Esercizi su permutazioni semplici

Raccolta di esercizi sulle permutazioni semplici.

Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.

	Insieme dei numeri naturali: ;
	Fattoriale di , pari a ;
	Numero delle permutazioni di oggetti, pari a .

Una permutazione di un gruppo di oggetti distinti consiste in un particolare ordinamento di tali oggetti, ossia costruire una “stringa” ordinata costituita dagli oggetti. Usualmente, lo scopo del calcolo combinatorio è determinare il numero di tali permutazioni: osserviamo che la scelta dell’oggetto da porre in prima posizione avviene tra oggetti diversi; per ciascuna di tali possibilità, la scelta del secondo oggetto avviene tra oggetti diversi, dunque si hanno combinazioni possibili; continuando così, fino all’ultimo oggetto, che sarà l’unico rimasto una volta scelti tutti gli altri, si ottiene che

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dove appunto con si indica il prodotto di tutti i numeri naturali da a , mentre si pone per convenzione . Poiché le permutazioni sono tutte e sole le funzioni biettive da un insieme in sé, è pari al numero di funzioni biettive tra due insiemi di elementi.

La classifica finale è una sequenza ordinata di nove concorrenti distinti; poiché ciascun concorrente può occupare una sola posizione, si tratta di una permutazione semplice di elementi.

In termini combinatori il numero di permutazioni di oggetti distinti è

La prima cifra del numero è una tra , dunque può essere decisa in modi distinti. Per decidere quale stringa di cifre si possa affiancare a tale primo numero, si può pensare di ordinare le cifre non ancora utilizzate in un modo qualsiasi e prenderne le prime . Ricordiamo che cifre si possono permutare in modi diversi; dato che il modo in cui vengono ordinate le ultime due cifre è indifferente ai fini delle prime cifre, bisogna dividere per il numero di tali ordinamenti. In definitiva, il numero richiesto è