Equazioni esponenziali elementari

Equazioni e disequazioni elementari in Esponenziali

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Sommario

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Questo lavoro comprende alcuni esercizi dedicati alle equazioni elementari con gli esponenziali. Si tratta dei primi esercizi che generalmente vengono affrontati dopo aver introdotto gli esponenziali. Gli esercizi sono pensati per studenti delle scuole superiori, per chi desidera ripassare le basi apprese durante il liceo o per chi si sta preparando ai test di ingresso di facoltà scientifiche come ingegneria, fisica o matematica.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$3^{2x+3}=\frac13 .$

Svolgimento.

Il membro destro, $\frac{1}{3}$ , può essere scritto come $3^{-1}$ . L’equazione diventa pertanto diventa

$\displaystyle 3^{2x+3}=3^{-1}.$

Poiché le basi sono uguali (e $3 > 1$ , garantendo l’iniettività della funzione esponenziale $f(t) = 3^t$ ), uguagliamo gli esponenti:

$2x + 3 = -1.$

Risolvendo questa equazione lineare: $2x = -4 \iff x = -2.$ La soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{x = -2. }$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$3^{3x}=\frac1{27}.$

Svolgimento.

Poiché $27=3^{3}$ , il membro destro si può riscrivere come $3^{-3}$ e pertanto l’equazione diventa

$3^{3x} = 3^{-3}.$

Poiché le basi sono uguali (e $3 > 1$ , garantendo l’iniettività della funzione esponenziale $f(t) = 3^t$ ), uguagliamo gli esponenti: $3x=-3$ , quindi

$\boxcolorato{superiori}{x=-1. }$

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$\left(\frac73\right)^{-2x}=\frac9{49} .$

Svolgimento.

Osserviamo che $\frac{9}{49}=(\frac{7}{3})^{-2},$ da cui otteniamo l’equazione

$\displaystyle \left(\frac73\right)^{-2x}=\left(\frac7{3}\right)^{-2}.$

Poiché le basi sono uguali (e $\frac{7}{3} > 1$ , garantendo l’iniettività della funzione esponenziale $f(t) = \left(\frac{7}{3}\right)^t$ ), uguagliamo gli esponenti: $-2x=-2$ da cui

$\boxcolorato{superiori}{x=1. }$

Esercizio 4 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$8^{x^{2}-3x}=1 .$

Svolgimento.

Una qualsiasi potenza di base positiva vale $1$ se e solo se l’esponente è $0$ , dunque possiamo scrivere $1= 8^0$ , da cui

$8^{x^2-3x}=8^0.$

Poiché le basi sono uguali (e $8 > 1$ , garantendo l’iniettività della funzione esponenziale $f(t) = 8^t$ ), uguagliamo gli esponenti: $x^{2}-3x=0 {\iff} x(x-3)=0$ ottenendo

$\boxcolorato{superiori}{x=0 \quad \text{oppure} \quad x=3. }$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$7^{x^{2}+4x+3}=\frac17.$

Svolgimento.

Osserviamo che $\frac17=7^{-1}$ , da cui otteniamo che

$7^{x^{2}+4x+3}=7^{-1}.$

Poiché le basi sono uguali (e $7 > 1$ , garantendo l’iniettività della funzione esponenziale $f(t) = 7^t$ ), uguagliamo gli esponenti: $x^{2}+4x+3=-1\iff x^{2}+4x+4=0\iff(x+2)^{2}=0$ , da cui l’unica soluzione

$\boxcolorato{superiori}{x=-2. }$

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$4^{x+8}=4^{5-2x}.$

Svolgimento.

Poiché le basi sono uguali (e $4 > 1$ , garantendo l’iniettività della funzione esponenziale $f(t) = 4^t$ ), uguagliamo gli esponenti: uguagliando gli esponenti otteniamo $x+8=5-2x\iff3x=-3$ , ovvero

$\boxcolorato{superiori}{ x=-1. }$

Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nell’incognita $x$ :

$a^{6x}=a^{x^{2}}.$

dove $a>0$ è un numero reale diverso da $1$ .

Svolgimento.

Poiché le basi sono uguali (e $a > 0, a \neq 1$ , garantendo l’iniettività della funzione esponenziale $f(t) = a^t$ ), uguagliamo gli esponenti:L’esponente deve quindi soddisfare $6x=x^{2}\iff x(x-6)=0$ , da cui

$\boxcolorato{superiori}{x=0 \quad \text{oppure} \quad x=6. }$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$2^{x+2}+2^{x}=640 .$

Svolgimento.

Raccogliendo $2^x$ si trova

$2^{x}(2^{2}+1)=640\iff5\cdot2^{x}=640 \iff 2^x = 128.$

Poiché $128=2^{7}$ , si ha

$2^x = 2^7,$

e uguagliando gli esponenti si ha

$\boxcolorato{superiori}{ x=7. }$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$3^{x+1}-3^{x}=162.$

Svolgimento.

Fattorizzando $3^{x}$ si ha

$3^{x}(3-1)=162\iff2\cdot3^{x}=162\iff3^{x}=81.$

Poiché $81=3^4$ si ottiene

$3^x = 3^4,$

e, uguagliando gli esponenti, si ha

$\boxcolorato{superiori}{x=4. }$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$3^{x+1}-4\cdot3^{x}+1=0 .$

Svolgimento.

Fattorizzando $3^x$ si ottiene

$3^{x}(3-4)+1=0\iff -3^{x}+1=0\iff3^{x}=1,$

che conduce alla soluzione

$\boxcolorato{superiori}{x=0. }$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$\frac{5^{x+1}}{5^{2}}-4=0.$

Svolgimento.

Tramite semplici manipolazioni algebriche si ottiene

$5^{x}\cdot 5=4 \cdot 25 \iff 5^x = 20,$

quindi

$\boxcolorato{superiori}{x=\log_{5}20. }$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione:

$2+4^{x/2}=3^{x}+2^{x} .$

Svolgimento.

Poiché $4^{x/2}=2^{x}$ , l’equazione si riduce a $3^{x}=2$ , da cui

$\boxcolorato{superiori}{x=\log_{3}2 }$

Esercizio 13 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$2^x = 16 \cdot \sqrt{2}.$

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale elementare, pertanto si risolve portando membro sinistro e destro alla medesima base di una potenza. In questo caso scriviamo

$2^x = 16 \cdot \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad 2^x = 2^4 \cdot 2^{1/2} \quad \Rightarrow \quad 2^x = 2^{4+\frac{1}{2}}.$

Avendo una sola potenza a membro sinistro e destro con medesima base passiamo all’equazione fra gli argomenti

$x = 4 + \dfrac{1}{2}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{x = \dfrac{9}{2}.}$

Esercizio 14 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$5^x = \dfrac{1}{25} \sqrt{5}.$

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale elementare, pertanto si risolve portando membro sinistro e destro alla medesima base di una potenza. In questo caso scriviamo

$5^x = \dfrac{1}{25} \cdot \sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad 5^x = \dfrac{1}{5^2} \cdot 5^{1/2} \quad \Rightarrow \quad 5^x = 5^{-2} \cdot 5^{1/2} \quad \Rightarrow \quad 5^x = 5^{-2+ \frac{1}{2}}.$

Avendo una sola potenza a membro sinistro e destro con medesima base passiamo all’equazione fra gli argomenti

$x = -2+ \frac{1}{2}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{x = - \dfrac{3}{2}.}$

Esercizio 15 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$3^x = \dfrac{9 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}}.$

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale elementare, pertanto si risolve portando membro sinistro e destro alla medesima base di una potenza. In questo caso scriviamo

$3^x = \dfrac{9 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt[4]{3}} \quad \Rightarrow \quad 3^x = \dfrac{3^2 \cdot 3^{1/2}}{3^{1/4}} \quad \Rightarrow \quad 3^x = 3^{2+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}.$

Avendo una sola potenza a membro sinistro e destro con medesima base passiamo all’equazione fra gli argomenti

$x = 2+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{x = \dfrac{9}{4}.}$

Esercizio 16 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$\sqrt[3]{5^x} = 25.$

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale elementare, pertanto si risolve portando membro sinistro e destro alla medesima base di una potenza. In questo caso scriviamo

$\sqrt[3]{5^x} = 25 \quad \Rightarrow \quad \left(5^x\right)^{1/3} = 5^2 \quad \Rightarrow \quad 5^{\frac{x}{3}} = 5^2.$

Avendo una sola potenza a membro sinistro e destro con medesima base passiamo all’equazione fra gli argomenti

$\dfrac{x}{3}=2$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{x = 6.}$

Esercizio 17 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$3^x \cdot 27 = 9^{2x}.$

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale elementare, pertanto si risolve portando membro sinistro e destro alla medesima base di una potenza. In questo caso scriviamo

$3^x \cdot 27 = 9^{2x} \quad \Rightarrow \quad 3^x \cdot 3^3 = (3^2)^{2x} \quad \Rightarrow \quad 3^{x+3} = 3^{4x}.$

Avendo una sola potenza a membro sinistro e destro con medesima base passiamo all’equazione fra gli argomenti

$x+3=4x$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{x = 1.}$

Esercizio 18 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$2^x + 9 \cdot 2^x = 40.$

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale riconducibile all’elementare. Dobbiamo raccogliere la stessa potenza in tutti i termini al membro sinistro:

$2^x + 9 \cdot 2^x = 40 \quad \Rightarrow \quad 2^x (1+9)=40\quad \Rightarrow \quad 2^x \cdot 10 =40 \quad \Rightarrow \quad 2^x = 4\quad \Rightarrow \quad 2^x=2^2$

che è un’equazione esponenziale elementare. La soluzione è data da

$\boxcolorato{superiori}{x = 2.}$

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$3 \cdot 4^x + \dfrac{7}{4} \cdot 4^x = 19 \, \sqrt{2}.$

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale riconducibile all’elementare. Dobbiamo raccogliere la stessa potenza in tutti i termini al membro sinistro:

$\begin{aligned} & 3 \cdot 4^x + \dfrac{7}{4} \cdot 4^x = 19 \, \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad 4^x \left( 3+ \dfrac{7}{4} \right)= 19 \, \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad 4^x \; \dfrac{19}{4} = 19 \, \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad 4^x \; \dfrac{1}{4} = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad 4^{x-1} = 2^{1/2} \quad \Rightarrow \quad 2^{2x-2}=2^{1/2} \end{aligned}$

che è un’equazione esponenziale elementare. La soluzione è data da

$2x-2 = \dfrac{1}{2}$

da cui

$\boxcolorato{superiori}{x = \dfrac{5}{4}.}$

Esercizio 20 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione esponenziale:

$3 \cdot 5^x + 5^{x+1} = 8 \cdot 5^3.$

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale riconducibile all’elementare. Dobbiamo raccogliere la stessa potenza in tutti i termini al membro sinistro:

$\begin{aligned} & 3 \cdot 5^x + 5^{x+1} = 8 \cdot 5^3 \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot 5^x + 5^x \cdot 5 = 8 \cdot 5^3 \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad 5^x (3 + 5) = 8 \cdot 5^3 \quad \Rightarrow \quad 5^x \cdot 8 = 8 \cdot 5^3 \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad 5^x = 5^3 \end{aligned}$

che è un’equazione esponenziale elementare. La soluzione è data da

$\boxcolorato{superiori}{x = 3.}$

Esercizio 21 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Quante soluzioni possiede l’equazione

$2^{\sin^2(x)} + 2^{\cos^2(x)} = 2$

nell’intervallo $0 \leq x < 2\pi$ ?

Svolgimento.

Notiamo che $0 \leq \sin^2(x) \leq 1$ e $0 \leq \cos^2(x) \leq 1$ . Quindi:

$2^0 + 2^0 = 2 \leq 2^{\sin^2(x)} + 2^{\cos^2(x)} \leq 2^1 + 2^1 = 4.$

L’unica possibilità in cui il membro di sinistra è uguale a 2 è che entrambi gli addendi siano uguali a 1, quindi che $\sin^2(x) = \cos^2(x) = 0$ . Ma questa condizione non è mai verificata, per cui l’equazione proposta non ha soluzioni.

Un procedimento alternativo, ma con più calcoli, è il seguente. Dato che $\sin^2(x) = 1-\cos^2(x)$ , possiamo riscrivere l’equazione in questo modo:

$2^{1-\cos^2(x)} + 2^{\cos^2(x)} = \frac{2}{2^{\cos^2(x)}} + 2^{\cos^2(x)} = 2.$

Posto $2^{\cos^2(x)} = t$ , abbiamo allora:

$\begin{gathered} \frac{2}{t} + t = 2; \\ t^2-2t+2 = 0; \\ (t-1)^2 + 1 = 0. \end{gathered}$

È evidente che questa equazione non ha soluzioni reali, dato che il membro di sinistra è sempre positivo e non può quindi annullarsi. Non ha pertanto soluzioni neppure l’equazione di partenza.

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