Dominio, periodicità e grafici di funzioni goniometriche: esercizi svolti

Funzioni goniometriche: proprietà di base

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Sommario

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Raccolta di esercizi di carattere misto su dominio, periodicità e grafici di funzioni goniometriche.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Stabilire per quali $a,b \in \mathbb{R}$ è definita la seguente espressione:

(1) $\begin{equation*} \frac{\displaystyle\cos(-\pi)+\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)-a}{(a+b)\sin\pi+a}+ \frac{\displaystyle\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+b\cos\pi}{\displaystyle a-a\sin\frac{\pi}{2}+b\cos 0}+2. \end{equation*}$

Svolgimento.

Semplifichiamo (1), ottenendo

$\begin{aligned} &\frac{\displaystyle\cos(-\pi)+\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)-a}{(a+b)\sin\pi+a}+ \frac{\displaystyle\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+b\cos\pi}{\displaystyle a-a\sin\frac{\pi}{2}+b\cos 0}+2=\\ &=\frac{-1+0-a}{(a+b)0+a}+\frac{-1+b(-1)}{a-a(1)+b(1)}+2=\\ &=\frac{-1-a}{a}+\frac{-1-b}{b}+2=\\ &=-\frac{a+b}{ab}. \end{aligned}$

Notiamo che (1) è definita per $a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Sia $x$ un numero reale tale che $\frac{5}{6}\leq x\leq \frac{7}{3}$ . Allora

$\quad$

$\sin(x)< \cos^2(x) <\vert \cos(x)\vert$ ;

$\cos^2(x)< \sin(x)< \vert \cos(x)\vert$ ;

$\vert \cos(x)\vert<\cos^2(x) <\sin(x)$ ;

$\cos^2(x)\leq \vert \cos(x)\vert <\sin(x)$ ;

$\vert \cos(x)\vert<\sin(x)<\cos^2(x)$ .

Svolgimento.

Dato che $\vert \cos(x)\vert$ è minore di $1$ , allora il suo quadrato $\cos^2(x)$ è minore o uguale di $\vert \cos(x)\vert$ .

Inoltre osserviamo che $\frac{5}{6}> \frac{\pi}{4}$ e $\frac{7}{3}< \frac{3}{4}\pi$ , perciò $\frac{\pi}{4}< x< \frac{3}{4}\pi$ .

In questo intervallo $\sin(x)$ ha misura positiva e osservando la Figura 1 si nota che la lunghezza $\vert \cos(x)\vert$ della proiezione sull’asse $x$ è sempre minore di quella sull’asse $y$ , che è $\vert \sin(x)\vert =\sin(x)$ . Quindi $\vert \cos(x)\vert< \sin(x)$ e la risposta corretta è la