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Esercizi su disposizioni semplici

Disposizioni

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle disposizioni semplici.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Luigi De Masi.

Revisori: Daniele Volpe.

 
 

Notazioni

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\mathbb{N}   Insieme dei numeri naturali: 0,1,2,\dots;
n!   Fattoriale di n, pari a n\cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;
D_{n,k}   Numero delle disposizioni di k oggetti scelti tra n.


 
 

Introduzione

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Il concetto di disposizione semplice, come suggerito dal nome stesso, consiste nel disporre n oggetti in k posti distinti, senza che vi siano delle ripetizioni, cioè in modo che ogni oggetto occupi al più un posto. In generale, dunque, vale n \geq k.

Ad esempio, quante parole di k=3 lettere possono comporsi usando le n=5 presenti in “LIBRO”, ciascuna al più una volta sola? La risposta è semplice: per la prima lettera si hanno 5 scelte distinte; per ciascuna di tali scelte, la seconda lettera della parola può essere scelta in 4 modi diversi; infine, per ciascuna delle 5\cdot 4=20 scelte delle prime due lettere, si hanno 3 scelte diverse per la terza lettera. In definitiva, il numero richiesto è

\[ 5 \cdot 4 \cdot 3= 60. \]

Nel caso generale di disporre k oggetti scelti in un insieme di n oggetti, il ragionamento è identico: n scelte per l’oggetto da porre nella posizione 1, n-1 scelte per l’oggetto da porre nella posizione 2, …, fino a n-k+1 scelte per l’oggetto da porre nella posizione k. Quindi il numero totale di disposizioni di k oggetti scelti in un insieme di n è

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ D_{n,k} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1). } \end{equation*}

Si può riscrivere questa formula in maniera più compatta moltiplicando e dividendo per i fattori necessari a ottenere il prodotto dei numeri da 1 a n:

\[ D_{n,k} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+1) \cdot \frac{(n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 2 \cdot 1}{(n-k) \cdot (n-k-1) \cdots 2 \cdot 1} = \frac{n!}{(n-k)!}, \]

Ricordando che il prodotto dei numeri naturali da 1 a n si chiama fattoriale di n e si indica col simbolo n!, si può dedurne la formula

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ D_{n,k} = \frac{n!}{(n-k)!}. } \end{equation*}

Osserviamo che, in virtù del ragionamento fatto, il numero di disposizioni semplici di k oggetti scelti tra un insieme di n è pari al numero di funzioni iniettive da un insieme di cardinalità k a un insieme con n elementi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). In quanti modi si possono affidare quattro mansioni diverse avendo a disposizione sette dipendenti e volendo far svolgere al più una mansione a ciascun dipendente?

Svolgimento.

Quando le mansioni da assegnare sono distinte e nessun dipendente può ricoprirne più di una, il problema rientra nelle disposizioni semplici. Dalle formule dell’introduzione si ha

\[ D_{7,4} = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \boxcolorato{superiori}{840.} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). In quanti modi diversi nove persone possono sedersi in una fila di sei posti?

Svolgimento.

Per conoscere il numero di modi in cui nove persone possono occupare sei posti distinti basta osservare che l’operazione si compone di due fasi logiche ma che, dal punto di vista del calcolo, confluiscono in un’unica disposizione semplice senza ripetizione. Si devono infatti selezionare sei persone fra nove e, subito dopo, sistemarle in ordine nei sei posti disponibili: l’ordine è rilevante perché posti diversi producono disposizioni diverse, mentre non è permesso che una stessa persona occupi più di un posto. La formula delle disposizioni semplici D_{n,k}=n!/(n-k)! riassume entrambe le operazioni, perciò con n=9 e k=6 otteniamo

\[ D_{9,6}=\frac{9!}{(9-6)!}=\frac{9!}{3!} =9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4 =\boxcolorato{superiori}{60\,480.} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcola quanti numeri di quattro cifre tutte diverse si possono formare con le otto cifre dell’insieme A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}.

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