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Esercizio limiti notevoli – 3

Limiti notevoli in funzioni

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Benvenuti nel terzo esercizio sui limiti notevoli, estratto dalla raccolta Esercizi svolti sui limiti notevoli. I 5 limiti presentati possono essere calcolati grazie ai limiti notevoli del seno, del coseno e del numero di Nepero.

Segnaliamo inoltre il precedente articolo Esercizio limiti notevoli – 2 e il successivo Esercizio limiti notevoli – 4 sui medesimi limiti notevoli goniometrici e del numero di Nepero.

 

Esercizio 3  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esistono, i seguenti limiti applicando solo i limiti notevoli:

\[\begin{aligned} &1. \quad \lim\limits_{x \to +\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{x^x}\right)^{(x+1)^x};\\ &2. \quad \lim\limits_{x \to +\infty}\left( \dfrac{x^4+5x^2+5}{(x^2+1)(x^2+2)}\right)^{x^2};\\ &3. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x - 8^x + e^{-x}}{x};\\ &4. \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{1-\cos x }}{x };\\ &5. \quad \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x - \sin x}{x}. \end{aligned}\]

 

Richiamiamo di seguito solo i principali risultati che verranno utilizzati per la risoluzione degli esercizi. Si rimanda anche ai Richiami teorici sui limiti notevoli oppure alla dispensa Teoria sui limiti per un riferimento completo di tutte le dimostrazioni.

Richiami teorici

Teorema 1.  Siano f, g\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}, sia x_0 \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} un punto di accumulazione per A. Si assuma che

\[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) =: \ell_1, \qquad \exists \lim\limits_{x \to x_0} g(x) =: \ell_2,\]

allora, ogni qualvolta l’espressione a destra non è un forma indeterminata, si ha:

\[\begin{aligned} \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\pm g)(x) & =\ell_1 \pm \ell_2 \\ \exists \; \lim\limits_{x \to x_0}(f\cdot g)(x) & = \ell_1 \cdot \ell_2, \end{aligned}\]

Se x_0 è un punto di accumulazione per \{x \in A \colon g(x) \neq 0\}, allora si ha:

\[\exists \; \lim\limits_{x \to x_0} \left( \dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell_1}{\ell_2},\]

ogni qualvolta l’espressione a destra esiste e non è una forma indeterminata.

Ricordiamo anche il teorema di cambio di variabile nei limiti.

Teorema 2 – Teorema di sostituzione. Sia f\colon A \subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} e sia x_0 \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}. Si assuma che

\[\exists \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty\}.\]

Sia I(\ell) un intorno di \ell e sia g \colon I(\ell) \to \mathbb{R} tale che

  1. se \ell \in \mathbb{R}, g è continua in \ell;
  2. se \ell = \pm \infty, allora esiste \lim\limits_{y \to \ell}g(y).

Allora,

\[\lim\limits_{x \to x_0} g(f(x)) = \lim\limits_{y \to \ell}g(y).\]

Richiamiamo ora i limiti notevoli utilizzati all’interno degli esercizi proposti in questa dispensa:

(1) \begin{equation*} \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \end{equation*}

(2) \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1-\cos x}{x^2}= \dfrac{1}{2}, \end{equation*}

(3) \begin{equation*} \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{a^x - 1 }{x} = \ln a, &\qquad \qquad a \in \mathbb{R}^+, \end{equation*}

(4) \begin{equation*}\lim\limits_{x\to 0} \left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}=e, &\qquad \qquad \left(\text{eq. } \lim\limits_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}=e \right). \end{equation*}

Passiamo ora alla soluzione dell’esercizio.

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