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Equazioni esponenziali risolte con l’ausilio dei logaritmi

Esercizi misti su Esponenziali

Home » Equazioni esponenziali risolte con l’ausilio dei logaritmi

 
 

Sommario

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Questa dispensa raccoglie alcuni esercizi misti su equazioni esponenziali, risolvibili con l’ausilio dei logaritmi.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 3^{x+1}+2\cdot3^{\,2-x}=29. \]

Svolgimento.

Si ponga t=3^{x}>0; l’equazione diventa

\[ 3t+\frac{18}{t}=29\;\Longrightarrow\;3t^{2}-29t+18=0. \]

Il trinomio si annulla per

\[ t=\frac{29\pm\sqrt{29^{2}-216}}{6} =\frac{29\pm25}{6}\in\{9,\;2/3\}. \]

Poiché t=3^{x}, da t=9 segue x=2 e da t=2/3 segue x=\log_{3}\!\bigl(\frac23\bigr)=\log_{3}2-1. Entrambi i valori soddisfano l’equazione di partenza.

\[\boxcolorato{superiori}{S=\Bigl\{\,2,\;\log_{3}\dfrac23\Bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 2^{x}+2^{x+1}+2^{x-1}=15. \]

Svolgimento.

Mettiamo in evidenza il termine 2^{x-1}:

\[ 2^{x}+2^{x+1}+2^{x-1} =2^{x-1}\bigl(2+4+1\bigr) =2^{x-1}\cdot7 =15. \]

Ne segue

\[ 2^{x-1}=\frac{15}{7} \quad\Longrightarrow\quad x-1=\log_{2}\!\Bigl(\frac{15}{7}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad x=1+\log_{2}\!\Bigl(\frac{15}{7}\Bigr). \]

Si conclude che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{S=\bigl\{\,1+\log_{2}(15/7)\,\bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 7^{x+1}-7^{x}+2\cdot7^{\,x-1}=2. \]

Svolgimento.

Ponendo t=7^{x}>0 l’equazione si riscrive 7t-t+\tfrac{2}{7}t=2, ossia \tfrac{44}{7}t=2, da cui t=\dfrac{7}{22}. Poiché t=7^{x}, segue

\[ 7^{x}=\frac{7}{22}\quad\Longrightarrow\quad x=\log_{7}\!\Bigl(\frac{7}{22}\Bigr)=1-\log_{7}22. \]

Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{S=\{\,1-\log_{7}22\,\}.}\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 2\cdot3^{x}+5\cdot3^{x+1}=2^{3x+1}-2^{3x}. \]

Svolgimento.

Mettiamo in evidenza le potenze comuni:

\[ 2\cdot3^{x}+5\cdot3^{x+1} =3^{x}\bigl(2+5\cdot3\bigr) =3^{x}\cdot17, \qquad 2^{3x+1}-2^{3x} =2^{3x}\bigl(2-1\bigr) =2^{3x}. \]

L’equazione diventa quindi

\[ 17\cdot 3^{x}=2^{3x}. \]

Scriviamo il secondo membro come \bigl(\tfrac83\bigr)^{x}:

\[ 17=\Bigl(\frac{8}{3}\Bigr)^{x} \quad\Longrightarrow\quad x=\log_{\,\frac83}17. \]

Si conclude che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{S=\bigl\{\log_{\,\tfrac83}17\bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 9\cdot2^{2x+1}-9^{2}-4^{2x}=0. \]

Svolgimento.

Raccogliamo i termini con la stessa base introducendo

\[ t=2^{2x}\quad (t>0). \]

Si ha infatti

\[ 2^{2x+1}=2\cdot2^{2x}=2t, \qquad 4^{2x}=(2^{2})^{2x}=(2^{2x})^{2}=t^{2}. \]

L’equazione diventa

\[ 9\,(2t)-81-t^{2}=0 \;\Longleftrightarrow\; -t^{2}+18t-81=0 \;\Longleftrightarrow\; t^{2}-18t+81=0. \]

Dato che il trinomio si scrive come il quadrato (t-9)^2, la soluzione dell’equazione è

\[ t=\frac{18}{2}=9. \]

Poiché t=2^{2x}, otteniamo

\[ 2^{2x}=9 \;\Longrightarrow\; 2x=\log_{2}9 \;\Longrightarrow\; x=\frac{\log_{2}9}{2}=\log_{2}3. \]

Si conclude che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{S=\{\log_{2}3\}.}\]


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 7\cdot2^{x}+\frac{5}{2^{x}}=\frac{117}{4}. \]

Svolgimento.

Sia t=2^{x}>0; l’equazione diventa

\[ 7t+\frac{5}{t}=\frac{117}{4} \iff 28t^{2}-117t+20=0. \]

Il discriminante è \Delta=117^{2}-4\cdot28\cdot20=11\,449=107^{2}, quindi

\[ t=\frac{117\pm107}{56}, \iff t\in\left\{4,\;\dfrac{5}{28}\right\}. \]

Poiché t=2^{x}, si ottiene

\[ 2^{x}=4 \iff x=2,\qquad 2^{x}=\frac{5}{28} \iff x=\log_{2}\!\Bigl(\frac{5}{28}\Bigr). \]

\[\boxcolorato{superiori}{S=\left\{2,\;\log_{2}\dfrac{5}{28}\right\}.}\]


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \frac{8^{x}\,\cdot\,2}{2^{\,2x+3}}\;=\;\frac{2^{\,x+1}}{2^{\,2x+2}}. \]

Svolgimento.

Scriviamo tutte le potenze in base 2:

\[ 8^{x}=2^{3x}, \qquad \frac{2^{3x}\cdot2}{2^{2x+3}} =\frac{2^{3x+1}}{2^{2x+3}} =2^{3x+1-(2x+3)} =2^{\,x-2}, \]

\[ \frac{2^{x+1}}{2^{2x+2}} =2^{\,x+1-(2x+2)} =2^{\,-x-1}. \]

L’equazione diventa quindi

\[ 2^{\,x-2}=2^{\,-x-1} \iff x-2=-x-1 \iff 2x=1 \iff x=\frac12. \]

Si conclude che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{S=\bigl\{\tfrac12\bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \frac{1}{2^{x}-1}+\frac{2^{x}}{4^{x}-1}=\frac{3\cdot2^{x}-1}{2^{x}+1}. \]

Svolgimento.

Si ponga t=2^{x}>0; l’identità diventa

\[ \frac1{t-1}+\frac{t}{t^{2}-1}=\frac{3t-1}{t+1}. \]

Poiché \displaystyle\frac{t}{t^{2}-1}=\frac{t}{(t-1)(t+1)}, il membro sinistro può essere scritto come

\[ \frac{1}{t-1}+\frac{t}{(t-1)(t+1)} =\frac{t+1+t}{(t-1)(t+1)} =\frac{2t+1}{(t-1)(t+1)}. \]

L’equazione diventa allora

\[ \frac{2t+1}{(t-1)(t+1)}=\frac{3t-1}{t+1} \iff \frac{2t+1}{t-1}=3t-1 \iff 2t+1=(3t-1)(t-1). \]

Sviluppando e raccogliendo i termini si ottiene

\[ 2t+1=3t^{2}-4t+1 \iff 3t^{2}-6t=0 \iff 3t(t-2)=0. \]

Il valore t=0 non è ammesso e t=1 è escluso dal dominio; rimane dunque t=2. Poiché t=2^{x}, se ne deduce

\[ 2^{x}=2 \iff x=1. \]

Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{S=\{1\}.}\]


 
 

Esercizio 9 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \Bigl(2^{x}-\frac{1}{2\sqrt2}\Bigr)\,\bigl(3^{x}-5\bigr)=0. \]

Svolgimento.

Un prodotto è nullo se (e solo se) \emph{almeno} uno dei suoi fattori si annulla. Analizziamo quindi separatamente le due parentesi.

\[ {2^{x}-\frac{1}{2\sqrt2}=0} \iff 2^{x}=\frac{1}{2\sqrt2}=2^{-3/2} \iff x=-\frac32. \]

\[ {3^{x}-5=0} \iff 3^{x}=5 \iff x=\log_{3}5. \]

Poiché la il campo di esistenza dell’equazione iniziale è \mathbb{T}, entrambe le soluzioni sono accettabili e quindi

\[\boxcolorato{superiori}{S=\Bigl\{-\dfrac32,\ \log_{3}5\Bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 10 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \bigl(2^{x}-1\bigr)\bigl(2^{x}-4\bigr)=10. \]

Svolgimento.

Poniamo t=2^{x}\;(t>0); l’equazione diventa

\[ (t-1)(t-4)=10 \;\Longleftrightarrow\; t^{2}-5t+4=10 \;\Longleftrightarrow\; t^{2}-5t-6=0. \]

\[ \Delta=(-5)^{2}-4\cdot(-6)=25+24=49, \qquad t=\frac{5\pm7}{2}\iff t_{1}=6,\;t_{2}=-1. \]

Poiché t=2^{x}>0, scartiamo t_{2}; rimane

\[ 2^{x}=6 \iff x=\log_{2}6. \]

Si conclude che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{S=\{\log_{2}6\}.}\]


 
 

Esercizio 11 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \frac{2}{25^{x}-1}+\frac{3}{4}=\frac{2}{5^{x}-1}. \]

Svolgimento.

Si ponga t=5^{x}>0; allora 25^{x}=t^{2} e l’equazione diventa

\[ \frac{2}{t^{2}-1}+\frac{3}{4}=\frac{2}{t-1}. \]

Osservando che t^{2}-1=(t-1)(t+1) si ottiene

\[ \frac{2}{(t-1)(t+1)}+\frac{3}{4}=\frac{2}{t-1}. \]

Moltiplicando entrambi i membri per 4(t-1)(t+1) si perviene a

\[ 8+3(t-1)(t+1)=8(t+1), \]

ossia

\[ 8+3(t^{2}-1)=8t+8 \Longrightarrow 3t^{2}-8t-3=0. \]

Il discriminante è \Delta=100, dunque

\[ t=\frac{8\pm10}{6} \iff t\in\left\{\,3,\;-\dfrac13\,\right\}. \]

L’unico valore ammesso è t=3, perché t>0. Dal momento che t=5^{x} si ricava

\[ 5^{x}=3\quad\Longrightarrow\quad x=\log_{5}3. \]

Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{S=\{\log_{5}3\}.}\]


 
 

Esercizio 12 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \frac{5^{x}-4\sqrt{5^{x}}+5}{\sqrt{5^{x+2}}-2\sqrt{5^{x}}}= \frac23. \]

Svolgimento.

L’argomento dei radicali è sempre positivo, ma il denominatore non deve annullarsi; osserviamo che

\[ \sqrt{5^{x+2}} =\sqrt{5^{x}\,5^{2}} =5\sqrt{5^{x}}. \]

Di conseguenza il denominatore si riduce a 5\sqrt{5^{x}}-2\sqrt{5^{x}}=3\sqrt{5^{x}}, che non si annulla mai. L’equazione diventa quindi

\[ \frac{5^{x}-4\sqrt{5^{x}}+5}{\,3\sqrt{5^{x}}\,}=\frac23 \iff 5^{x}-4\sqrt{5^{x}}+5=2\sqrt{5^{x}}. \]

Poniamo

\[ t=\sqrt{5^{x}}\;>\;0 , \]

così l’identità precedente si trasforma nel trinomio quadratico

\[ t^{2}-6t+5=0. \]

Il discriminante è \Delta =(-6)^{2}-4\cdot1\cdot5=16; dunque

\[ t=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}= \frac{6\pm4}{2}\; \Longrightarrow\; t_{1}=1,\qquad t_{2}=5. \]

Invertiamo ora il cambio di variabile. Dal momento che t=\sqrt{5^{x}},

\[ \begin{aligned} t=1 &\iff 5^{x}=1 \iff x=0,\\[4pt] t=5 &\iff 5^{x}=25 \iff x=2. \end{aligned} \]

Entrambi i valori trovati sono perfettamente leciti.

Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{S=\{0,\;2\}.}\]


 
 

Esercizio 13 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \frac{5-5^{x}}{\,5+5^{x}\,}-\frac{5+5^{x}}{\,5^{x}-5\,}=-\frac{10}{3}. \]

Svolgimento.

Le condizioni di esistenza dell’equazione sono date dalla condizione di non annullamento dei denominatori. Poiché 5+5^x è sempre strettamente positivo, occorre solo imporre

\[ 5^x-5 \neq 0 \iff x \neq 1. \]

Si ponga t=5^{x}>0; si ha 5^{x}-5=t-5=-(5-t) e quindi

\[ \frac{5-t}{5+t}-\frac{5+t}{t-5} =\frac{5-t}{5+t}+\frac{5+t}{5-t}. \]

Svolgendo le opportune semplificazioni, l’equazione diventa

\[ \begin{aligned} \frac{(5-t)^2 + (5+t)^2}{(5+t)(5-t)}= -\frac{10}{3} & \iff 2\frac{5^2+t^2}{5^2-t^2} = -\frac{10}{3} \\ & \iff 3(5^2+t^2) = - 5(5^2-t^2) \\ & \iff t^2 = 4 \cdot 5^2 & \iff t = \pm 10. \end{aligned} \]

Scartando la soluzione t=5^x=-10 in quanto un esponenziale è sempre positivo, e ricordando t=5^x, si ottiene

\[ x=\log_5 10 = 1+ \log_5 2, \]

che è accettabile in quanto soddisfa la condizione di esistenza x \neq 1. Si conclude che

\[\boxcolorato{superiori}{S=\{\log_{5}10\}.}\]


 
 

Esercizio 14 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ 2^{\,3x+1}+5^{\,2x+1}=2^{\,3x+2}+5^{\,2x}. \]

Svolgimento.

Portiamo tutti i termini a sinistra e mettiamo in evidenza le potenze comuni:

\[ 2^{\,3x+1}-2^{\,3x+2}+5^{\,2x+1}-5^{\,2x}=0 \;\Longleftrightarrow\; 2^{\,3x+1}\bigl(1-2\bigr)+5^{\,2x}\bigl(5-1\bigr)=0 \;\Longleftrightarrow\; -2^{\,3x+1}+4\cdot5^{\,2x}=0. \]

\[ 4\cdot5^{\,2x}=2^{\,3x+1} \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{2}\,5^{\,2x}=2^{\,3x+1} \quad\Longleftrightarrow\quad 5^{\,2x}=2^{\,3x-1}. \]

Passiamo ai logaritmi (base naturale, ma qualunque base >1 è lecita):

\[ 2x\log 5=(3x-1)\log 2 \;\Longrightarrow\; x\,(2\log 5-3\log 2)=-\log 2 \;\Longrightarrow\; x=\frac{-\log 2}{\,2\log 5-3\log 2} =\frac{\log \!\bigl(\tfrac12\bigr)}{\log \!\bigl(\tfrac{25}{8}\bigr)} =\log_{\tfrac{25}{8}}\!\Bigl(\frac12\Bigr). \]

Si conclude che la soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{S=\Bigl\{\log_{\tfrac{25}{8}}\!\bigl(\tfrac12\bigr)\Bigr\}.}\]


 
 

Esercizio 15 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

\[ \left(\frac{3^{x}+3}{\,3^{x}-4\,}\right)^{2} \;-\; 5\left(\frac{3^{x}+3}{\,3^{x}-4\,}\right)=0. \]

Svolgimento.

Poniamo

\[ t=\frac{3^{x}+3}{\,3^{x}-4\,}\,, \qquad 3^{x}\ne4. \]

L’equazione diventa

\[ t^{2}-5t=0 \iff t\,(t-5)=0 \iff t=0\quad\text{oppure}\quad t=5. \]

Il valore t=0 condurrebbe a 3^{x}+3=0, impossibile poiché 3^{x}>0; rimane quindi t=5:

\[ \frac{3^{x}+3}{\,3^{x}-4\,}=5 \iff 3^{x}+3=5(3^{x}-4) \iff 3^{x}+3=5\cdot3^{x}-20 \iff 23=4\cdot3^{x} \iff 3^{x}=\frac{23}{4}. \]

Poiché \dfrac{23}{4}\neq4, il denominatore non si annulla e il valore è ammesso. Risolvendo in x:

\[\boxcolorato{superiori}{S=\left\{\log_{3}\!\dfrac{23}{4}\right\}.}\]


 
 

Riferimenti bibliografici

[1] Bergamini, M., Trifone, A., & Barozzi, G., Corso base blu 3 – Per il secondo biennio e il quinto anno dei Licei scientifici, Zanichelli Editore.