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Esercizi sulle prove ripetute

Esercizi misti su Elementi di probabilità

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle prove ripetute nel calcolo delle probabilità.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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A^c Complementare dell’evento A;   Complementare dell’evento A;
n!   Fattoriale del numero naturale n, ossia il prodotto n!=n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdots 1; si definisce 0!=1;
\binom{n}{k}   Coefficiente binomiale di n su k, pari a \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}.
P(A|B)   Probabilità condizionata dell’evento A rispetto all’evento B.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un’urna contiene 9 palline rosse e 7 palline gialle. Si estraggono due palline in successione, senza rimettere la prima nell’urna. Determinare qual è la probabilità che le due palline siano:

\[\quad\]

  1. entrambe rosse;

    2.  

  2. entrambe gialle;

    3.  

  3. la prima rossa e la seconda gialla;

    4.  

  4. una rossa e una gialla, in qualunque ordine.

Svolgimento punto 1.

L’urna contiene inizialmente 9+7=16 palline. Dopo la prima estrazione, la composizione dell’urna cambia e con essa cambia la probabilità di estrarre una pallina gialla o rossa. Ciò detto, per ottenere le probabilità richieste occorre moltiplicare la probabilità di un successo al primo turno con quella di un successo al secondo turno.

La probabilità che la prima estratta sia una pallina rossa è pari a \frac{9}{16}. Supponendo che la prima estrazione abbia successo, la probabilità di ottenere una ulteriore pallina rossa nella seconda estrazione è pari a \frac{8}{15}. Moltiplicando queste probabilità si ottiene quella di ottenere due palline rosse:

\[ \frac{9}{16} \cdot \frac{8}{15} =\boxcolorato{superiori}{ \frac{3}{10}. } \]


Svolgimento punto 2.

Con un ragionamento analogo al punto precedente si ha che la probabilità di ottenere due palline gialle è pari al prodotto

\[ \frac{7}{16} \cdot \frac{6}{15} = \boxcolorato{superiori}{ \frac{7}{40}. } \]


Svolgimento punto 3.

La probabilità che la prima pallina estratta sia rossa vale \frac{9}{16}. Supponendo che si estragga una pallina rossa, la probabilità di ottenere una pallina gialla come seconda estratta vale \frac{7}{15}. La probabilità richiesta è dunque il prodotto

\[ \frac{9}{16} \cdot \frac{7}{15} = \boxcolorato{superiori}{ \frac{21}{80}. } \]


Svolgimento punto 4.

L’evento di ottenere una pallina rossa e una gialla, in qualunque ordine, è pari all’unione dell’evento di avere prima una pallina rossa e poi una gialla, con l’evento di estrarre prima una pallina gialla e poi una rossa. Poiché tali eventi sono incompatibili, la probabilità della loro unione è pari alla somma delle probabilità. La probabilità del primo evento è stata calcolata al punto precedente; con un ragionamento analogo si calcola la probabilità di ottenere prima una pallina gialla e poi una rossa, e la somma vale dunque

\[ \frac{21}{80} + \frac{7}{16} \cdot \frac{9}{15} = \frac{21+21}{80} = \boxcolorato{superiori}{ \frac{21}{40}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un’urna contiene 24 palline numerate da 1 a 24. Si estraggono due palline in successione, senza reinserire la prima. Calcolare la probabilità che siano:

\[\quad\]

  1. entrambe con numero pari;

    2.  

  2. una pari e una dispari;

    3.  

  3. entrambe etichettate con un numero primo.

Svolgimento punto 1.

Nelle richieste dell’esercizio l’ordine di estrazione non riveste alcuna importanza, dunque l’esito della doppia estrazione è descritto adeguatamente da un insieme di due numeri distinti compresi tra 1 e 24, ossia con una combinazione semplice di due elementi scelti tra 24, il cui numero si calcola col coefficiente binomiale

\[ \binom{24}{2} = \frac{24 \cdot 23}{2} = 12 \cdot 23. \]

Tutti questi esiti sono equiprobabili, quindi le probabilità ricercate si calcolano come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero 12 \cdot 23 di casi totali.

Il numero di casi favorevoli è pari al numero di sottoinsiemi di due elementi scelti tra i 12 numeri pari disponibili, ossia il numero di combinazioni semplici di 2 elementi scelti tra 12, cioè \binom{12 }{2}= \frac{12 \cdot 11}{2}; dunque la probabilità di ottenere una coppia di numeri pari vale

\[ \frac{12 \cdot 11}{24 \cdot 23} = \boxcolorato{superiori}{ \frac{11}{46}. } \]


Svolgimento punto 2.

Vi sono 12 modi di scegliere un numero pari tra quelli disponibili e 12 modi per scegliere un numero dispari. Dunque il numero di casi favorevoli è 12 \cdot 12 e pertanto la probabilità richiesta è

\[ \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 23} = \boxcolorato{superiori}{ \frac{12}{23}. } \]


Svolgimento punto 3.

I numeri primi minori o uguali a 24 sono 2,3,5,7,11,13,17,19,23, cioè 9 numeri. Il numero di casi favorevoli è pari al numero di combinazioni semplici di 2 elementi scelti tra 9, ovvero il coefficiente binomiale \binom{9}{2}= 9 \cdot 4. La probabilità di ottenere quindi due numeri primi è pari a

\[ \frac{9 \cdot 4}{12 \cdot 23} = \boxcolorato{superiori}{ \frac{3}{23}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Da un mazzo di 52 carte francesi classiche si estraggono due carte in successione, senza reinserire la prima. Trovare la probabilità che:

\[\quad\]

  1. la prima sia una figura (J, Q o K) e la seconda una carta numerica (assi esclusi);

    2.  

  2. una sia una figura e l’altra un asso, in qualunque ordine.

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