Equazioni logaritmiche con variabile ausiliaria

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Logaritmi

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Raccolta di esercizi sulle equazioni logaritmiche risolte mediante l’utilizzo di una variabile ausiliaria.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Notazioni

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$\log x$ , $\ln x$

Logaritmo naturale (in base $e=2,71\dots$ ) del numero reale $x$ .

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$\log_2 x - \log_2 e = 2.$

Svolgimento.

Il dominio dell’equazione risulta:

$\mathcal{D} = \{x \in \mathbb{R}: x > 0 \land x \neq 1\}.$

Effettuando il cambio di base sul secondo termine del primo membro e passando al logaritmo in base $2$ si ha:

$\log_2 x - \frac{\log_2 e}{\log_2 x} = 2.$

Ponendo $\log_2 x = t$ si ottiene

$\begin{aligned} t^2 - 2t - \log_2 e = 0 \iff t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4\log_2 e}}{2} = 1 \pm \sqrt{\log_2 (2e)}. \end{aligned}$

Pertanto:

$x_{1,2} = 2^{1 \pm \sqrt{\log_2 (2e)}}.$

Entrambe le soluzioni ricadono nel dominio dell’equazione, infatti:

$x_2 = 2^{1 + \sqrt{\log_2 (2e)}} > 2; \quad 0 < x_1 = 2^{1 - \sqrt{\log_2 (2e)}} = \frac{1}{2^{\sqrt{\log_2 (2e)} - 1}} < 1.$

Ne segue che le soluzioni sono

$\boxcolorato{superiori}{ x_{1,2} = 2^{1 \pm \sqrt{\log_2 (2e)}}. }$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere l’equazione

$(\log_3 x)^2 - \log_3 x = 1 .$

Svolgimento.

Poniamo $y = \log_3 x$ , così che l’equazione diventi:

$y^2 - y - 1 = 0.$

Risolvendo l’equazione di secondo grado:

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \implies y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.$

Ora, poiché $y = \log_3 x$ , otteniamo:

$\log_3(x)=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \implies x=3^{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}}.$

Pertanto, l’equazione ha le due soluzioni reali

$\boxcolorato{superiori}{x=3^{\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}}.}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{3}{\log_{2}x-1}\;+\;\frac{2}{\log_{2}x+1}=2,$

Svolgimento.

Consideriamo l’equazione

$\frac{3}{\log_{2}x-1}\;+\;\frac{2}{\log_{2}x+1}=2.$

Perché l’espressione sia definita devono verificarsi contemporaneamente:

$\begin{cases} x>0 \\ \log_2 x - 1 \neq 0 \\ \log_2 x +1 \neq 0 \end{cases} \iff x \in (0,\tfrac12)\,\cup\,(\tfrac12,2)\,\cup\,(2,\infty).$

Ponendo $t=\log_{2}x$ l’equazione diventa

$\frac{3}{t-1}+\frac{2}{t+1}=2,$

che, moltiplicata per $(t-1)(t+1)$ , conduce al quadratico $2t^{2}-5t-3=0$ e fornisce $t=3$ oppure $t=-\tfrac12$ . Invertendo la sostituzione si ottengono le condizioni

$\log_2 x = 3 \; \vee \; \log_2 x =-\frac{1}{2} \iff x=2^{3}=8,\; \vee \; x=2^{-1/2}=\tfrac{\sqrt2}{2}.$

Entrambi i valori appartengono al dominio, dunque le soluzioni sono

$\boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{\frac{\sqrt2}{2},\;8\Bigr\}.}$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{3}{\log x} + \frac{\log x}{\log x + 1} = 2 + \frac{1}{\log x}.$

Svolgimento.

L’equazione

$\frac{3}{\log x}+\frac{\log x}{\log x+1}=2+\frac{1}{\log x},$

è definita solo per $x>0$ con l’esclusione dei punti in cui compaiono zeri al denominatore, cioè sotto le condizioni

$\begin{cases} x>0 \\ \log x \neq 0 \\ \log x + 1 \neq 0 \end{cases} \iff x \in (0,e^{-1}) \cup (e^{-1},1) \cup (1,+\infty).$

Per semplificare si pone $t=\log x$ , trasformando l’equazione in

$\frac{3}{t}+\frac{t}{t+1}=2+\frac{1}{t}, \quad t\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}.$

Portando tutto a primo membro rimane

$\frac{2}{t}+\frac{t}{t+1}-2=0 \qquad\Longrightarrow\qquad 2(t+1)+t^{2}-2t(t+1)=0$

dopo aver moltiplicato per $t(t+1)$ per eliminare i denominatori. Riducendo i termini si ottiene l’espressione $2-t^{2}=0$ , ossia

$t^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad t=\pm\sqrt{2}.$

Entrambi i valori sono ammessi, poiché non coincidono né con $-1$ né con $0$ . Tornando alla variabile originaria si ricava

$x=e^{t}=e^{\sqrt{2}}\quad\text{oppure}\quad x=e^{-\sqrt{2}}.$

Insieme delle soluzioni reali:

$\boxcolorato{superiori}{ S=\bigl\{\,e^{\sqrt{2}},\;e^{-\sqrt{2}}\,\bigr\}.}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{3}{\log_2 x (1 + \log_2 x)} = 2 - \frac{3}{\log_2 x}.$

Svolgimento.

Devono essere positivi gli argomenti dei logaritmi e diversi da zero i denominatori:

$\begin{cases} x>0 \\ \log_2 x \neq 0 \\ 1+\log_2 x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x>0 \\ x \neq 1 \\ x \neq \frac{1}{2} \end{cases} \iff x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right ) \cup \left (\frac{1}{2},1\right ) \cup (1,+\infty).$

Poniamo $t=\log_{2}x$ ; con $t\neq0,-1$ l’equazione diventa

$\frac{3}{t(1+t)}=2-\frac{3}{t}.$

Moltiplicando ambo i membri per $t(1+t)$ otteniamo

$3=\left (2-\frac{3}{t}\right )\,t(1+t)=(2t-3)(1+t)=2t^{2}-t-3,$

da cui

$2t^{2}-t-6=0.$

Il discriminante è $1+48=49$ e fornisce

$t=\frac{1\pm7}{4}\quad\Longrightarrow\quad t_{1}=2,\qquad t_{2}=-\frac32,$

entrambi ammessi perché diversi da $0$ e da $-1$ .

$x=2^{t}\;\Longrightarrow\; \begin{cases} t=2 &\Rightarrow\; x=2^{2}=4,\\[4pt] t=-\dfrac32 &\Rightarrow\; x=2^{-3/2}=\dfrac1{2\sqrt2}. \end{cases}$

Entrambi i valori appartengono al dominio $D$ ; dunque l’insieme delle soluzioni reali è

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\Bigl\{\dfrac1{2\sqrt2},\,4\Bigr\}\,.}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\sqrt{\bigl(\log_{2}x\bigr)^{2}+\log_{2}x-2}= \log_{\frac12}x-2.$

Svolgimento.

Poniamo $t=\log_{2}x$ ; l’equazione diventa

$\sqrt{(t+2)(t-1)}=-\,t-2.$

I logaritmi impongono $x>0$ , quindi $t\in\mathbb{R}$ . Il radicando richiede $(t+2)(t-1)\ge0$ , ossia $t\le-2$ oppure $t\ge1$ ; inoltre la radice quadrata è non-negativa, perciò anche $-t-2$ dev’essere non negativo, il che restringe a $t\le-2$ . Nell’intervallo ammesso entrambe le parti sono non-negative e si può elevare al quadrato:

$(t+2)(t-1)=(-t-2)^{2}\;\Longrightarrow\;t^{2}+t-2=t^{2}+4t+4\;\Longrightarrow\;t-2=4t+4\;\Longrightarrow\;-6=3t,$

da cui $t=-2$ . Questo valore appartiene all’intervallo consentito, quindi è valido; tornando alla variabile originale si ottiene $x=2^{t}=2^{-2}=1/4$ . L’equazione ammette dunque la sola soluzione

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left\{\frac14\right\}.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$3\log^2 x - 2\log x = 0.$

Svolgimento.

L’equazione

$3(\log x)^{2}-2\log x=0$

è definita per $x>0$ . Ponendo $t=\log x$ si ottiene

$3t^{2}-2t=0\quad\Longrightarrow\quad t(3t-2)=0,$

da cui $t=0$ oppure $t=\tfrac23$ . Tornando alla variabile originaria si ha

$x=10^{0}=1,\qquad x=10^{\,2/3}.$

L’insieme delle soluzioni reali è quindi

$\boxcolorato{superiori}{ S=\bigl\{\,1,\;10^{2/3}\bigr\}.}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{2}x^{2}+(\log_{1/2}x)^{2}=0 .$

Svolgimento.

Pongo $t=\log_{2}x$ , con $x>0$ ; risulta $\log_{2}x^{2}=2t$ , mentre $\log_{1/2}x=\dfrac{\log x}{\log\!\bigl(\tfrac12\bigr)}=-\dfrac{\log x}{\log2}=-t$ , quindi $(\log_{1/2}x)^{2}=t^{2}$ . L’equazione diventa allora

$2t+t^{2}=0\;\Longrightarrow\;t(t+2)=0\;\Longrightarrow\;t=0\;\text{oppure}\;t=-2.$

Tornando alla variabile iniziale otteniamo $x=2^{\,0}=1$ e $x=2^{-2}=1/4$ , che soddisfano il requisito $x>0$ . L’insieme delle soluzioni reali è dunque

$\boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{\frac14,\;1\Bigr\}.}$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{\,\tfrac12}x^{2}+4\log_{2}\sqrt{x}-2=0.$

Svolgimento.

Per i logaritmi occorre soltanto $x>0$ . Pongo $t=\log_{2}x$ , così che $x=2^{t}$ .

Il primo termine diventa

$\log_{\,\tfrac12}x^{2}=\frac{\log_{2}x^{2}}{\log_{2}(\tfrac12)} =\frac{2t}{-1}=-2t,$

mentre il secondo è

$4\log_{2}\sqrt{x}=4\cdot\frac{t}{2}=2t.$

Sostituendo nell’equazione si ottiene

$(-2t)+2t-2=0\;\Longrightarrow\;-2=0,$

un’uguaglianza impossibile.

Poiché nessun valore di $t$ (e dunque di $x>0$ ) può soddisfarla, l’equazione non ammette soluzioni reali:

$\boxcolorato{superiori}{ S=\emptyset.}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{3}\sqrt{x}\,(\log_{3}x+1)-2\log_{3}x=2.$

Svolgimento.

La condizione di esistenza per l’equazione è $x>0$ perché compaiono dei logaritmi. Poniamo $t=\log_{3}x$ ; allora $\log_{3}\sqrt{x}=\log_{3}x^{1/2}=\tfrac12\,\log_{3}x=\tfrac{t}{2}$ . L’equazione diventa

$\frac{t}{2}\,(t+1)-2t=2.$

Il prodotto $\tfrac{t}{2}(t+1)$ vale $\tfrac{t^{2}+t}{2}$ ; sostituendo e moltiplicando per $2$ si ottiene

$t^{2}+t-4t=4\;\Longrightarrow\;t^{2}-3t-4=0.$

Il trinomio si annulla per

$t=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2},$

ossia $t=4$ oppure $t=-1$ . Tornando alla variabile originale,

$x=3^{\,t}=3^{4}=81,\qquad x=3^{-1}=\tfrac13,$

entrambi ammessi perché positivi. L’insieme delle soluzioni reali è quindi

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left\{\tfrac13,\;81\right\}.}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log^2x^2+\log(-x)=0.,$

Svolgimento.

La presenza di $\log(-x)$ impone $x<0$ , mentre per $\log x^2$ occorre $x \neq 0$ ; ne segue che la condizione di esistenza è

$x<0.$

In tale intervallo poniamo

$y=\log(-x)\quad\Longrightarrow\quad \log(x^{2})=\log\bigl[(-x)^{2}\bigr]=\log\bigl(( -x)^{2}\bigr)=\log\bigl((-x)^{2}\bigr)=2\log(-x)=2y .$

Sostituendo nell’equazione si ottiene

$(2y)^{2}+y=0 \;\Longrightarrow\;4y^{2}+y=0\;\Longrightarrow\;y\,(4y+1)=0.$

I valori possibili sono $y=0$ oppure $y=-\tfrac14$ .

* Se $y=0$ allora $\log(-x)=0$ e quindi $-x=1$ , da cui $x=-1$ .

* Se $y=-\tfrac14$ allora $\log(-x)=-\tfrac14$ e quindi $-x=e^{-1/4}$ , cioè $x=-e^{-1/4}$ .

Entrambi i valori ottenuti sono negativi e dunque ammessi. L’insieme delle soluzioni reali è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\left\{-1,\;-\mathrm e^{-1/4}\right\}.}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\sqrt{10 + \log_3 x^2} = 5 - \sqrt{10 + 3\log_{\frac{1}{3}} x}.$

Svolgimento.

Si ponga

$y=\log_{3}x\qquad(x>0),$

così l’equazione

$\sqrt{\,10+\log_{3}x^{2}\,}=5-\sqrt{\,10+3\log_{1/3}x\,}$

diventa

$\sqrt{\,10+2y\,}=5-\sqrt{\,10-3y\,},$

perché $\log_{3}x^{2}=2y$ e $\log_{1/3}x=-y$ .

Il dominio richiede $10+2y\ge0$ e $10-3y\ge0$ , cioè $-5\le y\le\frac{10}{3}$ ; inoltre il secondo radicando deve soddisfare $\sqrt{10-3y}\le5$ , condizione che coincide con $y\ge-5$ . Quindi $-5\le y\le\frac{10}{3}$ .

Portando la radice a sinistra si ha

$\sqrt{\,10+2y\,}+\sqrt{\,10-3y\,}=5.$

Dopo aver elevato due volte al quadrato si ottiene

$y^{2}+2y-15=0\;\Longrightarrow\;(y+5)(y-3)=0,$

quindi $y=-5$ oppure $y=3$ , entrambi interni all’intervallo ammesso.

Invertendo la sostituzione, $x=3^{y}$ , si trovano

$x=3^{-5}=\frac{1}{243},\qquad x=3^{3}=27.$

L’insieme delle soluzioni reali è pertanto

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{\dfrac{1}{243},\,27\right\}\,.}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log^{3}x+2\log^{2}x-3\log x=0.$

Svolgimento.

Essendo il logaritmo definito soltanto per argomenti positivi, si stabilisce il dominio

$D=\{x\in\mathbb R:\,x>0\}.$

Per ricondurre l’espressione a una forma polinomiale si pone $t=\log x$ , ottenendo

$t^{3}+2t^{2}-3t=0,$

che si fattorizza immediatamente in

$t\,(t+3)\,(t-1)=0.$

Ne conseguono le tre radici

$t_{1}=0,\qquad t_{2}=1,\qquad t_{3}=-3.$

Ritornando alla variabile originaria si ricavano

$\log x=0\Longrightarrow x=10^{0}=1,\qquad \log x=1\Longrightarrow x=10^{1}=10,\qquad \log x=-3\Longrightarrow x=10^{-3}.$

Tutti i valori ottenuti rispettano la condizione $x>0$ ; l’insieme delle soluzioni è quindi

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\{10^{-3},\,1,\,10\}.}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{3}^{2}(x-1) \;-\; 2\log_{3}(x-1) \;=\; 3$

Svolgimento.

Si impone innanzitutto $x-1>0$ , così da individuare il dominio

$D=\{\,x\in\mathbb R\mid x>1\,\}.$

Si ponga $y=\log_{3}(x-1)$ ; l’equazione assegnata si traduce pertanto in

$y^{2}-2y-3=0, \qquad\Longrightarrow\qquad (y-3)(y+1)=0 \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} y=3,\\ y=-1. \end{cases}$

$\begin{aligned} y=3&\;\Longrightarrow\;\log_{3}(x-1)=3 \;\Longrightarrow\;x-1=3^{3}=27 \;\Longrightarrow\;x=28,\\[6pt] y=-1&\;\Longrightarrow\;\log_{3}(x-1)=-1 \;\Longrightarrow\;x-1=3^{-1}=\dfrac{1}{3} \;\Longrightarrow\;x=\dfrac{4}{3}. \end{aligned}$

Poiché entrambe le soluzioni soddisfano il vincolo $x>1$ , si ottiene infine l’insieme soluzione

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{\dfrac{4}{3},\,28\right\}.}$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$5\log^{3}\sqrt{x} \;+\; 6\log^{2}\sqrt{x} \;-\; 9\log\sqrt{x} \;=\; 2$

Svolgimento.

Si esamini l’equazione

$5\bigl(\log\sqrt{x}\bigr)^3 \;+\; 6\bigl(\log\sqrt{x}\bigr)^2 \;-\; 9\log\sqrt{x}\;=\;2.$

Poiché il logaritmo naturale è definito soltanto per argomento positivo, si stabilisce subito la condizione di esistenza $x>0$ .

Per rendere il calcolo più agevole si ponga

$t=\log\sqrt{x}=\tfrac12\log x,$

operazione lecita nell’intero dominio già indicato; l’equazione diventa polinomio di terzo grado in $t$ :

$5t^{3}+6t^{2}-9t-2=0.$

Si procede alla ricerca delle radici razionali; la verifica diretta mostra che $t=1$ soddisfa l’equazione, perciò il polinomio è divisibile per $t-1$ . Il raccoglimento e la successiva scomposizione restituiscono

$5t^{3}+6t^{2}-9t-2=(t-1)(t+2)(5t+1)=0,$

da cui si ricavano le tre soluzioni reali

$t_{1}=1,\qquad t_{2}=-2,\qquad t_{3}=-\tfrac15.$

Poiché $t=\tfrac12\log x$ , si ottiene in ciascun caso

$\log x = 2t \quad\Longrightarrow\quad x=e^{2t},$

e precisamente

$x_{1}=e^{2},\qquad x_{2}=e^{-4},\qquad x_{3}=e^{-\frac25}.$

Tutti e tre i valori appartengono al dominio $x>0$ , pertanto non insorgono esclusioni ulteriori.

Di conseguenza l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\{\,e^{2},\,e^{-4},\,e^{-\tfrac25}\,\}.}$

Esercizio 16 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{2}^{4}(2x-3) \;-\; 5\log_{2}^{2}(2x-3) \;+\; 4 \;=\; 0$

Svolgimento.

Si impone innanzitutto $2x-3>0$ , condizione che individua il dominio

$D=\{\,x\in\mathbb R\mid x>\tfrac32\,\}.$

Introducendo la variabile ausiliaria $y=\log_{2}(2x-3)$ l’equazione assegnata

$\log_{2}^{4}(2x-3)-5\log_{2}^{2}(2x-3)+4=0$

si traduce nell’equazione di quarto grado

$y^{4}-5y^{2}+4=0, \iff (y^{2}-4)(y^{2}-1)=0,$

dove la scomposizione segue dalla classica strategia del polinomio particolare rispetto alla variabile $t=y^2$ . Da ciò conseguono le quattro soluzioni

$y=\pm2,\qquad y=\pm1.$

Si ritorna allora alla variabile originaria:

$\begin{aligned} y=2&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=2 \;\Longrightarrow\;2x-3=2^{2}=4 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac72,\\[6pt] y=-2&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=-2 \;\Longrightarrow\;2x-3=2^{-2}=\tfrac14 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac{13}{8},\\[6pt] y=1&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=1 \;\Longrightarrow\;2x-3=2 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac52,\\[6pt] y=-1&\;\Longrightarrow\;\log_{2}(2x-3)=-1 \;\Longrightarrow\;2x-3=2^{-1}=\tfrac12 \;\Longrightarrow\;x=\tfrac74. \end{aligned}$

Tutti i valori così ottenuti soddisfano il vincolo $x>\tfrac32$ ; di conseguenza l’insieme soluzione risulta

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\left\{\dfrac{13}{8},\,\dfrac74,\,\dfrac52,\,\dfrac72\right\}.}$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\bigl(\log_{x-1}3\bigr)^{2}-\log_{x-1}3-2=0.$

Svolgimento.

Si stabilisce anzitutto il dominio: poiché l’argomento del logaritmo è positivo in modo intrinseco (trattandosi di $3$ ), l’unico vincolo riguarda la base $x-1$ , che deve risultare positiva e diversa da $1$ ; pertanto

$x-1>0,\qquad x-1\neq1 \quad\Longrightarrow\quad x>1,\;x\neq2.$

Per risolvere l’equazione si pone

$t=\log_{x-1}3,$

sostituzione lecita su tutto il dominio. In tal modo l’equazione diviene

$t^{2}-t-2=0,$

la cui soluzione fornisce

$t_{1}=2,\qquad t_{2}=-1.$

Nel primo caso $t=2$ implica

$\log_{x-1}3=2 \;\Longrightarrow\; 3=(x-1)^{2} \;\Longrightarrow\; x-1=\pm\sqrt{3}.$

Il valore negativo non rientra nel dominio, mentre il positivo produce

$x=1+\sqrt{3}.$

Nel secondo caso $t=-1$ conduce a

$\log_{x-1}3=-1 \;\Longrightarrow\; 3=(x-1)^{-1} \;\Longrightarrow\; x-1=\frac13 \;\Longrightarrow\; x=\frac43,$

che rispetta il dominio in quanto $x>1$ e $x\neq2$ .

Non emergono ulteriori restrizioni, così l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{ S=\Bigl\{\frac43,\;1+\sqrt{3}\Bigr\}.}$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\log_{2x+1}^{2} 27 \;+\; \log_{2x+1}\!\left(\frac{1}{27}\right) \;-\; 6 \;=\; 0$

Svolgimento.

Si richiede anzitutto che la base del logaritmo sia positiva e diversa da 1; pertanto

$2x+1>0\quad\text{e}\quad2x+1\neq1, \qquad\Longrightarrow\qquad x>-\tfrac12,\;x\neq0,$

donde

$D=(-\tfrac12,\,+\infty)\setminus\{0\}.$

Posto $y=\log_{2x+1}27$ , l’equazione

$\log^{2}_{2x+1}27+\log_{2x+1}\tfrac1{27}-6=0$

si trasforma tenendo conto che $\log_{2x+1}\tfrac1{27}=\log_{2x+1}27^{-1}=-y$ ; ne segue il trinomio

$y^{2}-y-6=0, \qquad\Longrightarrow\qquad (y-3)(y+2)=0,$

dal quale si ottengono

$y_{1}=3,\qquad y_{2}=-2.$

Da $y=3$ si ricava

$\begin{aligned} y=3\;\Longrightarrow\;\log_{2x+1}27=3 \;\Longrightarrow\;(2x+1)^{3}=27 \;\Longrightarrow\;2x+1=3 \;\Longrightarrow\;x=1, \end{aligned}$

mentre da $y=-2$ si ottiene

$\begin{aligned} y=-2 & \iff \log_{2x+1}27=-2 \\ & \iff (2x+1)^{-2}=27 \\ & \iff (2x+1)^{2}=\tfrac1{27} \\ & \iff 2x+1=\tfrac1{\sqrt{27}}=\tfrac1{3\sqrt3} \\ & \iff x=\frac{1-3\sqrt3}{6\sqrt3}=\frac{\sqrt3-9}{18}. \end{aligned}$

Entrambi i valori ottenuti appartengono a $D$ ; si conclude pertanto

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\Bigl\{1,\;\dfrac{\sqrt3-9}{18}\Bigr\}.}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{5}{\log_{\frac12}^{2}x \;-\; 5\log_{\frac12}x \;+\; 6} \;-\; \frac{1}{\log_{\frac12}^{2}x \;-\; 3\log_{\frac12}x \;+\; 2} \;-\; \frac{3}{\log_{\frac12}^{2}x \;-\; 4\log_{\frac12}x \;+\; 3} \;=\; 0.$

Svolgimento.

Poiché il logaritmo in base $\tfrac12$ è definito per $x>0$ , la prima condizione di esistenza impone $x>0$ . Inoltre i tre denominatori non devono annullarsi; ponendo

$t=\log_{\frac12}x,$

condizione lecita su tutto il dominio appena citato, si osserva che

$\begin{aligned} t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3),\\ t^{2}-3t+2=(t-1)(t-2),\\ t^{2}-4t+3=(t-1)(t-3), \end{aligned}$

i quali si annullano rispettivamente per $t=1,2,3$ . Ne consegue che, in termini della variabile originaria, occorre escludere i valori

$x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{1}=\tfrac12,\qquad x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}=\tfrac14,\qquad x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3}=\tfrac18.$

Il dominio risulta pertanto

$D=\bigl(0,+\infty\bigr)\setminus\Bigl\{\tfrac18,\tfrac14,\tfrac12\Bigr\}.$

Con la sostituzione $t=\log_{\frac12}x$ l’equazione assume la forma

$\frac{5}{(t-2)(t-3)}-\frac{1}{(t-1)(t-2)}-\frac{3}{(t-1)(t-3)}=0.$

Moltiplicando per il minimo comune denominatore $(t-1)(t-2)(t-3)$ si ottiene

$5(t-1)-(t-3)-3(t-2)=0,$

ossia

$5t-5-t+3-3t+6=0\;\Longrightarrow\;t+4=0, \qquad\text{da cui}\qquad t=-4.$

Il valore trovato non coincide con $1,2,3$ , pertanto non provoca annullamenti di denominatore e resta ammesso. Ritornando alla variabile $x$ si ha

$t=\log_{\frac12}x=-4 \;\Longrightarrow\; x=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{-4}=2^{4}=16,$

valore che appartiene a $D$ .

Si conclude quindi che l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=\{16\}.}$

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Determinare l’insieme delle soluzioni reali della seguente equazione:

$\frac{\log_{1/3}^{2}(1 - x) \;-\; 1}{\log_{1/3}^{2}(1 - x) \;-\; 9} \;-\; \frac{1}{\log_{1/3}(1 - x) \;+\; 3} \;+\; \frac{\log_{1/3}(1 - x) \;-\; 1}{\log_{1/3}(1 - x) \;-\; 3} \;=\; 0$

Svolgimento.

Si osservi innanzitutto che il logaritmo $\log_{\,\frac13}(1-x)$ è definito soltanto per $1-x>0$ , condizione che impone $x<1$ ; poiché la base $\tfrac13$ è positiva e diversa da $1$ , non emergono ulteriori restrizioni. Si introduca dunque la variabile ausiliaria

$y=\log_{\,\frac13}(1-x),$

ricordando che la trasformazione è biunivoca nell’intervallo $x<1$ . Con tale sostituzione l’espressione

$\frac{\log_{\,\frac13}^{2}(1-x)-1}{\log_{\,\frac13}^{2}(1-x)-9} -\frac{1}{\log_{\,\frac13}(1-x)+3} +\frac{\log_{\,\frac13}(1-x)-1}{\log_{\,\frac13}(1-x)-3}=0$

diviene

$\frac{y^{2}-1}{y^{2}-9}-\frac{1}{y+3}+\frac{y-1}{y-3}=0.$

I denominatori impongono $y\neq\pm3$ , perciò tali valori andranno eventualmente esclusi. Sommandosi i tre termini si ottiene

$\frac{2y^{2}+y-1}{y^{2}-9}=0,$

donde si ricava il solo vincolo $2y^{2}+y-1=0$ ; si calcola

$y=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}\; \Longrightarrow\; y_{1}=\frac12,\quad y_{2}=-1,$

entrambi compatibili con il requisito $y\neq\pm3$ .

Si ritorna allora alla variabile originaria. Con $y=\log_{\,\frac13}(1-x)$ si ha

$\begin{aligned} y=\frac12&\;\Longrightarrow\;1-x=\bigl(\tfrac13\bigr)^{1/2}=\frac1{\sqrt3} \;\Longrightarrow\;x=1-\frac1{\sqrt3},\\[6pt] y=-1&\;\Longrightarrow\;1-x=\bigl(\tfrac13\bigr)^{-1}=3 \;\Longrightarrow\;x=-2. \end{aligned}$

Entrambi i valori soddisfano il vincolo iniziale $x<1$ ; l’insieme soluzione risulta pertanto

$\boxcolorato{superiori}{\,S=\Bigl\{-2,\;1-\dfrac1{\sqrt3}\Bigr\}.}$

Riferimenti bibliografici

[1] Bergamini, G., Trifone, P. & Barozzi, G., Corso base blu di matematica. Volume 3, Zanichelli (ultima edizione).

[2] Matematika.it, Esercizi su esponenziali e logaritmi.

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