenziali – Equazione di Eulero

Teoria equazioni differenziali ordinarie

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Esercizio. Risolvere la seguente equazione di Eulero del secondo ordine:

(1) $\begin{equation*} x^2 y^{\prime \prime}(x)+bxy^{\prime}(x)+ cy(x)=0, \qquad \mbox{con } \, b,c \in \mathbb{R}. \end{equation*}$

$\,$

Svolgimento. Possiamo riscrivere (1) come segue

$x^2 \dfrac{d^2 y(x)}{dx^2}+bx \dfrac{dy(x)}{dx} +cy(x)=0.$

Posto, per $x>0$ , $x=e^t$ e $y(e^t)=g(t)$ ed utilizzando la regola della catena¹:

abbiamo

$\begin{aligned} & g^\prime(t) = \dfrac{dg(t)}{dt}= \dfrac{dy(e^t)}{d(e^t)} \; \dfrac{d(e^t)}{dt}= y^\prime(e^t) \; e^t \\\\ & g^{\prime \prime}(t)= \dfrac{d^2g(t)}{dt^2}=\dfrac{d^2y(e^t)}{d(e^t)^2} \left(\dfrac{de^t}{dt}\right)^2+ \dfrac{dy(e^t)}{de^t} \cdot \dfrac{d^2(e^t)}{dt^2} = \\ &=y^{\prime\prime}(e^t)e^{2t} + y^\prime(e^t)e^t =e^{2t} y^{\prime\prime}(e^t) + g^\prime(t) . \end{aligned}$

Quindi:

$\begin{aligned} &x^2 \dfrac{d^2 y(x)}{dx^2}+bx \dfrac{dy(x)}{dx} +cy(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \Leftrightarrow \quad e^{2t} \; y^{\prime\prime}(e^t) + be^t y^\prime(e^t) + cy(e^t)=0 \quad \Leftrightarrow \nonumber \\ & \Leftrightarrow \quad \left( g^{\prime \prime} (t)-g^{\prime}(t) \right)+ bg^{\prime}(t)+cg(t)=0 \quad \Leftrightarrow \nonumber \\ & \Leftrightarrow \quad g^{\prime \prime}(t)+g^{\prime}(t) (b-1)+cg(t)=0\qquad \qquad(2) \end{aligned}$

Scrivendo l’equazione omogenea associata a (2) otteniamo:

$\lambda^2 +(b-1) \lambda +c=0 \Leftrightarrow \lambda_{1,2}= \dfrac{-(b-1) \pm \sqrt{(b-1)^2-4c}}{2}.$

Ora abbiamo tre casi a seconda del segno di $\Delta = (b-1)^2-4c$ .

Se $\Delta >0$ :

$\begin{aligned} g(t)&=c_1 e^{\lambda_1 t}+c_2 e^{\lambda_2 t}=y(e^t) \quad \Leftrightarrow \quad y(x)=c_1 x^{\lambda_1}+c_2 x^{\lambda_2}. \end{aligned}$