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Esercizi sulla probabilità dell’unione di eventi

Teorema della somma

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Sommario

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Esercizi sul teorema sulla probabilità dell’unione di eventi.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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P(A)    Probabilità dell’evento A;
|A|    Cardinalità (numero di elementi) dell’insieme A


 
 

Introduzione

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In questo articolo presentiamo alcuni esercizi sulla probabilità dell’unione di eventi. Se un evento A si verifica con probabilità P(A) e l’evento B si verifica con probabilità P(B), intuitivamente la probabilità dell’unione di A e B deve essere legata alla somma delle due probabilità.

La probabilità dell’unione di A e B coincide con la probabilità che si verifichi l’evento A oppure l’evento B. Sommando le due probabilità però stiamo considerando doppiamente probabile il verificarsi simultaneo sia di A che di B, ossia stiamo considerando doppia la probabilità che si verifichi l’intersezione A \cap B. Al fine di ottenere il valore esatto della probabilità di A \cup B, occorre quindi sottrarre dalla somma P(A)+P(B) la probabilità di tale intersezione. In formule

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ P(A \cup B)= P(A) + P(B) - P(A \cap B). } \end{equation*}

Con un ragionamento analogo si determina la probabilità dell’unione di tre elementi A, B, C:

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \begin{split} P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) \\ & \quad - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) \\ &\quad + P(A \cap B \cap C). \end{split} } \end{equation*}

Tale formula può essere generalizzata al caso di n eventi col cosiddetto principio di inclusione-esclusione:

(3) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \begin{split} P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) &= \sum_{k=1}^n P(A_k) \\ &\quad - \sum_{i,j=1,\,\,i \neq j}^{n} P(A_i \cap A_j) \\ &\quad + \dots \\ & \quad + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap \dots \cap A_n). \end{split} } \end{equation*}

Ricordiamo che, nel caso di esiti equiprobabili, ossia se tutti gli elementi di un certo universo si verificano con la medesima probabilità, le formule si riducono a contare gli elementi presenti in ciascun insieme, ossia P(A)= |A|/n, dove |A| indica la cardinalità di A, cioè il numero dei suoi elementi, mentre n è la cardinalità dell’universo, ossia il numero di possibili esiti di un certo esperimento.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). In una busta sono contenute {32} figurine numerate da 1 a 32. Calcolare la probabilità di estrarre a caso una figurina con numero dispari oppure multiplo di 5.

Svolgimento.

Chiamiamo

\[ A=\{\text{numero dispari}\}, \qquad B=\{\text{numero multiplo di }5\}. \]

Sul totale di 32 numeri, quelli dispari sono 16 (1,3,\dotsc,31), mentre i multipli di 5 compresi fra 1 e 32 sono 6 (5,10,15,20,25,30). I numeri che appartengono contemporaneamente a A e B, ossia A \cap B sono 5,15,25, in tutto 3.

Applicando la formula (1) si ottiene

\[ P(A\cup B)=\frac{16}{32}+\frac{6}{32}-\frac{3}{32}, \]

ossia

\[\boxcolorato{superiori}{ P(A \cup B)= \frac{19}{32}. } \]

 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un cassetto contiene {16} calzini blu, {8} neri e {6} grigi. Calcolare la probabilità che, estraendone uno a caso, esso sia blu o nero.

Svolgimento.

Indicando con

\[ B=\{\text{calzino blu}\},\qquad N=\{\text{calzino nero}\}, \]

il problema richiede di calcolare la probabilità dell’unione B \cup N. Dato che vi sono in totale 16+8+6=30 calzini e |B|=16 e |N|=8 con B \cap N=\emptyset, dalla formula (1) si ha

\[ P(B \cup N)= P(B)+ P(N) - P(B\cap N)= \frac{16+8}{30}, \]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{ P(B \cup N) = \frac{4}{5}. } \]

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la probabilità che, lanciando un dado a sei facce equilibrato (ossia tale che i possibili esiti sono equiprobabili), si verifichi almeno uno dei due eventi E_1= «numero divisibile per 3» E_2= «numero maggiore di 4».

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