Sistemi di disequazioni esponenziali

Esercizi misti su Esponenziali

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Sommario

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Raccolta di esercizi sui sistemi di disequazioni esponenziali.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 3^{2x - 1} > 3 \\ 1 - 5^{x^2 - 1} \geq 0. \end{cases}$

Svolgimento.

La prima disequazione

$3^{\,2x-1}>3$

si risolve osservando che la funzione esponenziale di base $3>1$ è strettamente crescente; pertanto basta confrontare gli esponenti: $2x-1>1$ , da cui $2x>2$ e infine

$x>1.$

La seconda disequazione

$1-5^{\,x+1}\ge0$

richiede che $5^{\,x+1}\le1$ ; essendo $5>1$ , l’esponenziale è anch’essa crescente e ciò equivale a $x+1\le0$ , cioè

$x\le-1.$

Il sistema impone che entrambe le condizioni siano verificate simultaneamente, ma

$x>1 \quad\text{e}\quad x\le-1$

sono incompatibili: non esiste alcun numero reale che soddisfi nello stesso tempo le due disuguaglianze. Pertanto l’insieme delle soluzioni è vuoto:

$\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 3^x - 3^{3 - x} + 6 \geq 0 \\ \left|2^x - 1\right| < 3. \end{cases}$

Svolgimento.

Scriviamo innanzitutto la prima disequazione mettendo in evidenza il termine esponenziale $3^{x}$ . Se poniamo $y = 3^{x}>0$ otteniamo

$3^{x}-3^{\,3-x}+6 \;=\; 3^{x}-27\cdot 3^{-x}+6 \;=\; \frac{y^{2}+6y-27}{y}.$

Il denominatore è positivo, quindi il segno dell’espressione dipende solo dal numeratore $y^{2}+6y-27$ . Quest’ultimo si annulla per $y=3$ (l’altra radice sarebbe $y=-9$ , fuori dal dominio) e, essendo di concavità verso l’alto, risulta non negativo quando $y\ge 3$ ; traducendo in termini di $x$ si trova

$3^{x}\ge 3\iff x\ge 1.$

Passiamo alla seconda disequazione del sistema:

$|\,2^{x}-1\,|<3.$

Essa equivale alla doppia disuguaglianza

$-3 < 2^{x}-1 < 3.$

Il limite inferiore è automaticamente verificato perché $2^{x}>0$ ; resta pertanto $2^{x}<4$ , che si traduce in

$x<2.$

Affinché entrambe le disequazioni siano soddisfatte contemporaneamente, $x$ deve appartenere ad entrambi gli intervalli individuati; l’intersezione è

$\boxcolorato{superiori}{S=[1,2).}$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 5^{2x - 1} - 25 > 0 \\ \frac{3^x + 1}{3^x - 1} \geq 1 \end{cases}$

Svolgimento.

Consideriamo prima la disuguaglianza

$5^{\,2x-1}-25>0 .$

Scrivendo $25=5^{2}$ ed osservando che la funzione esponenziale di base $5>1$ è strettamente crescente, basta confrontare gli esponenti:

$2x-1>2 \iff 2x>3 \iff x>\dfrac32 .$

Passiamo ora alla seconda condizione

$\frac{3^{x}+1}{3^{x}-1}\ge 1 .$

Portando tutto al primo membro otteniamo

$\frac{3^{x}+1-(3^{x}-1)}{3^{x}-1}= \frac{2}{3^{x}-1}\ge0 .$

Il numeratore $2$ è positivo; l’espressione quindi è non negativa precisamente quando il denominatore è positivo (e diverso da zero), cioè per

$3^{x}-1>0 \;\Longrightarrow\; x>0 .$

Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate simultaneamente: l’intersezione degli intervalli $\left (\dfrac32,+\infty\right )$ e $(0,+\infty)$ coincide con il primo dei due. Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=\bigl(\tfrac32,\,+\infty\bigr).}$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 4^{x + 2} > 2 \\ 2 ^{ 2^x - 1 } < 2. \end{cases}$

Svolgimento.

La prima disequazione del sistema è

$4^{\,x+2}>2 .$

Poiché $4=2^{2}$ , si riscrive come $2^{\,2(x+2)}=2^{\,2x+4}>2^{1}$ ; con base $2>1$ è sufficiente confrontare gli esponenti, ottenendo

$2x+4>1 \quad\Longrightarrow\quad 2x>-3 \quad\Longrightarrow\quad x>-\dfrac{3}{2}.$

La seconda disequazione è

$2^{\,2^{x}-1}<2 .$

Anche qui la funzione esponenziale, avendo base $2>1$ , è crescente, perciò la condizione equivale a richiedere che l’esponente sia minore di $1$ :

$2^{x}-1<1 \iff 2^{x}<2 \iff x<1.$

Affinché entrambe le disequazioni siano verificate contemporaneamente, $x$ deve appartenere all’intersezione dei due intervalli ottenuti. Si conclude dunque che

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\tfrac32,\,1).}$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \frac{9}{2^x - 1} - \frac{6}{2^x - 2} < 0 \\[5pt] \frac{3^{2x} + 3^x}{9^x - 1} < 0. \end{cases}$

Svolgimento.

Per la prima disequazione poniamo $t = 2^{x}>0$ ; si ottiene

$\frac{9}{t-1}-\frac{6}{t-2} =\frac{9(t-2)-6(t-1)}{(t-1)(t-2)} =\frac{3(t-4)}{(t-1)(t-2)}<0 .$

I punti critici sono $t=1,\;2,\;4$ . Con un semplice studio dei segni si trova che l’espressione risulta negativa per

$0<t<1\quad\text{oppure}\quad 2<t<4 .$

Tornando alla variabile $x$ (ricordando che $t=2^{x}$ ) ciò equivale a

$x<0 \quad\text{oppure}\quad 1<x<2 .$

Passiamo alla seconda disequazione e introduciamo $s = 3^{x}>0$ ; il rapporto diventa

$\frac{3^{2x}+3^{x}}{9^{x}-1} =\frac{s^{2}+s}{s^{2}-1}<0 .$

Il numeratore $s^{2}+s$ è sempre positivo, quindi il segno del rapporto coincide con quello del denominatore $s^{2}-1$ , che è negativo precisamente per $0<s<1$ . In termini di $x$ ciò significa

$x<0 .$

Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano soddisfatte simultaneamente; l’intersezione fra $\{\,x<0\text{ o }1<x<2\,\}$ e $\{\,x<0\,\}$ è semplicemente

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,\,0).}$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 2^{\frac{x(x - 1)}{x + 1}} \leq 1 \\ (4 - 2^{2x})(9^x - 1)^2 \leq 0. \end{cases}$

Svolgimento.

Per la prima disequazione osserviamo che, essendo la base $2>1$ , si ha

$2^{\frac{x(x-1)}{x+1}}\le1 \iff \frac{x(x-1)}{x+1}\le0 , \qquad x\neq-1.$

Gli zeri del numeratore sono $x=0$ e $x=1$ ; con l’asintoto $x=-1$ si ottiene il segno

$\frac{x(x-1)}{x+1}\le0 \iff x\in(-\infty,-1)\,\cup\,[0,1].$

Passiamo alla seconda disequazione:

$\bigl(4-2^{2x}\bigr)\bigl(9^{x}-1\bigr)^{2}\le0 .$

Il fattore $\bigl(9^{x}-1\bigr)^{2}$ è sempre $\ge0$ e si annulla solo in $x=0$ ; quindi il prodotto è non positivo se

$x=0 \quad\text{oppure}\quad 4-2^{2x}\le0\;( \text{e allora }x\ge1 ).$

In forma compatta:

$x\in\{0\}\,\cup\,[1,+\infty).$

Il sistema impone la contemporaneità delle due condizioni; l’intersezione fra gli insiemi trovati è costituita soltanto dai punti comuni:

$\bigl[(-\infty,-1)\,\cup\,[0,1]\bigr]\;\cap\;\bigl(\{0\}\cup[1,+\infty)\bigr)=\{\,0,1\,\}.$

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=\{0,\,1\}.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 3^{2x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 3x} < \dfrac{1}{9} \\ 2^{4 - x} < 16^{x + 1}. \end{cases}$

Svolgimento.

Per la prima disequazione osserviamo che $\dfrac19 = 3^{-2}$ ; con base $3>1$ il confronto si riduce a

$2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}-3x < -2 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}-3x+2<0.$

Il polinomio di quarto grado si fattorizza osservando che esso si annulla per $x=1$ , $x=-1$ e $x=-2$ , dunque esso è divisibile per $(x-1)(x+1)(x+2)$ . Effettuando la divisione si ottiene

$2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}-3x+2 =(x-1)(x+1)(x+2)(2x-1).$

Il suo segno, studiato sui valori critici $-2,\,-1,\,\tfrac12,\,1$ , risulta negativo soltanto negli intervalli

$(-2,-1)\;\cup\;\bigl(\tfrac12,1\bigr).$

Poiché $\dfrac19 = 3^{-2}$ e la base $3>1$ , il confronto degli esponenti dà

$3^{-2} \;<\; 3^{\,2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}-3x} \iff -2 \;<\; 2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}-3x,$

e quindi la disequazione

$2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}-3x+2<0.$

Sia

$P(x)=2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}-3x+2 = (x-1)(x+1)(x+2)(2x-1)$

$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-2) & (-2,-1) & (-1,\tfrac12) & (\tfrac12,1) & (1,\infty)\\ \hline x-1 & - & - & - & - & +\\ x+1 & - & - & + & + & +\\ x+2 & - & + & + & + & +\\ 2x-1 & - & - & - & + & +\\ \hline P(x) & + & - & + & - & + \end{array}$

La disequazione iniziale è dunque soddisfatta per

$\boxed{\,x\in(-2,-1)\;\cup\;\bigl(\tfrac12,1\bigr)\,.}$

La seconda disequazione si semplifica sostituendo $16=2^{4}$ :

$2^{\,4-x}<16^{\,x+1} \;\Longrightarrow\; 2^{\,4-x}<2^{\,4(x+1)} \;\Longrightarrow\; 4-x<4x+4 \;\Longrightarrow\; x>0.$

L’intersezione tra l’insieme dei $x$ che soddisfano la prima condizione e quello definito dalla seconda è

$\bigl[\,(-2,-1)\cup(\tfrac12,1)\bigr]\;\cap\;(0,+\infty) =(\tfrac12,1).$

Pertanto il sistema è verificato esattamente per

$\boxcolorato{superiori}{S=\bigl(\tfrac12,\,1\bigr).}$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 2^{\frac{x + \sqrt{2}}{3}} > 2^{\frac{x + \sqrt{3}}{2}} \\ 2^{3x} \cdot 2^{\sqrt{3}} \geq 4^x \cdot 2^{1 - \sqrt{3}}. \end{cases}$

Svolgimento.

Poiché la base comune è $2>1$ , possiamo limitare il confronto agli esponenti. Dalla prima disuguaglianza

$\frac{x+\sqrt2}{3} > \frac{x+\sqrt3}{2} \iff 2(x+\sqrt2) > 3(x+\sqrt3) \iff x < 2\sqrt2 - 3\sqrt3 .$

Scrivendo $4^{x}=2^{2x}$ , la seconda diventa

$2^{3x+\sqrt3} \ge 2^{2x+1-\sqrt3} \iff 3x + \sqrt3 \ge 2x + 1 - \sqrt3 \iff x \ge 1 - 2\sqrt3 .$

Le due condizioni devono valere simultaneamente, perciò

$1 - 2\sqrt3 \;\le\; x \;<\; 2\sqrt2 - 3\sqrt3 .$

L’intervallo è non vuoto perché

$2\sqrt2 - 3\sqrt3 - (1 - 2\sqrt3) = 2\sqrt2 - \sqrt3 - 1 > 0 .$

Di conseguenza

$\boxcolorato{superiori}{S = \bigl[\,1 - 2\sqrt3,\; 2\sqrt2 - 3\sqrt3\,\bigr) .}$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} 3^x + 3^{x+2} \leq 3^{x - 1} + 87 \\ \frac{2}{5^x} - \frac{26}{25} \cdot \frac{1}{5^x} + \left( \frac{1}{5} \right)^2 > 0. \end{cases}$

Svolgimento.

Per la prima disuguaglianza raccogliamo il fattore $3^{x-1}$ :

$3^{x-1}(3+3^3-1)\leq 87 \iff 3^{x-1}\cdot 29 \leq 3 \cdot 29 \iff x-1\leq 1 \iff x\leq 2.$

Nella seconda disuguaglianza raccogliamo il fattore $\frac{1}{5^x}$ :

$\frac{1}{5^x} \cdot \frac{24}{25} + \left (\frac{1}{5}\right )^2 >0,$

che è vera per ogni $x \in \mathbb{R}$ in quanto somma di due quantità strettamente positive.

Dall’intersezione delle due soluzioni si ricava

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,2).}$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \left| \frac{25^x - 1}{25^x + 1} \right| < 1 \\[5pt] \frac{3^x - 4}{3^{2x} - 4} \geq \frac{2}{3^x + 2}. \end{cases}$

Svolgimento.

Poniamo $t=25^{x}>0$ . Poiché $t+1>0$ , si ha

$\left|\frac{t-1}{t+1}\right|<1 \;\Longleftrightarrow\; |t-1|<t+1,$

diseguaglianza sempre vera per qualunque $t>0$ . Dunque la prima disequazione è soddisfatta per ogni $x\in\mathbb R$ .

Per la seconda disequazione poniamo $u=3^{x}>0$ (con $u\neq2$ per evitare $3^{2x}-4=0$ ):

$\frac{u-4}{u^{2}-4}\;\ge\;\frac{2}{u+2}.$

Da $u^{2}-4=(u-2)(u+2)$ e portando a sinistra con denominatore comune si ottiene

$\frac{u-4}{(u-2)(u+2)}-\frac{2}{u+2} =\frac{u-4-2(u-2)}{(u-2)(u+2)} =\frac{-u}{(u-2)(u+2)}\;\ge\;0.$

Il numeratore $-u$ è negativo per ogni $u>0$ ; affinché la frazione sia non-negativa è necessario che il denominatore sia negativo:

$(u-2)(u+2)<0\iff 0<u<2.$

Ricordando che $u=3^{x}$ , otteniamo

$3^{x}<2 \iff x<\log_{3}2,$

valore in cui il denominatore originario si annulla ed è quindi escluso.

Poiché la prima disequazione non impone restrizioni, l’insieme soluzione del sistema è

$\boxcolorato{superiori}{x\in(-\infty,\log_{3}2).}$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \frac{5^{x^2 - 4x} - 1}{x - 2} > 0 \\[10pt] \left| \frac{\left( \frac{1}{4} \right)^x}{2^{x+2} \cdot 64} \right| < 1. \end{cases}$

Svolgimento.

1. Prima disequazione Il numeratore è $5^{x^{2}-4x}-1$ . Poiché $5>1$ ,

$\begin{aligned} x^{2}-4x &>0 \iff 5^{x^{2}-4x}>1\;\;(\text{numeratore positivo}),\\ x^{2}-4x &<0 \iff 5^{x^{2}-4x}<1\;\;(\text{numeratore negativo}), \end{aligned}$

dove

$x^{2}-4x=x(x-4)=0 \iff x=0\ \text{o}\ x=4,$

e, con la concavità verso l’alto, $x^{2}-4x>0$ per $x<0$ oppure $x>4$ ; è invece negativo per $0<x<4$ .

Il denominatore $x-2$ è negativo per $x<2$ , nullo in $x=2$ (punto escluso) e positivo per $x>2$ .

$\begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & 0 & 2 & 4 & +\infty\\ \hline 5^{x^{2}-4x}-1 & + & 0 & - & 0 & +\\ x-2 & - & - & 0 & + & +\\ \hline \displaystyle\frac{5^{x^{2}-4x}-1}{x-2} & - & 0 & \text{n.d.} & 0 & + \end{array}$

Il rapporto è quindi $>0$ in

$(0,2)\;\cup\;(4,+\infty).$

2. Seconda disequazione

$\left|\frac{(\tfrac14)^{x}}{2^{x+2}\cdot64}\right| =\left|\frac{2^{-2x}}{2^{x+2}\cdot2^{6}}\right| =\left|2^{-2x-(x+8)}\right| =2^{-3x-8}.$

Essendo la potenza di $2$ sempre positiva,

$2^{-3x-8}<1 \;\Longleftrightarrow\; -3x-8<0 \;\Longleftrightarrow\; x>-\frac83.$

3. Soluzione del sistema Intersecando i risultati:

$\bigl((0,2)\cup(4,+\infty)\bigr)\;\cap\;(-\tfrac83,+\infty) =(0,2)\;\cup\;(4,+\infty).$

$\boxcolorato{superiori}{S=(0,2)\;\cup\;(4,+\infty).}$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni, sapendo che $0 < a < 1$ :

$\begin{cases} a^{|x^2 - 4|} > a^5 \\[6pt] \frac{(a^3)^{|x + 2|}}{a^{x \cdot |x + 1|}} > a^{2x} \\[6pt] \frac{\sqrt{a^x} \cdot a^{2x + 3}}{a^{1 - x}} < \frac{a^{x - 6}}{a^2} \end{cases}$

Svolgimento.

Poiché per $0<a<1$ la funzione $t\mapsto a^{t}$ è decrescente, un confronto $a^{p}\relbar a^{q}$ inverte il senso della disequazione quando si passa agli esponenti.

1. Prima disequazione. $a^{|x^{2}-4|}>a^{5}\Longleftrightarrow |x^{2}-4|<5.$

$-5<x^{2}-4<5\iff -1<x^{2}<9.$

Poiché $x^{2}\ge0$ la parte sinistra è sempre vera; la parte destra dà $x^{2}<9\iff -3<x<3.$

2. Seconda disequazione. Riduciamo ad un solo esponente:

$\frac{(a^{3})^{|x+2|}}{a^{\,x\,|x+1|}}>a^{2x} \;\Longleftrightarrow\; a^{\,3|x+2|-x\,|x+1|}>a^{2x} \;\Longleftrightarrow\; 3|x+2|-x\,|x+1|<2x.$

Poniamo $F(x)=3|x+2|-x\,|x+1|-2x$ e studiamone il segno suddividendo la retta nei punti critici $-2,-1,0$ .

$\begin{array}{c|cccc} \text{Intervallo} & x<-2 & -2<x<-1 & -1<x<0 & x>0\\\hline |x+2| & -x-2 & x+2 & x+2 & x+2\\ |x+1| & -x-1 & -x-1 & x+1 & x+1\\ F(x) &\;x^{2}-4x-6 &\;x^{2}+2x+6 &\;-x^{2}+6 &\;-x^{2}+6 \end{array}$

$\begin{aligned} x<-2\!:&\;x^{2}-4x-6<0\ \Longrightarrow\ x^{2}-4x-6<0 \;\text{tra le radici }2\pm\sqrt{10},\text{ nessuna delle quali }\le-2;\\ &\;\text{quindi nessuna soluzione.}\\[4pt] -2<x<-1\!:&\;x^{2}+2x+6<0\;\text{impossibile (}\Delta<0).\\[4pt] -1<x<0\!:&\;-x^{2}+6<0\;\Longrightarrow\;x^{2}>6\;\text{impossibile nell'intervallo}.\\[4pt] x>0\!:&\;-x^{2}+6<0\;\Longrightarrow\;x^{2}>6\;\Longrightarrow\;x>\sqrt6. \end{aligned}$

La seconda disequazione è dunque soddisfatta per

$x>\sqrt6.$

3. Terza disequazione.

$\frac{\sqrt{a^{x}}\;a^{\,2x+3}}{a^{\,1-x}} = a^{\frac{x}{2}+2x+3-(1-x)} = a^{\frac{7x}{2}+2}, \qquad \frac{a^{x-6}}{a^{2}} = a^{x-8}.$

Richiedendo $a^{\frac{7x}{2}+2}<a^{x-8}$ (ed invertendo il verso perché $a<1$ ) otteniamo

$\frac{7x}{2}+2> x-8 \;\Longleftrightarrow\; 5x>-20 \;\Longleftrightarrow\; x>-4.$

4. Intersezione delle soluzioni. Di seguito riassumiamo tutte le soluzioni trovate.

$\begin{cases} -3 < x < 3,\\ x > \sqrt{6},\\ x > -4 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \boxed{\sqrt{6}<x<3}.$

Qui di seguito rappresentiamo graficamente le tre soluzioni.

$\quad$

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$\quad$

Dal grafico si deduce che la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{S=(\sqrt{6},3).}$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \displaystyle \frac{(x^4 - 2^4) \left( \frac{1}{3} \right)^{x - 4}}{\left( \frac{1}{5} \right)^{x - 1} - 5^{2x}} \leq 0 \\[13pt] \displaystyle \frac{7^{2\sqrt{x(2x - 1)}}}{(3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 3^2)^{\frac{1}{2}}} \geq 0. \end{cases}$

Svolgimento.

1. Prima disequazione. Il fattore $\bigl(\tfrac13\bigr)^{x-4}$ è sempre positivo, perciò il segno del numeratore coincide con quello di

$x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4),$

che è nullo in $x=\pm2$ , negativo se $-2<x<2$ e positivo altrove. Il denominatore è

$\left(\tfrac15\right)^{x-1}-5^{2x}=5^{\,1-x}-5^{\,2x},$

si annulla soltanto per $x=\tfrac13$ ; risulta positivo quando $x<\tfrac13$ e negativo quando $x>\tfrac13$ . La frazione dunque è $\le0$ nei punti in cui numeratore e denominatore hanno segni opposti o il numeratore è nullo:

$I_1=[-2,\tfrac13)\cup[2,+\infty).$

2. Seconda disequazione. Serve innanzitutto che il radicando $x\,(2x-1)$ sia non negativo, cioè

$x\le0 \quad\text{oppure}\quad x\ge\tfrac12.$

Per il denominatore poniamo $t=3^{x}>0$ :

$t^{2}-10\,t+9=(t-1)(t-9)>0\quad\Longrightarrow\quad 0<t<1\;(x<0)\;\text{oppure}\;t>9\;(x>2).$

Negli stessi intervalli il radicando è positivo e la radice reale; l’intera frazione è pertanto $\ge0$ per

$I_2=(-\infty,0)\cup(2,+\infty).$

3. Intersezione.

$S=I_1\cap I_2=[-2,0)\cup(2,+\infty).$

$\boxed{S=[-2,0)\cup(2,+\infty)}$

Per visualizzare l’intersezione degli insiemi si propone il seguente grafico.

$\quad$

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$\quad$

Dal grafico si deduce che le due fasce colorate si sovrappongono soltanto negli intervalli chiuso-aperto $[-2,0)$ e aperto a sinistra $(2,+\infty)$ . Pertanto la soluzione complessiva del sistema è

$\boxcolorato{superiori}{S=[-2,0)\,\cup\,(2,+\infty).}$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

$\begin{cases} \displaystyle \frac{3^x - 9^2}{\left( 2^{2(2x+1)} - 32 \right) \cdot \sqrt{5^{\frac{x^2 - 3}{2}} - 125}} < 0 \\[15pt] \displaystyle 2 \cdot 2^{-x} - 2^x \leq 1. \end{cases}$

Svolgimento.

Per prima cosa il radicando $5^{\frac{x^{2}-3}{2}}-125$ deve essere positivo. Poiché la funzione $5^{t}$ è strettamente crescente, l’uguaglianza $5^{\frac{x^{2}-3}{2}}=125=5^{3}$ equivale a $\frac{x^{2}-3}{2}=3$ , cioè $x^{2}=9$ ; pertanto l’espressione sotto radice cambia segno quando $x$ oltrepassa i valori $\pm3$ e risulta positiva solo fuori dell’intervallo $[-3,3].$

In quelle stesse regioni si può esaminare il resto del denominatore, $2^{2(2x+1)}-32$ . Il termine $2^{2(2x+1)}=2^{\,4x+2}$ decresce se si procede verso sinistra e cresce se si procede verso destra, perciò uguaglia $32=2^{5}$ soltanto in $4x+2=5$ , ossia $x=\frac34$ , valore che ricade comunque dentro l’intervallo scartato $(-3,3)$ e non interferisce più. Ne segue che per $x<-3$ si ha $2^{\,4x+2}-32<0$ , mentre per $x>3$ il fattore diventa positivo.

Il numeratore $3^{x}-9^{2}=3^{x}-81$ si annulla in $x=4$ e, dato che $3^{x}$ è crescente, risulta negativo a sinistra di tale punto e positivo a destra.

Sommeggiando le osservazioni appena raccolte:

$\begin{array}{c|ccc} \text{Intervallo ammesso} & x<-3 & 3<x<4 & x>4\\ \hline 3^{x}-81 & - & - & + \\[2pt] 2^{\,4x+2}-32 & - & + & + \\ \hline \text{Quoziente} & + & - & + \end{array}$

Il rapporto cercato è minore di zero soltanto quando $3<x<4$ . Nulla si aggiunge nei punti di frontiera, perché in $x=3$ il radicale si annulla (quoziente indefinito) e in $x=4$ il numeratore si annulla ma la disequazione è stretta.

Passando ora alla seconda condizione,

$2\cdot2^{-x}-2^{x}\le1,$

si osserva che la sostituzione $t=2^{x}$ (con $t>0$ ) trasforma la disuguaglianza in

$\frac{2}{t}-t\le1 \;\Longrightarrow\; 2-t^{2}\le t \;\Longrightarrow\; t^{2}+t-2\ge0.$

Il trinomio a sinistra ha radici reali $1$ e $-2$ , e per $t>0$ assume valori non negativi solo a partire da $t=1$ ; dunque $t\ge1$ e, poiché $t=2^{x}$ , si ottiene semplicemente $x\ge0$ .

In conclusione la prima disequazione restringe $x$ all’intervallo aperto $(3,4)$ , mentre la seconda lo richiede maggiore o uguale a $0$ ; l’unica parte comune è proprio l’intervallo

$\boxcolorato{superiori}{S=(3,4).}$

Riferimenti bibliografici

[1] Bergamini, M., Trifone, A. & Barozzi, G., Matematica.blu 3 – Corso base, Zanichelli, Bologna (ultima ed. 2020).

[2] Matematika.it, www.matematika.it.

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