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Esercizi svolti sul principio zero della termodinamica

Principio zero

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Sommario

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Questa raccolta comprende 10 esercizi che coprono le principali tipologie di problemi legati all’equilibrio termico tra corpi in contatto. Sono pensati in particolare per studenti di ingegneria, fisica o matematica che stanno seguendo un corso di Fisica 1, ma risultano utili anche a chi si avvicina per la prima volta alla materia. Rappresentano un percorso guidato ideale per consolidare i concetti fondamentali.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Antonio Figura.

Revisori: Valerio Brunetti, Davide Germani, Davide Zarrilli.


 
 

Introduzione

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L’equilibrio termico è un concetto fondamentale della termodinamica: in questa dispensa esamineremo situazioni in cui due o più corpi, inizialmente a temperature differenti, vengono messi a contatto termico e, con il passare del tempo, raggiungono una temperatura d’equilibrio. Nei richiami di teoria rivedremo i concetti principali e le formule attinenti all’argomento.

 
 

Richiami di teoria

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Il principio zero della termodinamica, strettamente collegato al concetto di equilibrio termico, afferma che due corpi in equilibrio termico con un terzo sono necessariamente in equilibrio termico tra loro.

Consideriamo due corpi a temperature differenti, uno ad una temperatura maggiore T_1 ed uno a una temperatura minore T_2 posti all’interno di un recipiente adiabatico (ossia un recipiente che non consente scambio di calore con l’esterno); se poniamo tali corpi a contatto tra loro si osserverà che dopo un certo intervallo di tempo tali corpi avranno raggiunto una temperatura di equilibrio T_e, in particolare il corpo più caldo si sarà raffreddato mentre il corpo più freddo si sarà riscaldato. Diremo che i corpi hanno raggiunto un equilibrio termico, e ciò è successo mediante uno scambio di calore, una forma di energia, dal corpo più caldo a quello più freddo; diremo inoltre che gli oggetti sono in contatto termico se tra essi è possibile uno scambio di calore, come nel caso appena illustrato. La quantità di calore \Delta Q che un corpo assorbe o cede è legata alla variazione di temperatura \Delta T del corpo stesso tramite la relazione

(1) \begin{equation*} \Delta Q = m c \Delta T, \end{equation*}

dove m è la massa del corpo, c è il calore specifico che dipende dal materiale del corpo analizzato e \Delta T è sempre inteso come la differenza tra la temperatura finale T_f e quella iniziale T_i; sicché, se il corpo ha aumentato la sua temperatura, e dunque T_f>T_i, esso avrà acquistato calore (\Delta Q >0), viceversa se ha diminuito la sua temperatura, e dunque T_f<T_i, esso avrà anche ceduto calore (\Delta Q < 0).

Ritornando al caso dei due corpi in contatto termico, essi scambieranno rispettivamente le quantità di calore \Delta Q_c e \Delta Q_f per il corpo caldo e quello freddo; ora, ricordando che il calore scambiato non è altro che una forma di energia, se il recipiente non consente scambio di calore con l’esterno, possiamo invocare il principio di conservazione dell’energia per sistemi isolati. Pertanto si ha che il nostro sistema termodinamico composto dal corpo caldo e dal corpo freddo insieme, ha subito una variazione totale di calore pari a zero

(2) \begin{equation*} \Delta Q_c + \Delta Q_f = 0, \end{equation*}

e dunque

(3) \begin{equation*} \Delta Q_c = - \Delta Q_f, \end{equation*}

ossia il calore ceduto dal corpo più caldo è uguale, in valore assoluto, a quello assorbito dal corpo più freddo. Questa considerazione può essere usata negli esercizi per determinare la temperatura di equilibrio T_e del sistema, essendo infatti

(4) \begin{equation*} m_1 c_1 (T_e - T_1) = - m_2 c_2 (T_e - T_2), \end{equation*}

dove abbiamo etichettato con m_1 e c_1 la massa e il calore specifico del corpo più caldo, mentre con m_2 e c_2 le stesse quantità per il corpo più freddo. Seguirà quindi facilmente che, per due corpi in contatto termico, la temperatura d’equilibrio è data da

(5) \begin{equation*} T_e = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}, \end{equation*}

ossia una media pesata delle temperatura, dove è il peso è costituito dal prodotto della massa per il calore specifico del corpo (anche detto capacità termica del corpo). In questi calcoli le temperature possono essere messe arbitrariamente in gradi Celsius (^\circ C) o Kelvin (K). Infatti la quantità di calore ceduto o assorbito dipende sempre da una differenza di temperature \Delta T che è la stessa in entrambe le unità di misura dato che le due scale differiscono per una quantità costante (ricordiamo pari a 273\,K).

Talvolta i corpi analizzati subiranno una transizione di fase, passando da uno stato della materia all’altro. Durante una transizione di fase la temperatura rimane costante, anche se c’è scambio di calore che deve essere tenuto in considerazione. In particolare, le quantità di calore cedute (come nel caso della solidificazione) o acquisite (come nel caso della fusione o dell’evaporazione) dalla sostanza sono legate ai calori latenti \lambda secondo la formula

(6) \begin{equation*} Q=m\lambda. \end{equation*}

Il calore latente è lo stesso per il passaggio di stato indipendentemente dal “verso” in cui è percorso (quindi \lambda_{\text{evaporazione}}=\lambda_{\text{condensazione}} e stessa cosa per liquefazione-solidificazione).

Quando la temperatura di un corpo varia, anche le sue dimensioni possono cambiare: questo fenomeno è noto come dilatazione termica. Nella maggior parte dei materiali solidi, per variazioni di temperatura non troppo elevate, l’aumento di lunghezza \Delta L di un corpo inizialmente lungo L_0 è proporzionale alla variazione di temperatura \Delta T secondo la relazione

(7) \begin{equation*} \Delta L =L-L_0= \alpha L_0 \Delta T, \end{equation*}

dove \alpha è il coefficiente di dilatazione lineare, caratteristico del materiale. La dilatazione termica ha importanti conseguenze pratiche: deve essere considerata nella progettazione di strutture (come binari ferroviari o ponti), nei termometri a liquido, e in generale in tutti i dispositivi soggetti a variazioni di temperatura.

Un aspetto fondamentale della termodinamica è che l’energia meccanica può essere trasformata in calore. Questo avviene, ad esempio, quando due superfici scorrono l’una sull’altra: la forza d’attrito compie lavoro negativo sul sistema e l’energia meccanica perduta si trasforma in un aumento dell’energia interna dei corpi, osservabile come incremento della temperatura. Quando viene dissipata una quantità di energia \Delta E (ad esempio per per attrito radente tra solidi) per effetto di forze non conservative, essa si converte in una quantità equivalente di calore secondo il principio di conservazione dell’energia. Ricordando che il lavoro totale è pari alla variazione dell’energia cinetica \Delta K, possiamo scrivere

(8) \begin{equation*} \Delta K+\Delta Q=0 \end{equation*}


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri un contenitore adiabatico contenente una massa m_a=1 kg di acqua a temperatura T_a=20^\circ\ \text{C}. Si immerge una massa di ghiaccio m_g=\text{0,1} \text{kg} ad una temperatura iniziale T_g=-10^\circ \text{C}. Si assumano i seguenti valori per il calore specifico dell’acqua e del ghiaccio rispettivamente: c_1=\text{4186,8} J/(kg\cdot K) e c_2=\text{2093,4} J/(kg\cdot K). Il calore latente di fusione del ghiaccio è \lambda=\text{3,3} \cdot 10^5 J/kg. Calcolare la temperatura di equilibrio T_e.

Svolgimento.

All’equilibrio si possono prospettare tre soluzioni diverse: che il ghiaccio si sciolga completamente, che tutta l’acqua nel contenitore ghiacci o che il sistema all’equilibrio sia in una fase mista di ghiaccio e acqua a 0\,^\circ \text{C}. Le ultime due situazioni sembrano alquanto improbabili visti i dati del problema ma dobbiamo comunque controllare. La quantità massima di calore che può essere fornita dalla massa d’acqua prima di solidificare è pari a

(9) \begin{equation*} Q_{\text{ced-max}}=m_ac_1(T_0-T_a)\,, \end{equation*}

dove T_0=0\,^\circ \text{C}. Inserendo i valori del testo abbiamo

(10) \begin{equation*} Q_{\text{ced-max}}=-\text{8,34}\cdot10^4\,J\,. \end{equation*}

Invece, la quantità di calore assorbita dal ghiaccio necessaria per aumentarne la temperatura fino al punto di fusione è

(11) \begin{equation*} Q_{\text{assorb}}=m_gc_2(T_0-T_g)=\text{2,09}\cdot10^3\,J\,, \end{equation*}

e poi per fonderlo completamente

(12) \begin{equation*} Q_{\text{fusione}}=m_g\,\lambda=\text{3,30}\cdot 10^4\,J\,. \end{equation*}

In totale il calore assorbito dal ghiaccio in tutto il processo è

(13) \begin{equation*} Q_{\text{assorb,tot}}=Q_{\text{assorb}}+Q_{\text{fusione}}=\text{3,51}\cdot10^4\,J\,. \end{equation*}

\[\quad\]

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Figura 1: illustrazione schematica del problema.

\[\quad\]

Visto che Q_{\text{assorb,tot}}<|Q_{\text{ced-max}}| tutto il ghiaccio si scioglierà. La quantità di calore scambiata in eccesso viene impiegata per aumentare la temperatura dell’acqua risultante \left(m_a+m_g\right), ottenuta dalla massa d’acqua iniziale e la massa del ghiaccio sciolta, che si trovano alla temperatura di fusione T_0. La temperatura di equilibrio è data dall’equazione

(14) \begin{equation*} c_{1}\,\left(m_{a}+m_{g}\right)\,\left(T_{\rm eq}-T_{0}\right)=\left| Q_{\textrm{ced-max}}\right| -Q_{\textrm{assorb,tot}}\,, \end{equation*}

ovvero

(15) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ T_{\text{eq}}=\frac{|Q_{\text{ced-max}}|-Q_{\text{assorb,tot}}}{c_1(m_a+m_g)}= 10\,^\circ \text{C}=283\,\text{K}. \nonumber } \end{equation*}

 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una sbarra di ferro è posta accanto a una sbarra di alluminio, in modo che entrambe le sbarre abbiano un’estremità a contatto con lo stesso supporto, mentre l’altra è libera di allungarsi. Si osserva che, ad una certa temperatura T_0, la sbarra di ferro è più lunga di \varepsilon dell’altra. Si supponga di riscaldare le due sbarre: quanto deve essere lunga la sbarra di rame se si vuole che la differenza in lunghezza tra le due sbarre sia indipendente dalla temperatura? Si indichino con \alpha_F e \alpha_A i coefficienti di dilatazione termica del ferro e dell’alluminio rispettivamente, e si esprima il risultato in funzione di \varepsilon, \alpha_F e \alpha_A.

Svolgimento.

Siano \ell_F e \ell_A le lunghezze iniziali delle sbarre di ferro e alluminio, rispettivamente. Alla temperatura T_0 la situazione si presenta come in figura 2 seguente.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 2: illustrazione schematica del problema.

\[\quad\]

Abbiamo dunque

(16) \begin{equation*} \ell_F - \ell_A= \varepsilon>0, \end{equation*}

e vogliamo che ad una qualsiasi temperatura T>T_0 la differenza tra le lunghezze dei due materiali a tale temperatura, che chiameremo \ell^T_F e \ell^T_A, sia ancora uguale ad \varepsilon, sicché

(17) \begin{equation*} \ell^T_F - \ell^T_A= \varepsilon. \end{equation*}

Le lunghezze a temperatura T si ottengono applicando la formula di dilatazione termica lineare; chiamando per semplicità \Delta T=T-T_0 si ha dunque

(18) \begin{equation*} \ell^T_F=\ell_F(1+\alpha_F \Delta T) \end{equation*}

per la sbarra di ferro, e

(19) \begin{equation*} \ell^T_A=\ell_A(1+\alpha_A \Delta T) \end{equation*}

per la sbarra d’alluminio. Sostituiamo le equazioni (18) e (19) nell’equazione (17), avremo dunque

(20) \begin{equation*} \ell_F(1+\alpha_F \Delta T) - \ell_A(1+\alpha_A \Delta T) = \varepsilon; \end{equation*}

moltiplicando i termini a primo membro, si ha

(21) \begin{equation*} \ell_F + \ell_F \alpha_F \Delta T - \ell_A - \ell_A \alpha_A \Delta T= \varepsilon. \end{equation*}

Osservando che a primo membro è possibile sostituire \ell_F - \ell_A sfruttando l’equazione (16), avremo

(22) \begin{equation*} \varepsilon + \ell_F \alpha_F \Delta T - \ell_A \alpha_A \Delta T= \varepsilon. \end{equation*}

Possiamo dunque cancellare \varepsilon in entrambi i membri, e successivamente dividere tutta l’equazione per \Delta T, la quale, per le ipotesi del testo, è una quantità strettamente maggiore di 0. In definitiva, dunque,

(23) \begin{equation*} \ell_F \alpha_F - \ell_A \alpha_A=0, \end{equation*}

e sapendo che per l’equazione (16) vale \ell_A = \ell_F - \varepsilon, possiamo scrivere

(24) \begin{equation*} \ell_F \alpha_F - (\ell_F - \varepsilon) \alpha_A=0, \end{equation*}

da cui si ricava facilmente la lunghezza della sbarra di ferro richiesta

(25) \begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ \ell_F = \frac{\varepsilon \alpha_A}{\alpha_A - \alpha_F}. \nonumber } \end{equation*}

Osserviamo che il risultato non dipende dalla temperatura T considerata nelle nostre formule (la quale è del tutto arbitraria ed in ogni caso non potrebbe influenzare la lunghezza della sbarra alla temperatura T_0), né dalla temperatura T_0 iniziale. È inoltre interessante notare che il denominatore della frazione risultante, ossia \alpha_A-\alpha_F, deve essere maggiore di 0: in altre parole, il coefficiente di dilatazione termica lineare della sbarra più corta deve essere maggiore della sbarra più lunga. Matematicamente, questo fatto è correlato all’equazione (23); segue facilmente, infatti

(26) \begin{equation*} \frac{\alpha_A}{\alpha_F}=\frac{\ell_F}{\ell_A}>1. \end{equation*}

Fisicamente, se fosse invece \alpha_F > \alpha_A, al crescere della temperatura la sbarra di ferro si allungherebbe più della sbarra di alluminio, e pertanto non si riuscirebbe a mantenere sempre la stessa differenza di lunghezza.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Si considerino due corpi omogenei composti rispettivamente da piombo e stagno , di masse m_{Pb} e m_{Sn} e calori specifici c_{Pb} e c_{Sn}. Tali corpi si trovano inizialmente alle temperature T_{Pb} e T_{Sn}; vengono quindi messi a contatto all’interno di un calorimetro con capacità termica trascurabile e non completamente isolato termicamente. Si supponga che, dopo un tempo finito t, i due corpi raggiungano la temperatura di equilibrio T_{eq} e che durante questo intervallo di tempo il calorimetro rilasci una quantità di calore Q_0 nell’ambiente esterno, che si trova alla temperatura T_{amb}, la quale è inferiore alle temperature dei due corpi. Determinare la temperatura di equilibrio T_{eq} raggiunta al tempo t. Quale sarebbe la temperatura dei due corpi se si aspettasse un tempo t^*>>t?

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