Esercizio numero 4 sui limiti notevoli
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Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Per i richiami teorici più completi si rimanda alla dispensa di teoria sui limiti notevoli.
Richiami teorici
![Rendered by QuickLaTeX.com f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-79fed19329b59bfb6b8019057e936fff_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7e324711dc2dc637edf7ef0fc6f067dd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com A](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-eff0cb8a66196013088fda03a43ee0b3_l3.png)
allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:
Se è un punto di accumulazione per
, allora si ha:
ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.
Il prossimo risultato è anche noto come teorema di cambio di variabile nei limiti.
![Rendered by QuickLaTeX.com f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a938f13e8a755e08434a8f7c24f6f5e3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cae39d0d327674ed0224076b92946629_l3.png)
Sia un intorno di
e sia
tale che
- se
,
è continua in
;
- se
, allora esiste
.
Allora,
Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:
Di seguito la soluzione dell’esercizio.
Svolgimento
- Manipoliamo l’espressione del limite dato per ricondurci alla forma del limite notevole (4):
dove in
si è utilizzato il teorema 2 e in
si è utilizzata (4). In definitiva
- Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
La prima frazione ha limite
per (2); d’altra parte, per il limite notevole (1) si ha
Ne segue che
e quindi il limite richiesto non esiste.
- Manipolando l’espressione del limite dato si ha:
dove in
si è utilizzato il teorema 1 e in
si è utilizzato (1)-(3). Ne consegue
- Utilizzando la sostituzione
in virtù del teorema 2 si ha:
dove in
si è utilizzato il fatto che
, in
si è utilizzato il teorema 1 e in
si è utilizzato (1)-(2). Otteniamo quindi
- Utilizzando la sostituzione
in virtù del teorema 2 si ha:
dove in
si è utilizzato il fatto che
, in
si è utilizzato il teorema 1 e in
si è utilizzato (1)-(2). In definitiva