Proprietà dei logaritmi: la guida essenziale

Da cosa derivano le proprietà dei logaritmi?

Il logaritmo è l’operazione inversa dell’esponenziale. Infatti, mentre calcolare un’esponenziale significa appunto stabilire il valore di una potenza

calcolare il logaritmo in base di un numero significa determinare l’esponente da dare al numero affinché il risultato sia pari a , ovvero

Il numero reale da posizionare al posto del punto interrogativo affinché valga l’uguaglianza si chiama proprio logaritmo in base del numero reale e si indica con . In altre parole, il logaritmo è proprio definito come il numero che soddisfa l’uguaglianza

(1)

La base è detta appunto base del logaritmo, mentre il numero è detto argomento del logaritmo.

Essendo esponenti da dare a una certa base per ottenere determinati risultati, i logaritmi possiedono delle speciali proprietà ereditate dalle proprietà delle potenze in cui la base e l’esponente sono dei numeri reali.

In questo articolo esaminiamo le proprietà dei logaritmi e ne forniamo una spiegazione discendente proprio dalle note proprietà delle potenze.

Sommario

Autori e revisori

Proprietà dei logaritmi: base e argomento

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La potenza con esponente reale è definita quando la base è strettamente positiva, per evitare problemi dovuti ad esempio all’estrazione di radici quadrate di numeri negativi. Dato che la base del logaritmo è appunto la base di una potenza a esponente reale, occorre richiedere che essa sia strettamente positiva.

Un’altra limitazione sulla base è che essa deve essere diversa da . Osserviamo infatti che per ogni valore reale di . Se la base del logaritmo fosse uguale a , l’equazione (1) non sarebbe verificata da alcun esponente se , mentre ve ne sarebbero infiniti se invece .

Riassumendo, la base del logaritmo deve essere positiva e diversa da , ovvero deve verificare

Poiché e qualsiasi potenza di una base positiva è positiva, l’equazione (1) può essere soddisfatta solo se . Riassumendo, anche l’argomento del logaritmo deve essere sempre positivo:

Proprietà dei logaritmi: operazioni