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Radicale annidato infinito

Curiosità e approfondimenti matematici

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Esercizio. Calcolare il valore del radicale annidato infinito

\[ \sqrt{\,2\sqrt{\,2\sqrt{\,2\sqrt{\,2\cdots}}}\,}. \]

Svolgimento.

Per dare un significato rigoroso all’espressione proposta, si osserva innanzitutto che essa viene interpretata come il limite della successione dei radicali finiti. Si definisce quindi a_1=\sqrt{2} e, ricorsivamente, a_{n+1}=\sqrt{2\,a_n} per ogni n\ge 1; il valore cercato coinciderà, se esiste, con \lim_{n\to\infty} a_n. Si nota che a_1=\sqrt{2}\in(0,2] e che, assumendo a_n\le 2, si ha a_{n+1}=\sqrt{2\,a_n}\le \sqrt{2\cdot 2}=2, da cui per induzione discende il fatto che 0<a_n\le 2 per ogni n, e dunque la successione è superiormente limitata da 2. Inoltre si osserva che, per 0\le a_n\le 2, vale l’implicazione

\[ a_{n+1}\ge a_n \ \Longleftrightarrow\ \sqrt{2\,a_n}\ge a_n \ \Longleftrightarrow\ 2a_n\ge a_n^2 \ \Longleftrightarrow\ a_n(2-a_n)\ge 0, \]

che risulta vera proprio perché a_n\in[0,2]; ne consegue che (a_n) è crescente. Essendo crescente e limitata superiormente, la successione converge per il teorema di monotonia e ammette un limite L\in[0,2]. Passando al limite nella relazione ricorsiva a_{n+1}=\sqrt{2\,a_n} e usando la continuità della radice quadrata, si ottiene l’equazione caratteristica L=\sqrt{2L}, da cui L^2=2L e quindi L(L-2)=0. Si deduce che le sole soluzioni possibili sono L=0 oppure L=2; tuttavia si nota che a_n\ge \sqrt{2}>0 per ogni n, per cui il limite non può essere 0. Pertanto si conclude che L=2. In definitiva, il valore del radicale annidato infinito proposto è

\[ \sqrt{\,2\sqrt{\,2\sqrt{\,2\sqrt{\,2\cdots}}}\,}=2. \]