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Esercizi sull’equazioni differenziali lineari di ordine superiore al primo

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

Home » Esercizi sull’equazioni differenziali lineari di ordine superiore al primo

 
 

Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni differenziali lineari di ordine superiore al primo.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Introduzione

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In questo articolo trattiamo le equazioni differenziali lineari di ordine superiore al primo del tipo

\[ a_n y^{(n)}(x) + a_{n-1}y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_1y'(x) + a_0y(x)=b(x) \]

ossia equazioni a coefficienti costanti. Le soluzioni di queste equazioni si ottiene sommando a una data soluzione particolare le soluzioni dell’equazione omogenea associata, in cui cioè la funzione b è nulla. La soluzione può essere determinata con tecniche standard, ad esempio grazie alla particolare forma della funzione b(x). L’equazione omogenea si può risolvere cercando soluzioni della forma y(x)=ce^{\lambda x} con \lambda \in \mathbb{C}. Sostituendo tale funzione nell’equazione si vede che \lambda risolve l’equazione algebrica

\[ a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0=0. \]

Se \lambda è una soluzione semplice di questa equazione polinomiale, allora

\[ y(x)=ce^{\lambda x} \]

è soluzione dell’equazione differenziale omogenea. Se invece \lambda è una soluzione di molteplicità k, allora le funzioni

\[ y(x)=c_0 e^{\lambda x}, \qquad y(x)=c_1 xe^{\lambda x}, \qquad \dots \qquad y(x)=c_{k-1}x^{k-1}e^{\lambda x} \]

sono soluzioni indipendenti dell’equazione differenziale. Nel caso in cui \lambda=a+ib non sia un numero reale, allora anche il suo coniugato \bar{\lambda}=a-ib è una soluzione dell’equazione e quindi, dalla linearità dell’equazione, si possono sommare e sottrarre le corrispondenti soluzioni per ottenere le soluzioni reali

\[ y(x)= e^{ax} \cos(bx), \qquad y(x)= e^{ax} \sin(bx). \]


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale dell’equazione differenziale

\[y''(x)-y'(x)= (x+1)\,e^x.\]

Svolgimento.

L’equazione potrebbe essere ridotta facilmente a una del primo ordine con la sostituzione z(x)=y'(x), ma qui preferiamo risolverla trattandola come equazione lineare del secondo ordine non omogenea. Consideriamo l’equazione omogenea associata y''(x)- y'(x)=0, che ha equazione caratteristica

\[\lambda^2-\lambda=0 \iff \lambda=0 \, \vee \, \lambda=1.\]

Dunque la soluzione generale dell’equazione omogenea è

\[y_o(x) = c_1 + c_2 \, e^x\]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}. Applichiamo il metodo della somiglianza e cerchiamo una soluzione particolare dell’equazione non omogenea che sia della forma:

\[\tilde{y}(x) = (Ax+B) \, x \, e^x = (Ax^2+Bx) \, e^x.\]

Tale funzione ha derivate prima e seconda rispettivamente pari a

\[ \begin{gathered} \tilde{y}'(x) = (Ax^2+(2A+B)x+B)\, e^x, \\ \tilde{y}''(x) = (Ax^2+(4A+B)x+2B+2A)\,e^x. \end{gathered} \]

Dunque sostituendo nell’equazione data, essa deve quindi soddisfare

\[(Ax^2+(4A+B)x+2B+2A) \, e^x - (Ax^2+(2A+B)x+B)\, e^x = (x+1)\, e^x\]

e svolgendo i calcoli

\[2Ax+2A+B=x+1.\]

Applicando il principio di identità dei polinomi deve dunque aversi

\[\begin{cases} 2A = 1\\ 2A+B=1 \end{cases} \iff A=\dfrac{1}{2} \, \wedge \, B=0.\]

Quindi la soluzione particolare è \tilde{y}(x) = \dfrac{1}{2}x^2 \, e^x. Si conclude che l’integrale generale è

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x) = y_o(x) + \tilde{y}(x) = c_1 + c_2 \, e^x + \dfrac{1}{2} \, x^2 \, e^x. \qquad \forall x \in \mathbb{R},\,\,\,\text{con }c_1,c_2 \in \mathbb{R}. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione lineare non omogenea:

\[y''(x)-y(x)=\sqrt{1+e^x}.\]

Svolgimento.

L’equazione differenziale e’ del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea: il suo integrale generale è quindi dato dalla somma dell’integrale generale dell’equazione omogenea associata e un integrale particolare dell’equazione non omogenea; ricaveremo quest’ultimo col metodo delle variazioni delle costanti.

L’equazione caratteristica associata all’equazione differenziale omogenea y''(x)-y(x)=0 e’ data da

\[s^2-1=0\iff s_1=1 \,\, \vee \,\, \quad s_2=-1.\]

Pertanto la soluzione generale dell’equazione omogenea associata è

\[y_o(x)=c_1y_1(x)+ c_2y_2(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{x} \qquad \forall x \in \mathbb{R},\]

con c_1,c_2 \in \mathbb{R}. Determiniamo la soluzione particolare utilizzando il metodo della variazione delle costanti:

\[\begin{cases} c_1'(x)y_1(x)+c_2'(x)y_2(x)=0 \\ c_1'(x)y_1'(x)+c_2'(x)y_2'(x)=\sqrt{1+e^x} \end{cases}\]

ossia

\[\begin{cases} c_1'(x)e^{-x}+c_2'(x)e^x=0 \\ -c_1'(x)e^{-x}+c_2'(x)e^x=\sqrt{1+e^x} \end{cases} \iff \begin{cases} c_1'(x)=-c_2'(x)e^{2x}\\ c_2'(x)=\frac{\sqrt{1+e^x}}{2e^x}. \end{cases}\]

Determinare una funzione c_1(x) che soddisfi l’equazione è immediato:

\[c_1(x)=-\frac{1}{2}\int{\sqrt{1+e^x}e^{x}dx}=-\frac{1}{3}(1+e^x)^{\frac{3}{2}}.\]

Per risolvere l’integrale per determinare c_2(x) conviene integrare prima per parti:

\[ \begin{gathered} c_2(x) =\int \frac{\sqrt{1+e^x}}{2e^x}dx=\frac{1}{2}\int \sqrt{1+e^x}e^{-x}dx=-\frac{1}{2}\int \sqrt{1+e^x}d\left(e^{-x}\right)= \\[5pt] =-\frac{1}{2}\left[\sqrt{1+e^x}e^{-x}-\int e^{-x}d\left(\sqrt{1+e^x}\right)\right]=-\frac{1}{2}\left[\sqrt{1+e^x}e^{-x}-\int e^{-x}\frac{e^x}{2\sqrt{1+e^x}}dx\right]= \\[5pt] =-\frac{1}{2}\left[\sqrt{1+e^x}e^{-x}-\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1+e^x}}dx\right]. \end{gathered} \]

Risolviamo a parte l’integrale ponendo t=\sqrt{1+e^x}, da cui dx=\frac{2tdt}{t^2-1} e quindi

\[\int \frac{1}{\sqrt{1+e^x}}dx=\int\frac{2t}{t(t^2-1)}dt=2\int\frac{dt}{t^2-1}.\]

Decomponiamo in fratti semplici:

\[\frac{1}{t^2-1}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}=\frac{(A+B)t+A-B}{t^2-1}.\]

Per il principio di identità dei polinomi si costruisce il sistema

\[\begin{cases} A+B=0 \\ A-B=1 \end{cases} \iff \begin{cases} A=\frac{1}{2}\\ B=-\frac{1}{2}, \end{cases}\]

da cui si ottiene

\[\int\frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}\log\left(\frac{t-1}{t+1}\right)=-\mbox{atanh(t)},\]

ovvero

\[\int \frac{1}{\sqrt{1+e^x}}dx=-2\mbox{atanh}(\sqrt{1+e^x}).\]

La soluzione generale è quindi

\[\boxcolorato{analisi}{ y(x)=c_1e^{-x}+c_2e^{x}-\frac{1}{3}(1+e^x)^{\frac{3}{2}}e^{-x}-\frac{1}{2}\left[\sqrt{1+e^x}+e^{x}\mbox{atanh}(\sqrt{1+e^x})\right], }\]

dove c_1, c_2 \in \mathbb{R}.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[ x y''(x)-2x=6x^2-1. \]

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