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Formule di Werner: esercizi svolti

Formule parametriche, di prostaferesi e Werner

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle formule di Werner in trigonometria.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Richiami di teoria

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Le formule di Werner consentono di scrivere un prodotto di funzioni goniometriche in forma di somma e si ottengono a partire dalle formule di somma e sottrazione per il seno e coseno. Infatti, supponiamo ad esempio di voler scrivere \sin \alpha \cos \beta come somma di due funzioni goniometriche e osserviamo che tale termine compare nelle formule di addizione e sottrazione del seno:

\[ \sin(\alpha+\beta)= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha, \qquad \sin(\alpha-\beta)= \sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha. \]

Sommando membro a membro tali equazioni e cancellando i termini opposti si ottiene

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left (\sin (\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \right ). } \end{equation*}

Analogamente, dalla formula di sottrazione del coseno si ottengono le altre due formule di Werner:

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}\left ( \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) \right ); } \end{equation*}

(3) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left ( \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \right ). } \end{equation*}


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Applicando le formule di Werner, trasformare il seguente prodotto in una somma:

\[ \sin 2\alpha \cos 3\alpha. \]

Svolgimento.

Applicando (1) si ottiene

\[ \begin{aligned} \sin 2\alpha\:\cos 3\alpha &=\frac12\left[\sin(2\alpha+3\alpha)+\sin(2\alpha-3\alpha)\right]\\[4pt] &=\frac12\left[\sin 5\alpha+\sin(-\alpha)\right]\\[4pt] &=\frac12\left[\sin 5\alpha-\sin\alpha\right]. \end{aligned} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Applicando le formule di Werner, trasformare il seguente prodotto in una somma:

\[ \cos 7\alpha \cos 5\alpha. \]

Svolgimento.

Applicando (3) si ha

\[ \begin{aligned} \cos 7\alpha\:\cos 5\alpha &=\frac12\left[\cos(7\alpha+5\alpha)+\cos(7\alpha-5\alpha)\right]\\[4pt] &=\frac12\left[\cos 12\alpha+\cos 2\alpha\right]. \end{aligned} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Applicando le formule di Werner, trasformare il seguente prodotto in una somma:

\[ \sin 4\alpha \sin 5\alpha. \]

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