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Equazioni esponenziali con variabile ausiliaria: esercizi svolti

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Esponenziali

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Sommario

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Questo file contiene alcuni esercizi svolti sulle equazioni esponenziali con l’uso della variabile ausiliaria. Gli esercizi sono pensati per studenti del liceo, appassionati di matematica o per chi si sta preparando ai test di ingresso di facoltà scientifiche come ingegneria, fisica o matematica.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione esponenziale:

\[4^x = 2^x-2.\]

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile mediante l’uso di una ausiliaria. Portiamo tutti i termini a membro sinistro

\[4^x = 2^x-2 \quad \Rightarrow \quad 4^x - 2^x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2^{2x} - 2^x + 2 = 0\]

e poniamo t=2^x per cui

\[t^2-t+2=0\]

con \Delta <0 quindi non esistono t reali, pertanto non esistono nemmeno x reali. Quindi l’equazione è impossibile.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione esponenziale:

\[9^x-3=2\cdot3^x.\]

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliaria. Portiamo tutti i termini a membro sinistro

\[9^x-3=2\cdot3^x \quad \Rightarrow \quad 9^x - 2\cdot 3^x - 3 = 0\quad \Rightarrow \quad 3^{2x} - 2\cdot 3^x -3 = 0\]

e poniamo t=3^x per cui

\[t^2-2t-3=0 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \pm \sqrt{4} = 1 \pm 2\]

da cui

\[t = -1 \quad \vee \quad t = 3 \quad \Rightarrow \quad 3^x=-1 \quad \vee \quad 3^x = 3.\]

Essendo 3^x=-1 impossibile poiché una potenza è sempre positiva, l’unica soluzione è data da

\[3^x=3 \quad\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x=1.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione esponenziale:

\[10^x+10^{2-x}=101.\]

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliare. Portiamo tutti i termini a membro sinistro

\[10^x+10^{2-x}=101 \quad \Rightarrow \quad 10^x+\dfrac{10^{2}}{10^x}-101=0 \quad \Rightarrow \quad 10^x+\dfrac{100}{10^x}-101=0.\]

Per semplicità conviene porre già t=10^x ottenendo

\[10^x+\dfrac{100}{10^x}-101=0 \quad \Rightarrow \quad t + \dfrac{100}{t}-101=0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{t^2+100-101t}{t}=0.\]

Dato che il denominatore è t=10^x, quindi positivo, si può semplificare senza aggiungere condizioni di esistenza, ottenendo

\[t^2-101t+100=0.\]

Risolvendo l’equazione di secondo grado abbiamo

\[t = \dfrac{101 \pm \sqrt{101^2 - 400}}{2} = \dfrac{101\pm99}{2}\]

da cui

\[t = 1 \quad \vee \quad t =100\]

e tornando alla variabile x

\[10^x = 1 \quad \vee \quad 10^x = 100\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x=0 \quad \vee \quad x=2.}\]


 
 

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