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Esercizi sull’approccio classico alla probabilità

Eventi e probabilità

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Sommario

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Raccolta di esercizi sull’approccio classico alla probabilità.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si lancia un dado equilibrato a sei facce. Calcolare la probabilità che esca:

\[\quad\]

  • il numero 2;

    •  

  • un numero multiplo di 3;

    •  

  • un numero multiplo di 5;

    •  

  • un numero multiplo di 8;

    •  

  • un numero inferiore a 6.

Svolgimento punto 1.

Per un dado perfettamente equilibrato l’uscita di ciascuna faccia ha probabilità \frac{1}{6}. Dunque la probabilità di un certo evento si ottiene contando il numero di esiti favorevoli ed effettuando il rapporto sui 6 esiti totali.

Il numero due si ottiene in un solo esito, dunque la probabilità è pari a

\[\boxcolorato{superiori}{ p=\frac{1}{6}. } \]


Svolgimento punto 2.

Tra i numeri da 1 a 6 vi sono esattamente 2 multipli di 3: 3 e 6, ovvero due esiti favorevoli. Pertanto la probabilità è

\[\boxcolorato{superiori}{ p= \frac{2}{6}= \frac{1}{3}. } \]


Svolgimento punto 3.

Vi è un solo esito multiplo di 5, ossia il 5 stesso. Dunque la probabilità di tale evento è

\[\boxcolorato{superiori}{ p=\frac{1}{6}. } \]


Svolgimento punto 4.

Nessuna faccia di un dado a sei facce riporta un multiplo di 8; l’evento è quindi impossibile, ovvero

\[\boxcolorato{superiori}{p=0. } \]


Svolgimento punto 5.

Vi sono esattamente 5 numeri minori di 6: \{1,2,3,4,5\}. Ne segue che la probabilità richiesta è

\[ \boxcolorato{superiori}{ p=\frac{5}{6}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Il sacchetto della tombola contiene i numeri da 1 a 90, tutti estraibili con la stessa probabilità.
Viene estratto un numero. Calcolare la probabilità che esca:

\[\quad\]

  • un numero maggiore di 50;

    •  

  • un numero di due cifre, formato da due cifre uguali;

    •  

  • un numero di due cifre, formato da due cifre diverse;

    •  

  • un numero multiplo di 4;

    •  

  • un numero primo inferiore a 20.

Svolgimento punto 1.

L’estrazione di un numero ha 90 esiti equiprobabili, che avvengono dunque ciascuno con probabilità \frac{1}{90}. Dunque la probabilità di un evento si calcola contando il numero di estrazioni favorevoli ed effettuando il rapporto su 90 casi possibili.

I numeri maggiori di 50 sono quelli dal 51 al 90, ossia in totale 40. Ne segue che la probabilità richiesta è

\[ \boxcolorato{superiori}{ p=\frac{40}{90} = \frac{4}{9}. } \]


Svolgimento punto 2.

I numeri con due cifre uguali sono 11, 22, … , 88, ossia 8 casi favorevoli. Quindi la probabilità che venga estratto uno di essi vale

\[ \boxcolorato{superiori}{ p=\frac{8}{90}= \frac{4}{45}. } \]


Svolgimento punto 3.

La quantità di numeri aventi due cifre diverse si ottiene sottraendo dagli 81 numeri a due cifre gli 8 aventi due cifre uguali indicati al caso precedente, ossia 81-8=73. La probabilità che venga estratto uno di essi vale

\[ \boxcolorato{superiori}{ p=\frac{73}{90}. } \]


Svolgimento punto 4.

I multipli di 4 che non eccedono il 90 sono 4=4 \cdot 1, 8=4 \cdot 2, … , 88=4 \cdot 22, ossia 22 casi favorevoli. La probabilità che ne venga estratto uno vale

\[ \boxcolorato{superiori}{ p=\frac{22}{90} = \frac{11}{45}. } \]


Svolgimento punto 5.

I numeri primi minori di 20 sono 2,3,5,7,11,13,17,19, dunque (8 casi favorevoli. La probabilità che si verifichi l’estrazione di uno di essi è pari a

\[ \boxcolorato{superiori}{ p= \frac{8}{90} = \frac{4}{45}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Da un mazzo di 52 carte francesi classiche (quattro semi, 13 carte per seme di cui 10 numerate da 1 a 10 e le tre figure fante, donna e re) viene estratta una carta. Calcolare la probabilità che esca:

\[\quad\]

  • una carta di picche;

    •  

  • una figura;

    •  

  • una carta di quadri o di cuori.

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