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Logaritmi – Dominio e proprietà: esercizi svolti

Dominio e proprietà in Logaritmi

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Consigliamo la lettura dell’articolo Proprietà dei logaritmi: la guida essenziale per una introduzione chiara e concisa sui logaritmi e loro proprietà, contenente anche una lista di materiale per approfondire.
 
 

Sommario

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Raccolta di esercizi su dominio e proprietà di base dei logaritmi.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Notazioni

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\log x Logaritmo naturale (in base e=2,71\dots) del numero reale x.

 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Ricavare il valore della x applicando la definizione di logaritmo:

\[\begin{aligned} & \text{a) } \log_2 8 = x;\\ & \text{b) } \log_{10} 10 = x;\\ & \text{c) } \log_{25} 5 = x;\\ & \text{d) } \log_x 8 = 3;\\ & \text{e) } \log x = 0. \end{aligned}\]

Svolgimento.

La definizione di logaritmo con a,b \in \mathbb{R}^+, a \neq 1 e c \in \mathbb{R} è:

(1) \begin{equation*} \log_a b = c \; \Leftrightarrow \; a^c = b. \end{equation*}

Utilizziamo la definizione

\[\begin{aligned} & \text{a) } \log_2 8 = x \; \Leftrightarrow \; 2^x = 8 \; \Leftrightarrow \; 2^x = 2^3 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=3. }} \\\\ & \text{b) } \log_{10} 10 = x \; \Leftrightarrow \; 10^x = 10 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=1. }}\\\\ & \text{c) } \log_{25} 5 = x \; \Leftrightarrow \; 25^x = 5 \; \Leftrightarrow \;5^{2x}=5 \; \Leftrightarrow \;2x=1 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=\dfrac{1}{2}. }}\\\\ & \text{d) } \log_x 8 = 3 \; \Leftrightarrow \; x^3 = 8 \; \Leftrightarrow \;x^3 = 2^3 \; \Leftrightarrow \;\boxcolorato{superiori}{ x=2. }}\\\\ & \text{e) } \log x = 0 \; \Leftrightarrow \; x=e^0 \; \Leftrightarrow \;\boxcolorato{superiori}{ x=1. }} \end{aligned}\]

 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Ricavare il valore della x applicando la definizione di logaritmo:

\[\begin{aligned} & \text{a) } \log_5 \frac{1}{\sqrt{5}} = x;\\ & \text{b) } \log_{3} \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} = x;\\ & \text{c) } \log_x 1000 = 3;\\ & \text{d) } \log_2 x = -3;\\ & \text{e) } \log_{10} x = 0. \end{aligned}\]

Svolgimento.

La definizione di logaritmo con a,b \in \mathbb{R}^+, a \neq 1 e c \in \mathbb{R} è:

(2) \begin{equation*} \log_a b = c \; \Leftrightarrow \; a^c = b. \end{equation*}

Utilizziamo la definizione

\[\begin{aligned} & \text{a) } \log_5 \frac{1}{\sqrt{5}} = x \; \Leftrightarrow \; 5^x = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \; \Leftrightarrow \; 5^x = 5^{-1/2} \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=-\dfrac{1}{2}. }}\\\\ & \text{b) } \log_{3} \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} = x \; \Leftrightarrow \; 3^x = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} \; \Leftrightarrow \; 3^x = \dfrac{3 \cdot 3^{1/2}}{3^{1/4}} \; \Leftrightarrow \; 3^x = 3^{1+1/2-1/4} \; \Leftrightarrow \; x = 1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4} \; \Leftrightarrow \;\boxcolorato{superiori}{ x = \dfrac{5}{4} . }} \\\\ & \text{c) } \log_x 1000 = 3 \; \Leftrightarrow \; x^3 = 1000 \; \Leftrightarrow \; x^3 = 10^3 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=10. }}\\\\ & \text{d) } \log_2 x = -3 \; \Leftrightarrow \; x=2^{-3} \; \Leftrightarrow \;\boxcolorato{superiori}{ x=\dfrac{1}{8}. }} \\\\ & \text{e) } \log_{10} x = 0 \; \Leftrightarrow \; x=10^0 \; \Leftrightarrow \; \boxcolorato{superiori}{ x=1. }} \end{aligned}\]

 
 

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