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Equazioni goniometriche lineari: esercizi svolti

Equazioni lineari in seno e coseno

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni goniometriche lineari.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Svolgere la seguente equazione nel campo dei numeri reali con il metodo grafico:

\[ \cos x - \sin x = 1. \]

Svolgimento.

Trasformiamo l’equazione \cos x-\sin x = 1 nel sistema

\[ \begin{cases} X-Y = 1\\[2pt] X^{2}+Y^{2}=1 \end{cases} \quad\text{con}\quad \begin{cases} X=\cos x\\ Y=\sin x \end{cases} \]

La retta X-Y=1 e la circonferenza goniometrica X^{2}+Y^{2}=1 si intersecano nei punti

\[ (1,0)\quad\text{e}\quad(0,-1), \]

che corrispondono rispettivamente a

\[ \cos x = 1,\;\sin x = 0 \qquad\text{e}\qquad \cos x = 0,\;\sin x = -1. \]

I valori principali ottenuti sono quindi x=0 e x=-\dfrac{\pi}{2}. Tenendo conto della periodicità delle funzioni goniometriche, l’insieme delle soluzioni risulta

\[\boxcolorato{superiori}{\left\{\,x\in\mathbb R \ \bigl|\ x = 2k\pi \ \text{oppure}\ x = -\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\; k\in\mathbb Z \right\}.} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Svolgere la seguente equazione nel campo dei numeri reali con il metodo grafico:

\[ \cos x - \sin x = \sqrt{2}. \]

Svolgimento.

Trasformiamo l’equazione \displaystyle \cos x - \sin x = \sqrt{2} nel sistema

\[ \begin{cases} X - Y = \sqrt{2}\\ X^{2} + Y^{2} = 1 \end{cases} \qquad\text{con}\quad \begin{cases} X = \cos x\\ Y = \sin x \end{cases} \]

Dalla retta otteniamo Y = X - \sqrt{2}; sostituita nell’equazione della circonferenza fornisce

\[ X^{2} + (X - \sqrt{2})^{2} = 1 \iff 2X^{2} - 2\sqrt{2}\,X + 1 = 0. \]

Poiché il discriminante è \Delta = 0, esiste un solo punto di intersezione:

\[ X = \frac{\sqrt{2}}{2},\qquad Y = -\frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Questo punto corrisponde a

\[ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \;\Longrightarrow\; x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k,\; k \in \mathbb Z. \]

Si conclude che l’insieme delle soluzioni è

\[\boxcolorato{superiori}{\left\{\,x \in \mathbb R \,\bigl|\, x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\; k \in \mathbb Z \right\}.} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Svolgere la seguente equazione nel campo dei numeri reali con il metodo grafico:

\[ \sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{3}. \]

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