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Problemi di Cauchy: Raccolta di Esercizi Svolti

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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In questo articolo proponiamo degli esercizi sui problemi di Cauchy per equazioni differenziali.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare la soluzione del problema di Cauchy

\[ \begin{cases} y' = y^{2/3},\\[2pt] y(0) = 1 . \end{cases} \]

nell’intervallo (-1,+\infty).

Svolgimento.

L’equazione differenziale, a variabili separabili, ammette la soluzione costante y(x)\equiv 0, che però non soddisfa la condizione iniziale. In ogni caso, poiché y(0)=1 > 0, possiamo assumere che y > 0 in un intorno di tale punto e dividere per y^{\frac{2}{3}} l’equazione, ottenendo

\[ \frac{y'(x)}{y^{\frac{2}{3}}(x)} = 1 \iff 3\int_0^x \frac{y'(t)}{3y^{\frac{2}{3}}(t)}\,dt= \int_0^x t \,dt \iff 3 \bigg[\sqrt[3]{y(t)} \bigg]_{0}^{x} = x \iff 3\sqrt[3]{y(x)}- 3 = x, \]

dove nel primo passaggio abbiamo integrato tra 0 e x, mentre nell’ultimo abbiamo usato la condizione iniziale y(0)=1. Risolvendo l’ultima equazione rispetto a y, la soluzione determinata vale

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x)= \left ( \frac{x+3}{3} \right )^3 \qquad \forall x \in \mathbb{R}, } \]

che è positiva per x>-3 e in particolare in (-1,+\infty).

Osserviamo che il membro di destra dell’equazione è lipschitziano in un intorno di y=1, ma non lo è in alcun intorno di y=0. Di conseguenza, il teorema di esistenza e unicità locale fornisce una soluzione unica solo negli intervalli in cui questa non si annulla: la soluzione del problema di Cauchy appena trovata potrebbe cioè perdere la sua unicità in x=-3. Ciò infatti si verifica: fissato un qualunque a<-3, la funzione

\[ y_a(x)= \begin{cases} \left ( \dfrac{x+3}{3} \right )^3 & \text{se } x>3 \\[10pt] 0 & \text{se } x \in [a,-3] \\[10pt] \left ( \dfrac{x-a}{3} \right )^3 & \text{se } x< a \end{cases} \]

risolve il problema di Cauchy in esame.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare la soluzione del problema di Cauchy

\[ \begin{cases} y' = 8xy + x,\\[9pt] y(1) = \dfrac{7}{8} . \end{cases} \]

Svolgimento.

L’equazione differenziale è lineare del primo ordine: moltiplicando ambo i membri per il fattore integrante e^{-4x^2} e riorganizzando, si ottiene

\[ \begin{aligned} y'(x)e^{-4x^2} - 8x y(x)e^{-4x^2} = xe^{-4x^2} &\iff \frac{d}{dx} \left ( y(x)e^{-4x^2}\right )= xe^{-4x^2} \\ &\iff y(x)e^{-4x^2} = -\frac{1}{8}\int \Big(-8xe^{-4x^2}\Big)\,dt, \end{aligned} \]

dove nel primo passaggio abbiamo riconosciuto la derivata del prodotto y(x)e^{-4x^2} e nel secondo passaggio abbiamo integrato. Risolvendo l’integrale si ha che la soluzione generale dell’equazione differenziale vale

(1) \begin{equation*} y(x)e^{-4x^2} = -\frac{e^{-4x^2} + c}{8}, \end{equation*}

dove c \in \mathbb{R}. Imponendo la condizione iniziale y(1)=\frac{7}{8}, giungiamo a

\[ \frac{7}{8} e^{-4} = - \frac{e^{-4}+c}{8} \iff c= -8e^{-4} \]

che, inserita in (1), produce la soluzione

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x) = -\frac{1}{8} + e^{4(x^2-1)} \qquad \forall x \in \mathbb{R}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy:

\[ \begin{cases} y' = -\dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{x},\\[4pt] y(1) = 2, \end{cases} \qquad\text{oppure}\qquad \begin{cases} y' = -\dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{x},\\[4pt] y(1) = 1 . \end{cases} \]

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