Sommario
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Raccolta di esercizi sull’impostazione assiomatica della probabilità.
Autori e revisori
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Autori: Valerio Brunetti.
Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.
Esercizi
![\[\quad\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-27e49cccda278470ae7436bace68813e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esercizio 1 
. Una moneta viene truccata in modo tale che la probabilità che si presenti croce sia un quinto di quella che si presenti testa. Determinare il valore delle due probabilità.
. Una moneta viene truccata in modo tale che la probabilità che si presenti croce sia un quinto di quella che si presenti testa. Determinare il valore delle due probabilità.
Svolgimento.
Sia 
la probabilità che la moneta mostri testa e
quella che mostri croce. Il testo afferma che
è il quindo di , cioè 
;
poiché i due eventi sono complementari deve valere anche
. Sostituendo otteniamo
la probabilità che la moneta mostri testa e
quella che mostri croce. Il testo afferma che
è il quindo di , cioè ;
poiché i due eventi sono complementari deve valere anche
. Sostituendo otteniamo
![\[ p_T+\frac15\,p_T=1 \iff \frac65\,p_T=1, \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a77a61f984a171da237674b3b874d675_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui si ottiene
![\[ \boxcolorato{superiori}{ p_T= \frac{5}{6},\qquad p_C=\frac{1}{6}. } \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ff3adb72f773eaff68e0d803b689497_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esercizio 2 
. Tre persone 
e 
partecipano a un gioco nel quale uno dei tre giocatori deve vincere. La probabilità di vittoria di 
è tripla di quella di 
e la probabilità di perdere di è 
della probabilità di perdere di . Considerando che uno solo dei giocatori può vincere, determinare la probabilità di vittoria di ciascuno di essi.
. Tre persone e partecipano a un gioco nel quale uno dei tre giocatori deve vincere. La probabilità di vittoria di è tripla di quella di e la probabilità di perdere di è della probabilità di perdere di . Considerando che uno solo dei giocatori può vincere, determinare la probabilità di vittoria di ciascuno di essi.
Svolgimento.
Sia 
la probabilità che vinca rispettivamente il giocatore
o ; poiché uno solo dei tre deve imporsi, vale
la probabilità che vinca rispettivamente il giocatore
o ; poiché uno solo dei tre deve imporsi, vale
(1) 
Il testo stabilisce che la probabilità di vittoria di è tripla di quella
di , dunque
![\[ p_A = 3\,p_B. \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00e98ca6c4ce600145e413dd68ccb075_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Imponendo poi che la probabilità di perdere di sia
di quella di perdere di otteniamo
![\[ 1-p_B = \frac34\bigl(1-p_C\bigr). \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6545d282a2e1e8ed3f253854925d9bc_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sostituendo 
nell’equazione (1) si ricava
; inserendo questo risultato nella relazione sulle perdite si
ottiene
![\[ 1-p_B = \frac34\!\bigl(1-(1-4p_B)\bigr)=\frac34\,(4p_B)=3p_B, \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-081bc4100e9bb838130732c42b176f9d_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui 
e quindi 
.
Ne segue immediatamente
![\[ p_A = 3p_B = \frac34, \qquad p_C = 1-4p_B = 0. \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-017a2150f393e99b4491017520535fa8_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Si ha dunque
![\[ \boxcolorato{superiori}{ p_A=\frac34,\qquad p_B=\frac14,\qquad p_C=0. } \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-271d8d8173feacd14eab9b11955d64cf_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esercizio 3 . Le facce 
e 
hanno la stessa probabilità di verificarsi, pari al triplo di quella di ciascuno degli altri numeri. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi relativi al lancio del dado:
. Le facce e hanno la stessa probabilità di verificarsi, pari al triplo di quella di ciascuno degli altri numeri. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi relativi al lancio del dado:
![\[ \begin{array}{ll} A \;=&\text{``si presenta una faccia con un numero \emph{pari}''},\\ B \;=&\text{``si presenta un numero multiplo di \(3\)''},\\ C \;=&\text{``si presenta un numero primo''}. \end{array} \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f498dd27097c7bae0309a744c376db2e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
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