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Disequazioni logaritmiche con variabile ausiliaria: esercizi svolti

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Logaritmi

Home » Disequazioni logaritmiche con variabile ausiliaria: esercizi svolti

 
 

Sommario

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Raccolta di esercizi sulle disequazioni logaritmiche risolte mediante l’utilizzo di una variabile ausiliaria.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Notazioni

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\log x    Logaritmo naturale (in base e=2,71\dots) del numero reale x.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la disequazione

\[\log_2^2 x + 4\log_2 x-5 \ge0.\]

Svolgimento.

Per prima cosa bisogna determinare la condizione di esistenza:

\[C.E.=\{x \in \mathbb{R}\vert:\, x>0\}.\]

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

\[t = \log_2 x\]

ottenendo

\[t^2 + 4t-5 \ge0.\]

Poniamo

\[t^2 + 4t-5 = 0 \iff t = -2\pm \sqrt{9},\]

da cui

\[t=1 \; \vee \; t=-5\]

e quindi

\[t\le-5 \; \vee \; t\ge 1.\]

Ora andiamo a sostituire t=\log_2x ottenendo

\[\log_2x\le-5 \; \vee \; \log_2x\ge 1,\]

da cui

\[x \le \dfrac{1}{32} \; \vee \; x \ge 2.\]

Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

\[\begin{cases} x>0\\\\ x \le \dfrac{1}{32} \; \vee \; x \ge 2, \end{cases}\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{S = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq \dfrac{1}{32} \; \vee \; x \geq 2 \right\}. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la disequazione

\[\log_2 x^2 + \dfrac{1}{\log_2 x} \le 3.\]

Svolgimento.

Per prima cosa bisogna determinare la condizione di esistenza:

\[\begin{cases} x^2>0\\ x>0\\ \log_2 x \neq 0 \end{cases}\]

ottenendo

\[C.E. = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid 0< x <1 \,\,\vee \,\,x>1 \right\}.\]

Innanzitutto con le proprietà dei logaritmi otteniamo

\[\log_2 x^2 = 2 \log_2 \vert x \vert = 2 \log_2 x\]

dove nell’ultima uguaglianza abbiamo utilizzato la condizione di esistenza x>0 da cui |x|=x. Dunque

\[\log_2 x^2 + \dfrac{1}{\log_2 x} \le 3 \quad \Rightarrow \quad 2\log_2 x + \dfrac{1}{\log_2 x} \le 3.\]

Utilizziamo la variabile (o incognita) ausiliaria

\[t = \log_2 x\]

ottenendo

\[2t + \dfrac{1}{t} - 3 \le 0 \iff \dfrac{2t^2-3t+1}{t}\le0,\]

da cui

\[\begin{aligned} &N(t) = 2t^2-3t+1\ge0 \iff t\le \dfrac{1}{2} \; \vee \; t \ge 1\\ &D(t) = t >0 \end{aligned}\]

e con la regola dei segni

\[\quad\]

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

\[\quad\]

abbiamo

\[t<0 \; \vee \; \dfrac{1}{2} \le x \le 1.\]

Ora andiamo a sostituire t=\log_2x ottenendo

\[\log_2x<0 \; \vee \; \dfrac{1}{2} \le \log_2x \le 1,\]

da cui

\[x<1 \; \vee \; \sqrt{2} \le x \le 2.\]

Mettiamo a sistema la C.E. e la soluzione trovata

\[\begin{cases} x>0\\\\ x<1 \; \vee \; \sqrt{2} \le x \le 2, \end{cases}\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{ S = \left\{ x \in \mathbb{R} \mid 0 < x < 1 \; \vee \; \sqrt{2} \leq x \leq 2 \right\}. }\]


 
 

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