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Equazioni differenziali: un’introduzione

Teoria equazioni differenziali ordinarie

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Le equazioni differenziali esprimono delle relazioni tra una o più funzioni e le loro derivate. Tali equazioni nascono nel tentativo di descrivere fenomeni naturali, economici o di natura tecnica, in cui i valori di alcune quantità sono legati al loro tasso di variazione. Per tale ragione, è facile intuire come le equazioni differenziali siano onnipresenti in qualsiasi ambito in cui si vuole descrivere matematicamente l’evoluzione temporale o spaziale di un processo. In questa breve introduzione spieghiamo cosa sono le equazioni differenziali, la loro classificazione e forniamo una lista di materiale teorico e pratico per approfondire.

 

Sommario

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Articolo introduttivo sulle equazioni differenziali, ovvero delle equazioni in cui l’incognita non è un numero reale, ma una funzione, di cui vengono fornite alcune relazioni soddisfatte da essa e dalle sue derivate. Dopo una presentazione del tema e una descrizione generale, riportiamo le principali pagine del sito in cui reperire materiale teorico e pratico a esso inerente.

 

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi,Valerio Brunetti.

 

Introduzione

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Le equazioni differenziali sono probabilmente il più importante strumento matematico volto a comprendere l’universo che ci circonda. A differenza delle equazioni numeriche a cui si è abituati fin dalla scuola secondaria, in tali equazioni le incognite non sono numeri, ma delle funzioni, legate tra esse e le proprie derivate appunto da uguaglianze derivanti dalla situazione che tale equazione descrive. Una funzione che soddisfa la relazione è detta appunto una soluzione dell’equazione.

Un esempio è l’equazione del moto armonico: un punto materiale è vincolato a muoversi su una guida rettilinea e a esso viene associata una coordinata x(t) dipendente appunto dal tempo; se il punto è soggetto a una forza F(x)=-kx con k>0, ovvero proporzionale all’opposto della coordinata x, dalla seconda legge di Newton la funzione x \colon t \in \mathbb{R} \mapsto x(t) \in \mathbb{R} soddisfa l’equazione

(1) \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}(t)= -kx(t) \qquad \forall t \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Questa è appunto un’equazione differenziale con incognita la funzione x(t), in quanto esprime che la sua derivata seconda è esattamente pari al prodotto della funzione stessa per la costante -k.

Le equazioni differenziali sono estremamente diffuse in tutte le scienze fisiche e ingegneristiche: il motivo principale è che, in natura e nelle applicazioni, la variazione di una certa quantità è spesso legata al valore di tale quantità. Ciò si traduce in una uguaglianza che lega una funzione con le sue derivate.

Le equazioni differenziali sono per tale fondamentale ragione alla base della descrizione matematica di innumerevoli fenomeni fisici, oltre che di natura ingegneristica, economica, biologica, sociale, etc…

 

Classificazione delle equazioni differenziali

Le equazioni possono essere classificate in base al numero di funzioni incognite, dal tipo di funzioni coinvolte, oppure in base agli ordini di derivate che compaiono nelle equazioni o al tipo di relazione che lega una funzione all’altra.

Equazioni differenziali e sistemi di equazioni differenziali

La prima classificazione possibile è quella tra equazioni differenziali e sistemi di equazioni differenziali. Così come accade per le equazioni numeriche classiche, mentre per equazione differenziale si intende una singola uguaglianza in cui compare solitamente una singola funzione a valori scalari, per sistema di equazioni differenziali si intende un insieme di più uguaglianze, coinvolgenti tipicamente più funzioni incognite, che devono essere soddisfatte contemporaneamente. In breve:

\[ \begin{aligned} \text{equazione differenziale} &\iff \text{singola equazione e 1 funzione incognita;} \\[5pt] \text{sistema di equazioni differenziali} &\iff \text{più equazioni e più funzioni incognite.} \end{aligned} \]

Ad esempio, l’equazione (1) è un’equazione semplice nell’incognita x. Mentre

(2) \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}(t)=y(t) \\ \dot{y}(t)=-x(t) \end{cases} \end{equation*}

è un sistema di equazioni differenziali nelle incognite x(t) e y(t) e descrive le due coordinate della traiettoria nel tempo di un punto nel piano.

Come si può facilmente intuire, le equazioni differenziali singole sono in generale più semplici da risolvere rispetto ai sistemi di equazioni differenziali, in quanto questi ultimi richiedono spesso di risolvere tutte le equazioni in esso contenuti.

Equazioni differenziali ordinarie ed equazioni alle derivate parziali

Una distinzione molto importante riguarda il numero di variabili per la funzione incognita:

  • Se tutte le funzioni incognite sono funzioni di una sola variabile reale, allora l’equazione o il sistema sono detti ordinari.
  • Se invece una delle funzioni incognite è una funzione di più variabili, e se l’equazione lega tra loro le derivate parziali di questa funzione, l’equazione è detta alle derivate parziali.

Ad esempio l’equazione (1) è un’equazione differenziale ordinaria, in quanto la funzione incognita dipende dalla sola variabile t, ovvero dal tempo. Mentre l’equazione del calore

(3) \begin{equation*} u_t(x,t)= c \cdot u_{xx}(x,t) \end{equation*}

è un’equazione differenziale alle derivate parziali, in quanto la funzione u incognita dipende dalle due variabili x e t, che rappresentano la posizione e il tempo. Per inciso, la funzione u descrive la temperatura di una sbarretta rettilinea omogenea in funzione della posizione e del tempo e l’equazione (3) afferma che la derivata prima rispetto al tempo della temperatura è proporzionale alla derivata seconda della temperatura rispetto alla coordinata spaziale x.

Come è facile intuire, le equazioni differenziali ordinarie sono generalmente più semplici da trattare rispetto a quelle alle derivate parziali, nonostante queste ultime siano spesso essenziali per la descrizione dei fenomeni a cui si è interessati.

Equazioni differenziali lineari e non-lineari

L’ultimo tipo di classificazione a cui vogliamo riferirci in questa breve presentazione riguarda la linearità. Un’equazione differenziale si dice lineare se, date due soluzioni dell’equazione, anche una loro combinazione lineare è ancora soluzione dell’equazione. Ad esempio, sia l’equazione (1) del moto armonico che l’equazione (3) del calore sono lineari. Infatti, se x_1(t) e x_2(t) sono due funzioni che soddisfano (?? e \alpha,\beta sono numeri reali, allora la combinazione lineare \alpha x_1(t)+\beta x_2(t) risolve ancora (1):

\[ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^2 (\alpha x_1+\beta x_2)}{\mathrm{d}t^2}(t) &= \alpha\frac{\mathrm{d}^2 (x_1}{\mathrm{d}t^2}(t) + \beta \frac{\mathrm{d}^2 ( x_2)}{\mathrm{d}t^2}(t) \\ &= \alpha \cdot \big(-k x_1(t)\big) + \beta \cdot \big(-k x_2(t)\big) \\ &= -k\big(\alpha x_1(t)+ \beta x_2(t) \big). \end{aligned} \]

Invece, ad esempio l’equazione differenziale (ordinaria del secondo ordine) che descrive il moto del pendolo

\[ \ddot{\theta}(t) = -c \cdot \sin(\theta(t)) \]

con c costante positiva, non è lineare, come si verifica facilmente in quanto il seno non è una funzione lineare, cioè \sin(a+b) \neq \sin a + \sin b.

È facile intuire che le equazioni lineari sono in generale molto più semplici di quelle non-lineari e purtroppo molti fenomeni interessanti sono descritti da equazioni non-lineari che risultano di difficile trattazione.

 

Materiale sulle equazioni differenziali

Concludiamo questa breve introduzione proponendo una lista di risorse su questo importantissimo tema dell’Analisi Matematica.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.