Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Angoli notevoli e associati: esercizi svolti

Angoli notevoli e angoli associati

Home » Angoli notevoli e associati: esercizi svolti

 
 

Sommario

Leggi...

Raccolta di esercizi di carattere misto sugli angoli notevoli e associati.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione:

\[\cos\left(\dfrac{21\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{15\pi}{6}\right)+ \tan\left(\dfrac{23\pi}{3}\right)+\sin\left(\dfrac{31\pi}{4}\right) +\cot\left(\dfrac{43\pi}{3}\right).\]

Svolgimento.

Procediamo con un termine alla volta:

• \begin{aligned}[t] \cos\left(\dfrac{21\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{20\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(5\pi+\dfrac{\pi}{4}\right) =\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \end{aligned}

• \begin{aligned}[t] \sin\left(\dfrac{15\pi}{6}\right)=\sin\left(\dfrac{12\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{6}\right)=\sin\left(2\pi+\dfrac{\pi}{2}\right) =\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1; \end{aligned}

• \begin{aligned}[t] \tan\left(\dfrac{23\pi}{3}\right)&=\dfrac{\sin\left(\dfrac{23\pi}{3}\right)}{\cos\left(\dfrac{23\pi}{3}\right)}=\dfrac{\sin\left(\dfrac{21\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\dfrac{21\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}\right)}=\\ &=\dfrac{\sin\left(7\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(7\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right)}=\dfrac{\sin\left(6\pi+\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(6\pi+\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right)} =\\ &=\dfrac{\sin\left(\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right)}{\cos\left(\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right)}= \dfrac{-\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)}{-\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)}= \dfrac{-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}=-\sqrt{3}; \end{aligned}

• \begin{aligned}[t] \sin\left(\dfrac{31\pi}{4}\right)&=\sin\left(\dfrac{28\pi}{4}+\dfrac{3\pi}{4}\right)= \sin\left(7\pi+\dfrac{3\pi}{4}\right)\\ &=\sin\left(6\pi+\pi+\dfrac{3\pi}{4}\right)= \sin\left(\pi+\dfrac{3\pi}{4}\right)=\\ &=-\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \end{aligned}

• \begin{aligned}[t] \cot\left(\dfrac{43\pi}{3}\right)&= \dfrac{\cos\left(\dfrac{43\pi}{3}\right)}{\sin\left(\dfrac{43\pi}{3}\right)}= \dfrac{\cos\left(\dfrac{42\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(\dfrac{42\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)}= \dfrac{\cos\left(14\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(14\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)}=\\ &=\dfrac{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)} =\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{aligned}

Sostituendo ogni termine nell’espressione otteniamo:

\[ \begin{aligned} &\cos\left(\dfrac{21\pi}{4}\right)+\sin\left(\dfrac{15\pi}{6}\right)+ \tan\left(\dfrac{23\pi}{3}\right)+\sin\left(\dfrac{31\pi}{4}\right) +\cot\left(\dfrac{43\pi}{3}\right)=\\ &=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1+(-\sqrt{3})+(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})+\frac{\sqrt{3}}{3}= 1-\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}. \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Dimostrare che

\[\sin(75^\circ)+\cos(165^\circ)=0.\]

Svolgimento.

Osserviamo che

\[\cos\left(165^\circ\right)=\cos\left(90^\circ+75^\circ\right)=-\sin\left(75^\circ\right),\]

da cui

\[\sin(75^\circ)+\cos(165^\circ)=\sin(75^\circ)-\sin\left(75^\circ\right)=0,\]

cioè la tesi.

Altrimenti si possono applicare le formule di bisezione nel seguente modo:

\[\begin{aligned} \sin(75^\circ)&=\sin\left(\dfrac{150^\circ}{2}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos(150^\circ)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{2}}=\\ &=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}= \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}= \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2} \end{aligned}\]

e

\[\begin{aligned} \cos(165^\circ)&=\cos\left(\dfrac{330^\circ}{2}\right)=-\sqrt{\dfrac{1+\cos(330^\circ)}{2}}=-\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}}=\\ &=-\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}}=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}, \end{aligned}\]

da cui

\[\sin(75^\circ)+\cos(165^\circ)=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=0,\]

cioè la tesi.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare il valore delle seguenti espressioni, ricorrendo alle
relazioni tra archi associati:

  1. \[\left(\tan\frac{2\pi}{3}-6\cot\frac{7\pi}{6}\right)\left(\sin\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6}\right)-12;\]

  2. \[\left[\sin\frac{3\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]:\left(\tan\frac{5\pi}{4}-\cot\frac{3\pi}{4}\right).\]

Svolgimento punto 1.

Si ha

\[\begin{aligned} &\left(\tan\frac{2\pi}{3}-6\cot\frac{7\pi}{6}\right)\left(\sin\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6}\right)-12=\\ &=\left[\tan\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)-6\cot\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)\right] \left[\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\cos\frac{\pi}{6}\right]-12=\\ &=\left(-\tan\frac{\pi}{3}-6\cot\frac{\pi}{6}\right)\left(\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{6}\right)-12=\\ &=\left(-\sqrt{3}-6\sqrt{3}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-12 = \\ &= -7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}-12= \\ &=-33. \end{aligned}\]

Svolgimento punto 1.

Si ha

\[\begin{aligned} &\left[\sin\frac{3\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]:\left(\tan\frac{5\pi}{4}-\cot\frac{3\pi}{4}\right)=\\ &=\left[\sin\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]: \left[\tan\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)-\cot\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\right]=\\ &=\left[\sin\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\right]:\left[\tan\frac{\pi}{4}+\cot\frac{\pi}{4}\right]= \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la somma delle cotangenti trigonometriche degli angoli interni di un dodecagono regolare.

Svolgimento.

Dividendo l’angolo giro 2\pi per 12 otteniamo l’angolo interno di uno dei triangoli che compongono il dodecagono (vedi figura 1). Dato che il triangolo è isoscele, allora i restanti due angoli interni al triangolo misurano entrambi \frac{1}{2}\left(\pi- \frac{\pi}{6}\right)=\frac{5}{12}\pi. Perciò uno degli angoli interni del dodecagono è 2\cdot \frac{5}{12}\pi=\frac{5}{6}\pi.

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: dodecagono regolare.

\[\quad\]

Quindi la somma delle cotagenti è

\[ 12\cdot \cot\left(\frac{5}{6}\pi\right)=-12\sqrt{3}, \]

e la risposta è dunque

\[\boxcolorato{superiori}{-12\sqrt{3}.}\]


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Senza utilizzare la calcolatrice, stabilire quale dei seguenti numeri è il maggiore. Tutti gli angoli sono espressi in radianti.

\[ \tan\left(\dfrac{5\pi}{4}\right), \quad \sin^2\left(\dfrac{5\pi}{4}\right), \quad \log_{10}\left(\dfrac{5\pi}{4}\right), \quad \log_2\left(\dfrac{5\pi}{4}\right). \]

Svolgimento.

Dalla trigonometria elementare, tenendo presente che il periodo delle funzioni y = \tan(x) e y = \sin^2(x) è pari a \pi, si ha:

\[\begin{aligned} \tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = {} & \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1; \\ \sin^2\left(\frac{5\pi}{4}\right) = {} & \sin^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}. \end{aligned}\]

Passiamo a considerare la terza e la quarta alternativa. Ricordiamo che ogni logaritmo con base a > 1 è una funzione crescente del proprio argomento (nel nostro caso, a = 2 oppure a = 10). Inoltre, \log_a(a) = 1. Dato che 3 < \pi < 4, possiamo quindi derivare le seguenti implicazioni:

\[\begin{aligned} \frac{5\pi}{4} < \frac{5\cdot4}{4} < 10 \implies {} & \log_{10}\left(\frac{5\pi}{4}\right) < 1; \\ \frac{5\pi}{4} > \frac{5\cdot3}{4} > 2 \implies {} & \log_2\left(\frac{5\pi}{4}\right) > 1. \end{aligned}\]

Mettendo insieme tutta l’informazione raccolta, si vede che \log_2(5\pi/4) è l’unico numero > 1, ed è quindi il più grande. In conclusione, la risposta è

\[\boxcolorato{superiori}{\log_2\left (\frac{5\pi}{4}\right ).}\]


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\bigstar). Qual è il valore massimo assunto dall’espressione

\[f(x) = \left[3\sin^2(10x+11)-7\right]^2\]

al variare di x \in \mathbb{R}?

Svolgimento.

Per ogni \alpha \in \mathbb{R}, si ha 0 \leq \sin^2(\alpha) \leq 1, e quindi 0 \leq 3\sin^2(\alpha) \leq 3 e infine -7 \leq 3\sin^2(\alpha)-7 \leq -4. Elevando al quadrato, e tenendo conto dei segni, si ha allora 16 \leq [\sin^2(\alpha)-7]^2 \leq 49.

Il massimo della funzione f è quindi 49, che viene raggiunto per quei valori di x tali che \sin(10x+11) = 0. La risposta è dunque

\[\boxcolorato{superiori}{49.}\]


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione:

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)\cot(\alpha-5\pi).\]

Svolgimento.

Applicando gli archi associati si ha:

\[\quad\]

  • \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos(\alpha);

    •  

  • \cos(3\pi+\alpha)=\cos(2\pi+(\pi+\alpha))= \cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha);

    •  

  • \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha);

    •  

  • \dfrac{\cos(\alpha-5\pi)}{\sin(\alpha-5\pi)}=\dfrac{-\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)}=\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} oppure usando il fatto che la cotangente è periodica di periodo \pi.

Sostituendo tutti i termini nell’espressione iniziale otteniamo

\[ \begin{aligned} \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)+\cos(3\pi+\alpha)+\sin(-\alpha)\cot(\alpha-5\pi)= &= -\cos(\alpha)+(-\cos(\alpha))+(-\sin(\alpha))\cdot\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=\\ &= -\cos(\alpha)-\cos(\alpha)-\cos(\alpha)= \\ &= -3\cos(\alpha). \end{aligned} \]


 
 

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Semplificare la seguente espressione:

\[\dfrac{\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(-\alpha)+\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)\sin\left(\dfrac{11\pi}{2}+\alpha\right)+\cos(3\pi+\alpha)} {-\tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)\cot\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}\right)-\sin(\alpha+\pi)+\sin(7\pi-\alpha)}.\]

Svolgimento.

Applicando gli archi associati per i vari termini del numeratore si ha:

\[\quad\]

  • \sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)= \sin\left(-\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\right)= -\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos(\alpha);

    •  

  • \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha);

    •  

  • \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)= -\sin(\alpha);

    •  

  • \begin{aligned}[t]\sin\left(\dfrac{11\pi}{2}+\alpha\right)&= \sin\left(\dfrac{8\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)= \sin\left(4\pi+\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\\ &=\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+\alpha\right) =-\cos(\alpha); \end{aligned}

    •  

  • \cos(3\pi+\alpha)=\cos(2\pi+\pi+\alpha)= \cos(\pi+\alpha)=-\cos(\alpha).

Per il denominatore:

\[\quad\]

  • \tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)}=\dfrac{\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)}=-\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)};

    •  

  • \begin{aligned}[t] \cot\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}\right)&=\dfrac{\cos\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}\right)}{\sin\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}\right)}=\dfrac{\cos\left(-\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)\right)}{\sin\left(-\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)\right)}=\\ &=\dfrac{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{-\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)}=\dfrac{-\sin(\alpha)}{-(-\cos(\alpha))}=-\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}; \end{aligned}

    •  

  • \sin(\alpha+\pi)=-\sin(\alpha);

    •  

  • \sin(7\pi-\alpha)=\sin(6\pi+\pi-\alpha)= \sin(\pi-\alpha)=\sin(\alpha).

Adesso possiamo sostituire tutti i termini nell’espressione iniziale ottenendo:

\[\begin{aligned} &\dfrac{\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(-\alpha)+\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-\alpha\right)\sin\left(\dfrac{11\pi}{2}+\alpha\right)+\cos(3\pi+\alpha)} {-\tan\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)\cot\left(\alpha-\dfrac{3\pi}{2}\right)-\sin(\alpha+\pi)+\sin(7\pi-\alpha)}= \\[5pt] & =\dfrac{-\cos(\alpha)(-\sin(\alpha))-\sin(\alpha)\cdot(-\cos(\alpha))-\cos(\alpha)} {-\left(-\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\right)\cdot\left(-\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\right)-(-\sin(\alpha))+\sin(\alpha)}= \\[5pt] &=\dfrac{\cos(\alpha)\sin(\alpha)+\sin(\alpha)\cos(\alpha)-\cos(\alpha)} {-1+\sin(\alpha)+\sin(\alpha)}= \\[5pt] &=\dfrac{\cos(\alpha)(\sin(\alpha)+\sin(\alpha)-1)} {2\sin(\alpha)-1}= \\[5pt] &= \dfrac{\cos(\alpha)(2\sin(\alpha)-1)} {2\sin(\alpha)-1}= \\[5pt] &=\cos(\alpha). \end{aligned}\]


[/pms-restrict]