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Esercizi misti sull’equazioni differenziali ordinarie

Esercizi equazioni differenziali ordinarie

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Sommario

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Raccolta di esercizi misti sulle equazioni differenziali ordinarie.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente problema di Cauchy:

\[ \begin{cases} x^2y'(x)=y(x)\bigl( x-y(x)\log (x) \bigr)\\ y(1)=2. \end{cases} \]

Svolgimento.

Poiché \log x è definito solo per x>0, la soluzione può esistere al più nell’intervallo (0,+\infty). Riscriviamo l’equazione differenziale come

\[ y'x = \frac{y(x)}{x} - \frac{y^2(x)\log(x)}{x^2}, \]

e poniamo z(x) = \frac{y(x)}{x}, ovvero y(x)= xz(z); derivando tale relazione abbiamo

\[ y'(x) = xz'(x) + z(x). \]

Sostituendo nell’equazione troviamo

\[ xz' + z = z-z^2\log(x) \iff xz' = -z^2 \log(x), \]

che risulta un’equazione a variabili separabili:

\[ -\int \frac{1}{z^2} \, dz = \int \frac{\log(x)}{x} \iff \frac{1}{z} = \frac{\log^2(x)}{2} + c. \]

Sostituendo z(x) = \frac{y(x)}{x} otteniamo

\[ \frac{x}{y} = \frac{\log^2(x)}{2} + c. \]

Imponendo la condizione iniziale ricaviamo

\[ \frac{1}{2} = c. \]

Risolvendo rispetto a y(x), la soluzione del problema di Cauchy è

\[ y(x) = \frac{2x}{1+\log^2(x)}. \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’integrale generale della seguente equazione differenziale:

\[ y(x)y''(x)-y(x)y'(x)-(y'(x))^2=0. \]

Svolgimento.

Osserviamo innanzitutto che tutte le funzioni costanti risolvono l’equazione, dunque possiamo limitarci a ricercare tutte le soluzioni che non sono costanti in \mathbb{R}. Fissiamo allora un’eventuale soluzione y(x) non costante dell’equazione: essa è derivabile due volte e quindi è continua con derivata continua. Dato che y è una funzione non costante, per il teorema di Lagrange esiste almeno un punto x_0 \in \mathbb{R} tali che y(x_0)\neq 0 e y'(x_0) \neq 0. Per la continuità di y e y', il segno di y e y' rimane costante in un intervallo (a,b) contenente x_0, in cui quindi vale

\[ y(x)\neq 0, \quad y'(x) \neq 0 \qquad \forall x \in (a,b). \]

Ricaveremo l’espressione di y in tale intervallo, da cui dedurremo a posteriori che né y né y' si annullano mai, ottenendo quindi la possibilità di scegliere (a,b)= \mathbb{R}.

Nell’intervallo (a,b) l’equazione è equivalente a quella ottenuta dividendola per yy' e quindi possiamo riscriverla come

\[ \begin{aligned} \frac{y''}{y'} - 1 - \frac{y'}{y}=0 & \iff \left ( \log (|y'|) \right)' = \left ( \log |y| \right )' + 1 \\ & \iff \log(|y'|) = \log |y| + x + c_0 \\ &\iff y'(x) = \pm c_1 \cdot e^x y(x) \end{aligned} \]

dove abbiamo fissato c_0 \in \mathbb{R} e posto c_1=e^{c_0}, mentre il segno \pm deriva dalla rimozione dei moduli. Poiché una primitiva di a(x)=\pm c_1 \cdot e^x è la funzione A(x)=\pm c_1 \cdot e^x, la soluzione della precedente equazione differenziale è

(1) \begin{equation*} y(x)= c_2\cdot e^{\pm c_1 e^x} \qquad \forall x \in (a,b), \end{equation*}

dove occorre imporre c_1 >0 in quanto c_1=e^{c_0} e c_2 \neq 0 in quanto abbiamo ipotizzato a priori che y non è costante in (a,b). In tali condizioni su c_1,c_2 osserviamo infine che le espressioni di y e y' non si annullano per nessun x \in \mathbb{R}: dalla continuità di y e y' segue quindi che l’uguaglianza in (1) vale per ogni x \in \mathbb{R}. Ricapitolando, la soluzione generale dell’equazione di partenza è

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{analisi}{ y(x)= a\cdot e^{b e^x} \qquad \text{con } a,b \in \mathbb{R}, } \end{equation*}

dove abbiamo rimosso le condizioni su c_1,c_2 in modo da includere anche le soluzioni costanti.


Osservazione 1.

Sottolineiamo che i ragionamenti fatti sono necessari al fine di determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale. Infatti, dividere semplicemente l’equazione per yy' senza preoccuparsi della liceità dell’operazione e poi verificare a posteriori che le funzioni ottenute risolvono l’equazione di partenza potrebbe a priori fornire solo alcune soluzioni di quest’ultima. Il problema è quindi abbastanza delicato e va affrontato nel modo sopra proposto, o utilizzando qualche tipo di ragionamento equivalente.

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente problema di Cauchy:

\[ \begin{cases} \psi^{\prime \prime}(x)=-e^{-\psi(x)}\\ \psi^\prime(0)=\sqrt{2}\\ \psi(0)=0. \end{cases} \]

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